嘉義縣立溪口國民中學 資訊融入教學講義 數學領域 單元名稱：勾股定理 講授：蕭善今老師
畢達哥拉斯(Pythagotas,約西元前580-約前500) 古希臘哲學家,數學家,天文學家,生於Samos島,早年就學於古希臘前期的大師Thales門下,其後曾遊學埃及,甚至還可能到過巴比倫。西元前532年左右,他為了擺脫Samos的殘暴統治而移居義大利半島南端的海港Crotona,並在那裏組織了一個宗教,科學,哲學三位一體的學園,聚集貴族及富家子弟三百多人於一堂。除了治學外,他們還參與政治,最後被敵對的政治勢力驅逐出境。Crotona 的學園雖散了,但學生們卻流散到各地的學術中心,代代相傳,使畢氏學派歷兩百多年而不衰。
畢氏學派教學全靠口傳,而且把學子們的見解發現全都歸功於開山祖畢氏一人。畢氏學派很重視數學,企圖用數學來解釋一切。他們認為[數]只是整數及其比;宣稱[數]是宇宙萬物的根本,萬物因[數]的關係才產生了秩序;因此特別重視[數]的理論研究,包括奇數與偶數、質數與合數的大量命題,完全數(等於其全部真因數之和的數,如:6=1+2+3)與親和數(一對互為對方真因數之和的數);形數(各種規則點陣所對應的數);勾股數(可以用公式：x=u2-v2,y=2uv,z=u2+v2來表示的一組數,其中u、v是任意整數);各種比例與平均。他們也發現並證明了大量幾何定理。
畢氏學派最突出的是證明了勾股定理,由此引出了單位正方形的對角線長到底是不是[數]的爭論,引發他們對[數]哲學的崩潰和第一次數學危機,影響極為深遠;由勾股定理導致不可通約量的發現是這個學派的重大貢獻。〈註〉1.勾股定理即商高定理，在西方稱為畢達哥拉斯定理。 2.在中國《周脾算經》(約成書於西元前一世紀)及《九章算術》(約成書於西元一世紀)等書籍早已使用這個定理。 3.據說,畢氏的弟子希帕薩斯發現正方形邊長與其對角線長卻不可公度。因為不論分割多小,都沒有一個量可以均勻地分割正方形的邊長和對角線長。畢氏的信徒們對希帕薩斯發現的無理數而引起的所有混亂大為惱怒,傳說他們把希帕斯帶到地中海深處投海。
勾股定理(約西元前1120) 在我國,這個定理的敘述最早見於《周髀算經 》（大約成書於公元前一世紀前的西漢時期）,書中有一段商高（約前1120）答周公問中有「勾廣三,股脩四,經隅五」的話,意即直角三角形的兩條直角邊是3及4、則斜邊是5。書中還記載了陳子（前716）答榮方問:「若求邪至日者,以日下為勾,日高為股,勾股各自乘,並而開方除之、得邪至日」,古漢語中邪作斜解,因此這一句話明確陳述了勾股定理的內容。至三國的趙爽（約3世紀）,在他的數學文獻《勾股圓方圖》中（作為《周髀算經》的注文,而被保留於該書之中）。
運用弦圖,巧妙的證明了勾股定理,如圖2。他把三角形塗成紅色,其面積叫「朱實」,中間正方形塗成黃色叫 做「中黃實」,也叫「差實」。他寫道:「按弦圖,又可勾股相乘為朱實二,倍之為朱實四,以勾股之差相乘為中黃實,加差實,亦稱弦實」。若用現在的符號,分別用a、b、c記勾、股、弦之長,趙爽所述即是2ab+(b-a)2=c2
1.商高定理：任意一個直角三角形，其兩股長的平方和等於斜邊長的平方。在下列直角三角形中，列出a、b、c；x、y、z之間的關係式 x2+z2=y2
2.已知下列各直角三角形的兩股，求斜邊的長度
3.已知下列各直角三角形的一股和斜邊,求另一股的長度
4.已知直角三角形的兩個邊的長度，求另一邊的長度 (1)兩股為8、9 ,則斜邊為多少? (2)兩股為2、 ，則斜邊為多少? = 4
4.已知直角三角形的兩個邊的長度， 求另一邊的長度 (3)一股為3、斜邊為8,則另一股為多少? (4) 一股為5、斜邊為9,則另一股為多少?
5.已知長方形的長寬，求對角線長 (1) (1) = 5 = 25
6.如下圖， =4， =3， =5， =3； 求 , , 的長 = 5 = 4 所以 = 5 – 4=1 所以
應用勾股定理導出直角座標平面上的兩點距離公式 課外補充： 應用勾股定理導出直角座標平面上的兩點距離公式 已知直角座標平面上 A(x1,y1) ,B(x2,y2)兩 點,求AB長 y B(x2,y2) 過A點作直線平行x軸 y2-y1 過B點作直線平行y軸 x2-x1 C(x2,y1) A(x1,y1) 兩線交於C(x2,y1) 則AC=x2-x1, BC=y2-y1, x O(0,0) 利用商高定理: AB=