商高定理及其應用 第一節 瞭解商高定理 1. 引起動機: 第一節 瞭解商高定理 1. 引起動機: 課前讓學生先上網查詢商高定理和畢達哥拉斯的有關資料,上課時由學生作心得分享,再由老師補充說明 說明什麼是商高定理 直角三角形中,兩股長的平方和 =斜邊長的平方

畢達哥拉斯(Pythagotas,約西元前580-約前500) 古希臘哲學家,數學家,天文學家,生於Samos島,早年就學於古希臘前期的大師Thales門下,其後曾遊學埃及,甚至還可能到過巴比倫。西元前532年左右,他為了擺脫Samos的殘暴統治而移居義大利半島南端的海港Crotona,並在那裏組織了一個宗教,科學,哲學三位一體的學園,聚集貴族及富家子弟三百多人於一堂。除了治學外,他們還參與政治,最後被敵對的政治勢力驅逐出境。Crotona 的學園雖散了,但學生們卻流散到各地的學術中心,代代相傳,使畢氏學派歷兩百多年而不衰。畢氏學派教學全靠口傳,而且把學子們的見解發現全都歸功於開山祖畢氏一人。畢氏學派很重視數學,企圖用數學來解釋一切。他們認為[數]只是整數及其比;宣稱[數]是宇宙萬物的根本,萬物因[數]的關係才產生了秩序;因此特別重視[數]的理論研究,包括奇數與偶數、質數與合數的大量命題,完全數(等於其全部真因數之和的數,如:6=1+2+3)與親和數(一對互為對方真因數之和的數);形數(各種規則點陣所對應的數);勾股數(可以用公式：x=u2-v2,y=2uv,z=u2+v2來表示的一組數,其中u、v是任意整數);各種比例與平均。他們也發現並證明了大量幾何定理。畢氏學派最突出的是證明了勾股定理,由此引出了單位正方形的對角線長到底是不是[數]的爭論,引發他們對[數]哲學的崩潰和第一次數學危機,影響極為深遠;由勾股定理導致不可通約量的發現是這個學派的重大貢獻。〈註〉1.勾股定理即商高定理，在西方稱為畢達哥拉斯定理。 2.在中國《周脾算經》(約成書於西元前一世紀)及《九章算術》(約成書於西元一世紀)等書籍早已使用這個定理。 3.據說,畢氏的弟子希帕薩斯發現正方形邊長與其對角線長卻不可公度。因為不論分割多小,都沒有一個量可以均勻地分割正方形的邊長和對角線長。畢氏的信徒們對希帕薩斯發現的無理數而引起的所有混亂大為惱怒,傳說他們把希帕斯帶到地中海深處投海。

商高定理(約西元前1120) 在我國,這個定理的敘述最早見於《周髀算經 》（大約成書於公元前一世紀前的西漢時期）,書中有一段商高（約前1120）答周公問中有「勾廣三,股脩四,經隅五」的話,意即直角三角形的兩條直角邊是3及4、則斜邊是5。書中還記載了陳子（前716）答榮方問:「若求邪至日者,以日下為勾,日高為股,勾股各自乘,並而開方除之、得邪至日」,古漢語中邪作斜解,因此這一句話明確陳述了勾股定理的內容。至三國的趙爽（約3世紀）,在他的數學文獻《勾股圓方圖》中（作為《周髀算經》的注文,而被保留於該書之中）。運用弦圖,巧妙的證明了勾股定理,如圖2。他把三角形塗成紅色,其面積叫「朱實」,中間正方形塗成黃色叫 做「中黃實」,也叫「差實」。他寫道:「按弦圖,又可勾股相乘為朱實二,倍之為朱實四,以勾股之差相乘為中黃實,加差實,亦稱弦實」。若用現在的符號,分別用a、b、c記勾、股、弦之長,趙爽所述即是2ab+(b-a)2=c2

商高定理及其應用 第二節 商高定理的證明(1) 觀察商高定理動態證明 (一)畢氏證法, (二)清朝梅文鼎證法, 第二節 商高定理的證明(1) 觀察商高定理動態證明 (一)畢氏證法, (二)清朝梅文鼎證法, 2. 讓學生利用厚紙版自製商高定理拼圖版,自行操作

商高定理及其應用 第二節 商高定理的證明(2) 1.觀察商高定理動態證明 (三)畫家達文西證法, (四)歐幾里得證法, (五)拼圖證法, 第二節 商高定理的證明(2) 1.觀察商高定理動態證明 (三)畫家達文西證法, (四)歐幾里得證法, (五)拼圖證法, 2.讓學生利用厚紙版自製商高定理拼圖版,自行操作 3.發學習單(1)讓學生練習

商高定理及其應用 第三節 商高定理的應用 1.已知直角三角形的兩邊長,求第三邊長 2.由即時測驗了解學習效果 3.發學習單(2)讓學生練習 第三節 商高定理的應用 1.已知直角三角形的兩邊長,求第三邊長 2.由即時測驗了解學習效果 3.發學習單(2)讓學生練習 4.應用商高定理導出直角座標平面上的兩點距離公式 5.練習課本隨堂練習 6.練習課本自我評量 7.練習習作

課程結束

1.商高定理：任意一個直角三角形，其兩股長的平方和等於斜邊長的平方。在下列直角三角形中，列出a、b、c；x、y、z之間的關係式 x2+z2=y2

2.已知下列各直角三角形的兩股，求斜邊的長度

3.已知下列各直角三角形的一股和斜邊,求另一股的長度

4.已知直角三角形的兩個邊的長度，求另一邊的長度 (1)兩股為8、9 ,則斜邊為多少? (2)兩股為2、 ，則斜邊為多少? = 4

4.已知直角三角形的兩個邊的長度， 求另一邊的長度 (3)一股為3、斜邊為8,則另一股為多少? (4) 一股為5、斜邊為9,則另一股為多少?

5.已知長方形的長寬，求對角線長 (1) (1) = 5 = 25

6.如下圖， =4， =3， =5， =3； 求 , , 的長 = 5 = 4 所以 = 5 – 4=1 所以

應用商高定理導出直角座標平面上的兩點距離公式 已知直角座標平面上 A(x1,y1) ,B(x2,y2)兩 點,求AB長 y B(x2,y2) 過A點作直線平行x軸 y2-y1 過B點作直線平行y軸 x2-x1 C(x2,y1) A(x1,y1) 兩線交於C(x2,y1) 則AC=x2-x1, BC=y2-y1, x O(0,0) 利用商高定理: AB=