教學網頁規劃 第二組 獨立事件及二項分布 組員：邱名宏、陳克鳴、曾國豪

獨立事件 目標 :介紹獨立事件與讓同學分辨甚麼是獨立?甚麼是 互斥? 定義:我們已經了解條件機率P(A|B)：在Ｂ事件發生的前提下，討論A事件發生的機率，與非條件機率P(A)：不考慮其他相關事件，單純討論A事件發生的機率。兩種定義有其本質上的不同。 而或許在某些情況我們會得到　 P(A|B)＝P(A)　 換句話說，就是Ｂ事件發生與否，都不影響A事 件發生的機率。 此時，即稱兩事件為獨立（independent）。

任意Ａ，Ｂ兩事件，若有下列三等式， 其中任何一式成立時： P(A|B)＝P(A) P(B|A)＝P(B) P(A∩B)＝P(A)P(B) 則稱A與B兩事件獨立（independent）， 反之則稱A與B兩事件相依（dependent）， 亦即兩事件相依係指一事件的發生會影響 其他事件發生的機率。

求事件機率的過程中，直接求該事件的機率 是個不錯且正統無誤的方法。不過藉由其他已知 機率的相關事件，根據其相關性，推斷欲求事件 的機率，有時比起直接求可顯得容易得多，這也 是本小節所欲陳述的主題：運用機率法則，進而 求得事件機率。本小節介紹三大法則： 加法法則（additive rule） 乘法法則（multiplicative rule） 餘集法則（complementary rule） 此三法則的由來，都是由前幾節的定義稍加變化， 進而推導而來，嚴格而言，並無新的觀念存在， 只要稍加說明，讀者必然可立即應用。

加法法則（additive rule） 任意Ａ，Ｂ兩事件，則： P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)，此即為加法法則 若兩事件互斥，則此法則改寫為： P(A∪B)＝P(A)＋P(B)

【例】 台北市一中學日前舉行期中考， 已知班上同學有50％數學不及格， 有30％英文不及格，而有20％數學與英文 均不及格。今從此班級中隨機抽取一人， 試問此同學在這兩科中，至少有一科不及格 的機率為何？

解： 若令事件　 A：抽取此同學，數學不及格的事件 B：抽取此同學，英文不及格的事件 則依題目所示：P(A)＝50％，P(B)＝30％ 抽取此同學，數學與英文均不及格事件 的機率為P(A∩B)＝20％，而至少有一科不及格 的事件，即為A∪B。則其機率為運用事件加法法則 P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B) ＝50％＋30％－20％＝60％ 也就是說，班上有60％的同學，數學或英文不及格 (至少有一科不及格)。

【例】 假設有A，B兩事件。P(A)＝0.3，P(B)＝0.8 P(A∩B)＝0.2 試求P(A∪B)？ (b) 假設有Ｃ，Ｄ兩事件。P(C)＝0.2 P(D)＝0.3 且C， D兩事件 互斥，試求P(C∪D)？

P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝0.3＋0.8－0.2 ＝0.9 解： (a) 運用加法法則 P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝0.3＋0.8－0.2 ＝0.9 (b) 因兩事件互斥，P(C∩D)＝0，運用加法法則 P(C∪D)＝P(C)＋P(D)＝0.2＋0.3＝0.5

乘法法則（multiplicative rule） 任意Ａ，Ｂ兩事件，則兩事件同時發生的機率： P(A∩B)＝P(B)P(A|B)＝P(A)P(B|A)，此即為乘法法則。 若兩事件獨立，則此乘法法則改寫為： P(A∩B)＝P(B)P(A) 此乘法法則的由來，讀者可看出就是由條件機率的定義 而來。而若兩事件獨立，也就是當 P(A|B)＝P(A∩B) / P(B) ＝P(A)成立 則P(A∩B)＝P(B)P(A)。

餘集法則（complementary rule） P(A)＝1 － P(Ac)或P(Ac)＝1 － P(A)此即為餘集法則。 由於事件A及事件Ac正好將整個樣本空間一分為二 A與Ac互斥事件且A∪Ac＝S，運用互斥事件加法法則: P(A∪Ac)＝P(A)＋P(Ac)＝P(S)＝1 P(A)＝1 － P(Ac)或P(Ac)＝1 － P(A)。 此餘集法則非常重要且相當好用，在某些情況下 可省去許多多餘的運算，加快解題速度。

【例】 有一神射手，其槍法十分準確。對於在五十公尺 遠的目標，有90％的機率可射擊命中。今對於此 目標連續射發十次，並假設十次擊發彼此皆為獨 立事件。試問此神射手至少失誤一發的機率?

正好失誤一發的事件，正好失誤二發的事件，…，正好失誤十發的事件。 這些情形都包含在A事件內， 而要一一算出別事件機率，是耗力且費時的。 解： 定義A：至少失誤一發的事件。 若要直接算出P(A) 必須考慮很 多種情況，例如， 正好失誤一發的事件，正好失誤二發的事件，…，正好失誤十發的事件。 這些情形都包含在A事件內， 而要一一算出別事件機率，是耗力且費時的。 而A的餘事件Ac，也就是十發完全命中無失誤的事件，很明顯的，P(Ac)容易計算的多。 P(Ac)＝(0.9)10， 運用餘集法則： P(A)＝1－P(Ac)＝1－(0.9)10＝0.6513　　　

我們已經知道獨立的定義了,那我們現在來看看獨立跟互斥的差別吧? 獨立：若Ａ與Ｂ為獨立事件，則 P(A) = P(A | B)，或是 P(A且B) = P(A)*P(B) 白話來說，就是Ａ發生的機率跟Ｂ無關，例如明天會不會下雨，跟王建明會不會獲得第１５場勝投無關，也就是明天會下雨，與王建明得勝投兩事件互相獨立。

互斥：兩集合沒有交集，就稱為互斥事件：P(A且B) = 0，或是 (A且B) = 空集合

重複實驗：一試驗獨立測試是指將某一次試驗重複進行N次。

二項分佈：如果一個Ｎ次獨立隨機試驗的結果只有兩種成功或失敗，P(成功)=p，則我們稱此試驗為白努力試驗。 隨機變數Ｘ表示ｎ次中成功次數，則隨機變數X所定義的機率函數稱為二項分佈。

定理：若Ｎ次白努力隨機試驗中，每次試驗成功的機率為p，則Ｎ次實驗中，恰好成功Ｋ次的機率為ＣＰ(1-p)，０＜Ｋ＜Ｎ

我們將Ｎ次白努力試驗中，恰成功Ｋ次的機率記為b(k，n，p) 而Ｎ次中 ，至少成功ｋ次的機率，記為Ｂ(k，n，p)

定理：隨機變數Ｘ表Ｎ次白努力試驗中，成功的次數，每次成功的機率為Ｐ Ｘ的期望值　Ｅ(X)＝np Ｘ的變異數　Ｖar(X)=np(1-p)

教學網頁設計理念 盡量用簡單的觀念讓學生吸收 讓課堂上聽不懂的同學回家後可利用網路資源補救回來

網頁設計目標 讓學生先學會基礎的加法原理,乘法原理,再進階到用餘集法則來增快解題速度 利用生活化的例子來說明獨立事件與互斥事件有何不同,可以讓學生不再混亂,印象更深刻,如此一來,考試時便不會分不清楚了.