2.3 博弈树搜索 ☼● ○ ☼● ○ ☼● ○ ● ☼ ○ ● ☼ ○ ● ☼ ○ ☼ ● ○ ● ☼ ○

1.概述 20世纪60年代，研制出的西洋跳棋和国际象棋达到了大师级的水平。 1958约翰•麦卡锡提出博弈树α－β剪枝算法 1997年，IBM公司研制的“深蓝”国际象棋 程序，采用博弈树搜索算法，该程序战胜了国际象棋世界冠军卡斯帕罗夫。

正在与深蓝下棋的卡斯帕罗夫

1.概述 博弈问题特点： 双人对弈，轮流走步。 信息完备，双方所得到的信息是一样的。 零和，即对一方有利的棋，对另一方肯定是不利的，不存在对双方均有利或无利的棋。

1.概述 博弈的特性 两个棋手交替地走棋 ； 比赛的最终结果，是赢、输和平局中的一种； 可用图搜索技术进行，但效率很低； 博弈的过程，是寻找置对手于必败态的过程； 双方都无法干预对方的选择。

2.Grundy 博弈 下棋的双方是对立的，命名博弈的双方，一方为“正方”，这类节点称为“MAX”节点；另一方为“反方”，这类节点称为“MIN”节点。正方和反方是交替走步的，因此MAX节点和MIN节点会交替出现。

2.Grundy 博弈 Grundy博弈是一个分钱币的游戏。有 一堆数目为N的钱币，由两位选手轮流进行分堆，要求每个选手每次只把其中某一堆分成数目不等的两小堆。例如，选手甲把N分成两堆后，轮到选手乙就可以挑其中一堆来分，如此进行下去，直到有一位选手先无法把钱币再分成不相等的两堆时就得认输。

2.Grundy 博弈 设初始状态为(7，MIN)，建立问题的状态空间图，图中所有终结点均表示该选手必输的情况，取胜方的目标是设法使棋局发展为结束在对方走步时的终结点上。

2.Grundy 博弈 MIN先走 MAX必胜

2.Grundy 博弈 结点A是MAX的搜索目标，而结点B，C则为MIN的搜索目标。

2.Grundy 博弈 搜索策略要考虑的问题是： 对MIN走步后的每一个MAX结点，必须证明MAX对MIN可能走的每一个棋局对弈后能获胜，即MAX必须考虑应付MIN的所有招法，这是一个与的含意，因此含有MAX符号的结点可看成与结点。

2.Grundy 博弈 对MAX走步后的每一个MIN结点，只须证明MAX有一步能走赢就可以，即MAX只要考虑能走出一步棋使MIN无法招架就成，因此含有MIN符号的结点可看成或结点。

2.Grundy 博弈 对弈过程的搜索图呈现出与或图表示的形式。 实现一种取胜的策略就是搜索一个解图的问题，解图就代表一种完整的博弈策略。

3.极小极大搜索过程 对各个局面进行评估 评估的目的：对后面的状态提前进行考虑，并且以各种状态的评估值为基础作出最好的走棋选择。 评估的方法：用评价函数对棋局进行评估。赢的评估值设为+∞，输的评估值设为-∞，平局的评估值设为0。 评估的标准：由于下棋的双方是对立的，只能选择其中一方为评估的标准方。

3.极小极大搜索过程 MAX节点和MIN节点 命名博弈的双方，一方为“正方”，对每个状态的评估都是对应于该方的输赢的。例如，赢2个，输1个等，都是指正方的。正方每走一步，都在选择使自己赢得更多的节点，因此这类节点称为“MAX”节点；

3.极小极大搜索过程 另一方为“反方”，对每个状态的评估都是对应于对手的输赢的。例如，赢2个，输一个，其实是指自己输2个，赢1个的。反方每走一步，都在选择使对手输得更多的节点，因此这类节点称为“MIN”节点。

3.极小极大搜索过程 由于正方和反方是交替走步的，因此MAX节点和MIN节点会交替出现。

3.极小极大搜索过程 正方（MAX节点）从所有子节点中，选取具有最大评估值的节点。 反方（MIN节点）从其所有子节点中，选取具有最小评估值的节点。 反复进行这种选取，就可以得到双方各个节点的评估值。这种确定棋步的方法，称为极小极大搜索法。

3.极小极大搜索过程

3.极小极大搜索过程 MAX MIN MAX MIN 5 -3 3 3 -3 2 2 -3 -2 3 5 4 1 -3 6 8 9 -3

3.极小极大搜索过程 1 MAX 1 MIN 3 1 6 MAX -3 -2 6 MIN -3 1 -3 -3 3 -3 5 -3 3 3 1 MIN 3 1 6 MAX -3 -2 6 MIN -3 1 -3 -3 3 -3 5 -3 3 3 -3 2 2 -3 -2 3 5 4 1 -3 6 8 9 -3

3.极小极大搜索过程 在九宫格棋盘上，两位选手轮流在棋盘上摆各自的 棋子(每次一枚)，谁先取得三线的结果就取胜。 设程序方MAX的棋子用(×)表示， MAX先走。 对手MIN的棋子用(o)表示。 例如： MIN取胜

3.极小极大搜索过程 估计函数 f(p)=(所有空格都放上MAX的棋子之后，MAX的三子成线数)－(所有空格都放上MIN的棋子之后，MIN的三子成线的总数) 若P是MAX获胜的格局，则f(p)=+∞ ； 若P是MIN获胜的格局，则f(p)＝-∞ 。

3.极小极大搜索过程 估计函数值 f(p)=6-4=2 估计函数 f(p)=(所有空格都放上MAX的棋子之后，MAX的三子成线(行、列、对角)数)－(所有空格都放上MIN的棋子之后，MIN的三子成线(行、列、对角)的总数) 估计函数值 f(p)=6-4=2

3.极小极大搜索过程 一字棋第一阶段搜索树

3.极小极大搜索过程 一字棋第二阶段搜索树

3.极小极大搜索过程 一字棋第三阶段搜索树

3.极小极大搜索过程 棋盘残局举例： 设有一个摆放三个子的棋盘残局，如下图所示，〇和╳在结束前有三步棋可以走，而且设走第一步的是╳ 。这时存在着三个空格A，B，C，用博弈树搜索算法判断应该把棋子放到哪一格内。 A B ╳ 〇 C

3.极小极大搜索过程 - - - - -1 1 A B C MAX节点 MIN节点 B C A C A B 终端节点 C B C A ╳ 〇 C MAX节点 MIN节点 ╳ B 〇 C A ╳ 〇 C A B ╳ 〇 - - 终端节点 ╳ 〇 C ╳ B 〇 〇 ╳ C A ╳ 〇 〇 B ╳ A 〇 ╳ - - -1 1

3.极小极大搜索过程 对于棋盘残局中的╳来说，最好的选择，是将╳放在C的位置上，这时可以导致平局局面。

3.极小极大搜索过程 中国象棋 一盘棋平均走50步，总状态数约为10的161次方。 假设1毫微秒走一步，约需10的145次方年。 结论：不可能穷举。

4. -搜索过程 -剪支法的引入 在极小极大法中，必须求出所有终端节点的评估值，当预先考虑的棋步比较多时，计算量会大大增加。为了提高搜索的效率，引入了通过对评估值的上下限进行估计，从而减少需进行评估的节点范围的-剪支法。

4. -搜索过程 MAX节点的评估下限值 作为正方出现的MAX节点，假设它的MIN子节点有N个，那么当它的第一个MIN子节点的评估值为时，则对于其它的子节点，如果有高过的，就取那最高的值作为该MAX节点的评估值；如果没有，则该MAX节点的评估值为。 总之，该MAX节点的评估值不会低于，这个就称为该MAX节点的评估下限值。

4. -搜索过程 MIN节点的评估上限值 作为反方出现的MIN节点，假设它的MAX子节点有N个，那么当它的第一个MAX子节点的评估值为时，则对于其它子节点，如果有低于的，就取那个低于的值作为该MIN节点的评估值；如果没有，则该MIN节点的评估值取。 总之，该MIN节点的评估值不会高过，这个就称为该MIN节点的评估上限值。

4. -搜索过程 剪支法 设MAX节点的下限为，则其所有的MIN子节点中，其评估值的上限小于等于的节点，其以下部分的搜索都可以停止了，即对这部分节点进行了剪支。 剪支 MAX节点 A  MIN节点 B C  D = 

4. -搜索过程 剪支法 设MIN节点的上限为，则其所有的MAX子节点中，其评估值的下限大于等于的节点，其以下部分的搜索都可以停止了，即对这部分节点进行了剪支。 剪支 MIN节点 A  C B  D MAX节点 = 

4. -搜索过程 A B C G D E F H I J K N O L M 3 5 6 5 2 1 6 4 MAX节点 MIN节点 4. -搜索过程 MAX节点 A B C MIN节点 G MAX节点 D E F H 终端节点 I J K N O L M 3 5 6 5 2 1 6 4

4. -搜索过程 (5,) A B C (-,5) (-,2) (5,) (6,) (2,) G D E F H I J K 4. -搜索过程 (5,) A 剪支 MAX节点 B C (-,5) (-,2) MIN节点 (5,) (6,) (2,) G MAX节点 D E F H 终端节点 I J K N O L M 3 5 6 5 2 1 6 4 剪支

4. -搜索过程 一字棋第一阶段-剪支方法

4. -搜索过程 极大节点的下界为。 极小节点的上界为。 剪支的条件： 简记为： 后辈节点的值≤祖先节点的值时， 剪支 4. -搜索过程 极大节点的下界为。 极小节点的上界为。 剪支的条件： 后辈节点的值≤祖先节点的值时， 剪支 后辈节点的 值≥祖先节点的值时， 剪支 简记为： 极小≤极大， 剪支 极大≥极小， 剪支

4. -搜索过程 f m d h b k n i e a c g j MAX 1 MIN 1 3 1 6 MAX 5 -3 6 -3 4. -搜索过程 f MAX 1 MIN 1 m d h b 3 1 6 MAX k n i a e c 5 g -3 6 -3 MIN 3 j 4 1 5 -3 3 3 -3 2 2 -3 -2 3 5 4 1 8 9 -3 -3 6

4. -搜索过程 改进方法 使用-剪支技术，当不满足剪支条件(即)时或值比值大不了多少或极相近时，这时也可以进行剪支，以便有条件把搜索集中到会带来更大效果的其他路径上，这就是中止对效益不大的一些子树的搜索，以提高搜索效率。

4. -搜索过程 不严格限制搜索的深度。当到达深度限制时，如出现博弈格局有可能发生较大变化时，则应多搜索几层，使格局进入较稳定状态后再中止，这样可使倒推值计算的结果比较合理，避免考虑不充分产生的影响，这是等候状态平稳后中止搜索的方法。

4. -搜索过程 当算法给出所选的走步后，不要马上停止搜索，而是在原先估计可能的路径上再往前搜索几步，再次检验会不会出现意外，这是一种增添辅助搜索的方法。

4. -搜索过程 对某些博弈的开局阶段和残局阶段，往往总结了一些固定的对弈模式，因此可以利用这些知识编好走步表，以便在开局和结局时使用查表法。只是在进入中盘阶段后，再调用其他有效的搜索算法，来选择最优的走步。