第三章 靜力平衡 3-1 力的測量 3-2 力的種類 3-3 力的合成與分類 3-4 力矩和力偶 3-5 靜力平衡的條件 3-6 重心 3-7 靜摩擦力 3-8 靜力學應用實例

3-1 力的測量 (1/3) 力的效應： 彈性恢復力 力可以使物體 ； 運動狀態發生改變 力可以使物體 。 產生形變 力可以使物體 ； 運動狀態發生改變 力可以使物體 。 產生形變 [說明]：利用力的這兩種效應，可用於測量 力的大小。 彈性恢復力 物體一旦發生形變，即會產生一種彈性恢復力， 當外力去除時即恢復原狀，這種恢復力稱為彈力。 [說明]：當物體形變量超過某個極限， 就無法恢復原狀，這個極限 稱為「彈性限度」。

3-1 力的測量 (2/3) 虎克定律： 在彈性限度內，彈簧長度的變化量(x) 和所受外力(F)成正比。 F=kx k：彈簧的彈力常數， A B k：彈簧的彈力常數， 單位是kgw/m或gw/cm。 x O 例題3-1

3-1 力的測量 (3/3) 彈簧組合： (1)串聯 F = F1 = F2 x = x1 + x2 1 1 1 = + k k1 k2 (2)並聯 F = F1 + F2 x = x1 = x2 k = k1 + k2

3-2 力的種類 (1/2) 力的分類： 根據施力體是否和物體接觸，力可區分為： 接觸力 超距力 。 、 [問題]：哪些力是超距力? 例題3-2 [問題]：哪些力是超距力?

3-2 力的種類 (2/2) [問題1]：若不計繩重，繩子下端的張力與上方 是否相同? 若考慮繩重又如何? [問題2]：什麼是「正向力」?

3-3 力的合成與分解 (1/5) 力的圖示 力是向量，可以一射線表示。 代表力的大小； 即是力的方向。 射線的長度 射線的方向

3-3 力的合成與分解 (2/5) 力的合成 平移使F1和F2的起點重合， 以此二邊圍成一個平行四邊形， 連接起點和對角頂點即為合力。 (1)平行四邊形法 平移使F1和F2的起點重合， 以此二邊圍成一個平行四邊形， 連接起點和對角頂點即為合力。 (2)三角形法 平移F2使其起點和F1的終點重合， 連接F1的起點和F2的終點即為合力。

3-3 力的合成與分解 (3/5) 力的合成 [說明]：多個力的合成也可用平行四邊形法 或三角形法(多邊形法)求合力。 F2 F3 F’ F 例題3-3

3-3 力的合成與分解 (4/5) 力的分解 一個力可分解成兩個分力或多個分力， 分解的方式有無限多種。 [註]：分力的大小不一定比合力小。 F F Fy F2 F F1 F2 F1 Fx [註]：分力的大小不一定比合力小。 例題3-4 [說明]：物理上，常將力分解成兩個 互相垂直的分力。如上圖中， Fx=Fcosq、 Fy=Fsinq 。

3-3 力的合成與分解 (5/5) 力的合成與分解 [說明]： 在求多個力的合力時，我們常將各個力分解成互相垂直的分力，而後再求其合力。 Fx=F1x+ F2x + F3x Fy=F1y+ F2y + F3y 例題3-5 Fy F= (Fx)2 + (Fy)2 tanq= Fx

3-4 力矩和力偶 (1/4) [問題]：在下列哪一種情況中，螺絲較容易被鬆開? (a) (b) (c)

3-4 力矩和力偶 (2/4) 力矩 力的作用線到支點的垂直距離。 力矩等於力(F)和力臂(d)的乘積。 (1)力臂 力的作用線到支點的垂直距離。 d=r=rFsinq (2)力矩 力矩等於力(F)和力臂(d)的乘積。 t=dF= (rsinq) F= r(Fsinq)

3-4 力矩和力偶 (3/4) 力矩 力矩是一向量，其方向可為 順時鐘方向或逆時鐘方向。 力矩的單位可以是牛頓公尺(Nm) (3)方向 力矩是一向量，其方向可為 順時鐘方向或逆時鐘方向。 (4)單位 力矩的單位可以是牛頓公尺(Nm) 或公斤重公尺(kgwm)。 例題3-6 例題3-7 [說明]：力矩的大小由力的大小、 方向、施力點等三要素決定。

3-4 力矩和力偶 (4/4) 力偶與力偶矩 當物體受到大小相等、方向相反而不作用在 同一直線上的兩力作用時，此兩作用力 稱為一對力偶。 (1)力偶 當物體受到大小相等、方向相反而不作用在 同一直線上的兩力作用時，此兩作用力 稱為一對力偶。 (2)力偶矩 如上圖，當兩力對槓桿施力時，造成 的力偶矩 t=d1F+d2F=dF。

3-5 靜力平衡的條件 (1/3) 靜力平衡 當物體受到力的作用但卻保持靜止，則 物體處於『靜力平衡』狀態。 [問題]： F1 F2 (1)平移平衡的條件？ 合力為0，Fi=0 F2 F1 (2)轉動平衡的條件？ 合力矩為0， ti=0 例題3-8 例題3-9 例題3-10 例題3-11

3-5 靜力平衡的條件 (2/3) 靜力平衡 [問題]： 合力和合力矩必須同時為零，  Fi=0 ， ti=0 F F1 F2 (3)靜力平衡的條件？ 合力和合力矩必須同時為零，  Fi=0 ， ti=0 例題3-12 例題3-13 例題3-14 例題3-15

3-5 靜力平衡的條件 (3/3) 拉密定理 [說明]： 正弦定理： F1 F2 F3 = = sinq1 sinq2 sinq3 F1 sin(p-q1) sin(p-q2) sin(p-q3) F1 F2 F3 q1 q2 q3 F3 q1 F2 q3 F1 q2

3-6 重心 (1/7) 重心的位置 [問題]： 如右圖，兩球形物體以質量不計 的輕桿連接，則支點需在何處才可使整個系統平衡而不致傾倒？ (1)重心被看作是物體各部份重量的 集中點，所以支點設在重心正下方 時，物體處於「靜力平衡」狀態。

3-6 重心 (2/7) 重心的位置 W1+W2+ W3+W4 x1 x2 x3 x4 G xG W3 W2 W1 W4 (2)重心位置的計算 xiWi yiWi ziWi xG= yG= zG= Wi Wi Wi

3-6 重心 (3/7) 重心的位置 (3)重心位置的測定 當物體被吊起而平衡時，重心位置必位於懸吊點的正下方，因此更換懸吊點兩至三次重複此步驟，交會線的所在即為重心處。

3-6 重心 (4/7) 重心的位置 [問題]： 均勻對稱的物體，其重心所在是否位於幾何中心？ 例題3-16 例題3-17 例題3-18

3-6 重心 (5/7) 重心與平衡 [問題]： 如上圖，物體在哪些情況下將無法平衡而 摔落桌面？ (a) (b) (c) (d) 例題3-19

3-6 重心 (6/7) 平衡的種類 如上圖，(a)圖為穩定平衡；(b)圖為不穩定平衡； [問題1]：何者稍微傾斜，將使重心上升？ (a) (c) 如上圖，(a)圖為穩定平衡；(b)圖為不穩定平衡； (c)圖為隨遇平衡。 [問題1]：何者稍微傾斜，將使重心上升？

3-6 重心 (7/7) [問題2]： 右圖中，A、B、C各處於何種 平衡狀態? [問題3]： 下圖中的裝置，各處於何種平衡狀態? (a)

3-7 靜摩擦力 (1/3) 摩擦力 fs=msN f fk=mkN F O 動摩擦力 fk=mkN fs fk

3-7 靜摩擦力 (2/3) 靜摩擦力 fs=msN f fk=mkN F O [問題1]： 為什麼最大靜摩擦力f s > 動摩擦力f k ? [問題2]： 最大靜摩擦力f s 和哪些因素有關 ? 例題3-20

3-7 靜摩擦力 (3/3) 摩擦係數的測量 物體置於斜面上，緩慢地增加傾斜角q，當物體 恰欲開始下滑時，斜面的傾斜角為q，此時， y N Wsinq f x Wcosq 摩擦係數的測量 W q 物體置於斜面上，緩慢地增加傾斜角q，當物體 恰欲開始下滑時，斜面的傾斜角為q，此時， 靜摩擦係數 ms=tanqs。 [問題]：動摩擦係數是否也可用此方法測量？ 例題3-21 例題3-22

3-8 靜力學應用實例 (1/5) 使用機械的目的： 省力、省時、改變施力方向 。 。 使用目的： 支點在中間 改變施力方向 。 使用目的： 3-8-1 槓桿 (1) 第一類槓桿： 。 使用目的： 支點在中間 改變施力方向 (2) 第二類槓桿： 。 使用目的： 抗力點在中間 省力但費時 (3) 第三類槓桿： 。 使用目的： 施力點在中間 省時但費力

3-8 靜力學應用實例 (2/5) 使用目的： 。 使用目的： 。 使用目的： 改變施力方向 。 省力但費時 省力、改變施力方向 3-8-2 滑輪 (2) 動滑輪 使用目的： 。 (3) 滑輪組 使用目的： 。 (1) 定滑輪 使用目的： 改變施力方向 。 省力但費時 省力、改變施力方向

3-8 靜力學應用實例 (3/5) 使用目的： 。 省力但費時 q [說明]： 如右圖，物體置於光滑斜面上時， 3-8-3 斜面 F 使用目的： 省力但費時 。 q [說明]： W 如右圖，物體置於光滑斜面上時， 物體的下滑力=Wsinq，所以將物體 上推所需的力僅需稍大於 Wsinq 即可。

3-8 靜力學應用實例 (4/5) 使用目的： 施力在輪，省力費時 ； 施力在軸，費力省時 。 [說明]： 3-8-4 輪軸 使用目的： 施力在輪，省力費時 ； 施力在軸，費力省時 。 [說明]： 如右圖所示，輪軸可視為第一類槓桿的變形，若物掛於軸上而施力在輪上 ，則 RF=rW F=( )W r R

3-8 靜力學應用實例 (5/5) 使用目的： 省力但費時 。 [說明]： 右圖是截面頂角為q的三角形劈。當 3-8-5 劈 使用目的： 省力但費時 。 [說明]： 右圖是截面頂角為q的三角形劈。當 劈開其下方的物體時，所受的抗力為 f，則施力F與抗力f的關係為 F=2fsin q 2 [註]：劈的頂角愈小愈省力。

一彈簧沿鉛直方向懸掛80 gw之物體時，全長為 例題3-1 一彈簧沿鉛直方向懸掛80 gw之物體時，全長為 22 cm；改掛140 gw之物體時，全長為25 cm，則： (1) 該彈簧之力常數為何？ (2) 若將彈簧橫放水平光滑桌面上，在其兩端 施加拉力F時，全長為23 cm，則F為何？

在圖3-6所示的各種情況中，指出物體所受的外力。 例題3-2 在圖3-6所示的各種情況中，指出物體所受的外力。 (1)在圖(a)中，將一小球以20 m/s的速度水平拋射出去 (2)在圖(b)中，一物體靜止地鉛直懸掛在一彈簧的下端 (3)在圖(c)中，一均勻球體靜置於兩光滑木板之間； (4)在圖(d)中，一置於光滑地面上的磚塊緊靠著牆壁， 人以手沿水平方向施力推之。 (a) (b) (c) (d)

兩力的大小均為10 kgw，夾角為60o，如圖所示。 求合力的大小和方向為何？又若兩者之間的夾角 為120o，則合力的大小和方向為何？ 例題3-3 兩力的大小均為10 kgw，夾角為60o，如圖所示。 求合力的大小和方向為何？又若兩者之間的夾角 為120o，則合力的大小和方向為何？ 10 kgw 60o 10 kgw

例題3-4 在右圖中，5.0 kgw的力沿著與水平夾成30o的方向， 拉動一車子，此力沿水平方向拉車向前的分力是 多少？

在一光滑水平的桌面上有一很輕的小銅環，被三條 細線沿水平方向拉住，細線對銅環的作用力方向， 例題3-5 在一光滑水平的桌面上有一很輕的小銅環，被三條 細線沿水平方向拉住，細線對銅環的作用力方向， 如右圖所示，其量值分別為 F1= 25 gw，F2 = 15 gw， F3 = 30gw，試求此銅環所受的合力為何？ F2 127o 90o F1 F3

例題3-6 如右圖所示，在輪胎換好後，必須將螺帽鎖緊， 說明書上載明需以9.2 kgw·m的力矩來轉，螺帽才 不至於鬆動。若手握扳手處與螺帽的距離為45 cm ，當施力的方向和扳手的把柄夾角為60o時，試求 手須施力的大小。

如右圖所示，一木棒的一端固定於O點，在另一端 施力分別為F1、F2、和F3三力，三者中何者對通過 (圖中的虛線L與棒平行) 例題3-7 如右圖所示，一木棒的一端固定於O點，在另一端 施力分別為F1、F2、和F3三力，三者中何者對通過 O點的轉軸，所產生的力矩最大？何者最小？ (圖中的虛線L與棒平行) L F2 F3 F1 O A

例題3-8 小明和小華兩人在滑梯上遊戲。小華重20 kg，欲 在傾斜角為30o的滑梯上溜下去，小明則在滑梯頂 上，用手以平行滑梯方向的力抓住小華，如下圖 所示。若不計滑梯面上的摩擦力，則小明須施力 多大，才可拉住小華，使靜止在滑梯上？

例題3-9 如圖所示，一物體以細繩C鉛直吊起，接至懸於 天花板的A、B兩細繩，其中A繩另連接一彈簧秤。 已知A和B兩繩和天花板的夾角分別為30o和45o， 彈簧秤的讀數為1.83 kgw，試求物體的重量和B繩 的張力。

父親與孩子兩人坐翹翹板，父親重60 kg，距離 中央支點0.6 m，孩子重30 kg，距離支點1.5 m， 如圖所示。試問： 例題3-10 父親與孩子兩人坐翹翹板，父親重60 kg，距離 中央支點0.6 m，孩子重30 kg，距離支點1.5 m， 如圖所示。試問： (1)翹翹板會平衡嗎？ (2)若翹翹板會轉動，父親應坐在哪裡，翹翹板 才能平衡？

例題3-11 右圖是利用輪軸將重物提升的示意圖，輪軸的 半徑分別為20 cm及10 cm，其上各繞以繩子，繞軸 的繩接一10 kgw的重物，以手拉繞輪的繩子，則 手須施力多大才可將物拉起？

例題3-12 在右圖中，以手提桿秤來稱物體的重量。當桿秤 平衡時，圖中AB長6 cm，BC長12 cm，手握處B的 重量刻度為零，C處的重量刻度為0.80 kgw，若 桿重不計，則手向上拉的作用力是多少kgw？

在右圖中，A和B兩人共同以一輕的扁擔，抬一 例題3-13 在右圖中，A和B兩人共同以一輕的扁擔，抬一 60 kgw的物體，兩人相距1.5 m，物體置於距離A 1.0 m處，若扁擔重量不計，則兩人各施力多大？

例題3-14 在下圖中，一木棒（重量可以忽略）的A端以 樞紐固結在牆上，在棒上B處用細繩繫在牆上D處，使木棒呈水平，繩與棒之間的夾角為60o。另有一物體重5.0 kgw以細繩吊在棒上C處。若AB長1.2 m，AC長0.8 m，則BD繩的張力為何？牆壁作用於木棒的力的量值為何？

例題3-15 在下圖中，長度為L的梯子斜靠在光滑的牆壁上， 梯子和水平地面之間的夾角為60o，一人重50公斤 ，站在梯上距梯子底端L/3處。假設梯子靜止不動 ，而且梯子的重量可以忽略不計，求地面對梯子 的作用力。

例題3-16 在右圖中，邊長為1.0 m的正三角形的三頂點，各 置有重量為0.20 kgw、0.60 kgw、和0.10 kgw的小物 體，求此組合的重心位置。

右圖為一厚度和密度皆均勻的L形曲尺，寬度甚小 ，可以忽略，長邊和短邊的長度分別為0.80 m和 例題3-17 右圖為一厚度和密度皆均勻的L形曲尺，寬度甚小 ，可以忽略，長邊和短邊的長度分別為0.80 m和 0.40 m。求此曲尺的重心位置。

例題3-18 一木棒AB長32 cm，在AB兩端各以彈簧秤鉛直吊起 ，秤上讀數分別為60 gw和100 gw，如下圖所示， 棒的重心位置與A端的距離多少cm？

例題3-19 如下圖，A、B、C三均勻木塊長度均為l，重量皆 相同，三木塊之間彼此不相黏，往上疊置，彼此 錯開一距離d。若欲保持平衡，則圖中d的最大值 為何？

在下圖(a)中，木箱重量為60 kgw，與地面之間的靜 摩擦係數為0.40，一人欲拉動木箱，所需的最小 例題3-20 在下圖(a)中，木箱重量為60 kgw，與地面之間的靜 摩擦係數為0.40，一人欲拉動木箱，所需的最小 水平拉力為何？若此人改以與水平面成30o向下推 ，如(b)圖所示，或與水平面成30o 向上拉，如(c)圖 所示，則何者所需的力較小？各需施力多少？ (a) (b) (c)

例題3-21 在下圖中，斜角為30o的固定斜面上放置重2.0 kgw 的物體，物體和斜面之間的靜摩擦係數為0.40。 今沿平行於斜面的方向上施力，使物體靜止在 斜面上，求此力的量值範圍。

例題3-22 在例題3-15中，如圖所示，若人稍往上爬，梯子 即將滑動，則梯與地面間的靜摩擦係數是多少？