評量研習 國立臺南大學應用數學系 　　　　謝　　堅

◎為什麼學校考試的試題，大多數 ◎為什麼老師們不喜歡出沒有見過 ◎沒有見過的題目，漂亮的題目， 都是我們(或學童)熟悉的題目？ (或不常見到)的題目？ ◎沒有見過的題目，漂亮的題目， 　是怎麼冒出來的？

困難，但是算過的題目。 簡單，但是沒有看過的題目。 簡單，但文字描述很長的題目。 ◎那些是學生無法得分的題目? ◎為何學童害怕這些簡單的題目?

◎請您命一份段考的紙筆測驗： ◎您如何命題？ ◎您會注意那些事項? ◎您會準備哪些資料？

◎參考課本、 習作、參考書的例題 方式甲： 及習題，或參考書局的題庫光碟 、 考古題等題目，再透過改數字 ，改情境， 轉化題型（填充題改 　及習題，或參考書局的題庫光碟 　、 考古題等題目，再透過改數字 　，改情境， 轉化題型（填充題改　 　成選擇題）等方式命題。

◎不參考任何試題(或者只是純參考 方式乙： 但不使用)，依據考試範圍的教學 目標、重要的數學概念、上課時 學童容易混淆的教材等，在日常 　但不使用)，依據考試範圍的教學 　目標、重要的數學概念、上課時　 　學童容易混淆的教材等，在日常 　生活中尋找相關的情境轉化成題 　目，或將基本概念轉化成題目。

◎您的試題中，原創性問題的比例 是多少? ◎大型測驗都要求原創性的問題。

◎數學命題的三個向度： 數學內容 數學能力 難度描述

◎數學科試題： 以數學內容為橫軸，以數學能力 為縱軸，形成雙向細目分析表， 作為數學科試題編製的依據。

雙向細目表: ◎雙向細目表是測驗編製的藍圖和 　命題的依據，它是以數學能力和 　數學內容為兩個軸，分別說明各 　項評量目標。

◎建立雙向細目表可以幫助命題者 釐清數學能力和學習內容的關 係，以確保測驗能反映教材的內 容，並能夠真正評量到預期之學 習結果。

◎應該在命題之前做好雙向細目分 析表，不要在命題之後再創造雙 向細目分析表，不要為有一個好 看的雙向細目表而分類。

數學內容領域： ◎大範圍的考試： 　課程標準五大主題能力指標： ◎數與量(數與計算、量與實測) 　幾何 　代數 　統計與機率 連結

◎中等範圍的考試(期末考)： 課程標準分年細目指標： ◎小範圍的考試(期中考、平時考) 課本的教學目標、活動目標：

數學能力 ◎布魯姆等將教育目標分類： 　認知領域、情意領域、動作技能 　領域。 ◎認知領域：知識、理解、應用、 　分析、綜合、評鑑六個由簡單到 　複雜的層次，每一個層次的目標 　包含較低層次的目標。

◎在國中、小階段，分析、綜合、 　評鑑三層次不易細分及命題，一 　般將它們合稱為批判性思考。 ◎以前將數學能力區分為 　知識、理解、應用、批判性思考

◎2001年修訂版： ◎認知歷程向度： 記憶、了解、應用、分析、評 鑑、創造 ◎知識向度： 事實知識、概念知識、程序知 識、後設認知知識

◎數學科試題將學生的數學能力 　分成概念理解、程序執行、 　問題解決三大類。

概念理解 ◎可以辨識(recognize)、命名 　(label)、並且舉出概念的例子； ◎運用相關的模式、圖示、操弄物 　、以及各種概念的表徵； ◎確認並運用原則； ◎知道並且應用事實及定義；

◎比較、對照、以及整合相關的概 　念及原則； ◎辨識、詮釋以及應用符號及相關 　的術語來表徵概念。 ◎概念理解反映出學生在情境中推 　理的能力，包含謹慎應用概念的 　定義、關係、或者表徵。

程序執行 ◎正確的選擇及應用適當的程序； ◎運用具體的模式或者符號的方法 　確認或調整程序的正確性； ◎或者在問題情境中因應相關條件 　延伸或修正程序處理； ◎程序執行包含閱讀以及製作圖或 　表(統計圖表)；

◎執行幾何構念，並且表現出四捨 　五入及排序等非計算性的技巧。 ◎程序執行通常反映在特定問題情 　境下連結代數歷程的學生能力， 　例如正確的運用代數、以及溝通 　問題情境脈絡下的結果。

問題解決 ◎辨識以及形成問題； ◎決定資料的ㄧ致性； ◎運用策略、資料、模式； ◎產生、延伸、以及修定程序；

◎在新情境中運用推理； ◎判斷解法的合理性及正確性。 ◎問題解決情境需要學生連結所有 　的數學概念知識、程序、推理以 　及溝通技巧來解決問題。

◎概念理解：不需要複雜的計算就　 　　　　　　能直接看出答案 程序執行：照表操課 　問題解決：應用在日常生活中的 　　　　　　問題 ◎可能同時滿足兩類數學能力

難度描述： ◎一般都區分為難、中、易三類 ◎易：0.8以上 　中：0.5～0.8 　難：0.5以下

題目(反省後修改的試題)。 每題的難易度，鑑別度。 各選項的通過率。 建議教師們建立自己的題庫： ◎題庫試題內容： ◎嘗試改編成二階段評量試題。

數學能力 數學內容 概念理解 程序執行 問題解決 合計 目標一 15 10 20 (分數) 目標二 3 2 4 (題數) 目標三 目標四

概念理解 程序執行 問題解決 總題數 數與量 10 30 幾 何 8 9 25 代 數 統計與機率 3 4 (33.33%) 90 能力 內容 概念理解 程序執行 問題解決 總題數 數與量 10 30 幾 何 8 9 25 代 數 統計與機率 3 4 (33.33%) 90 (100%)

◎分數比例 上課時數 教材的要性 精熟 其它

◎如何命一個沒有見過的新題目？ 怎麼教，就會怎麼考。 由數學概念開始思考： 由日常生活情境開始尋找：

◎已知： 518.49×73.206＝37956.57894 甲＝508.49×73.206、 乙＝518.49×63.206， 請問：甲－乙＝？ ◎考什麼概念？

◎518.49×73.206＝37956.57894 ◎甲＝508.49×73.206 ＝(518.49－10) ×73.206 ＝37956.57894－732.06 乙＝518.49×63.206 ＝518.49×(73.206－10) ＝37956.57894－5184.9 甲－乙＝5184.9－732.6＝4452.84

◎15顆紅球和12顆藍球合起來重60 公斤（每顆紅球都一樣重，每顆 藍球都一樣重），請問40顆紅球 和32顆藍球合起來重多少公斤？

◎累積： 15顆紅球、12顆藍球60公斤 　　　　　 30顆紅球、24顆藍球120公斤  45顆紅球、36顆藍球180公斤

◎分割： 15顆紅球、12顆藍球60公斤 　　　　　 5顆紅球、4顆藍球20公斤  5/7顆紅球、4/7顆藍球60/7公斤

◎先累積再分割： 15顆紅球、12顆藍球60公斤 　　　　　 5顆紅球、4顆藍球20公斤  40顆紅球、32顆藍球160公斤

◎甲＝1/3－0.3333333333 甲＝乙＝丙 甲：乙：丙＝1：2：3 甲：乙：丙＝3：2：1 甲：乙：丙＝3：6：1 乙＝2/3－0.6666666666 丙＝1－0.9999999999 請問下列敘述何者成立？ 甲＝乙＝丙 甲：乙：丙＝1：2：3 甲：乙：丙＝3：2：1 甲：乙：丙＝3：6：1

◎甲＝1/3－0.3333333333 乙＝2/3－0.6666666666 丙＝1－0.9999999999 甲×2＝(1/3－0.3333333333)×2 ＝2/3－0.6666666666＝乙 甲×3＝(1/3－0.3333333333)×3 ＝1－0.9999999999＝丙

◎甲＝1－99/200＋0.135 乙＝2－99/100＋0.27 丙＝2－97/200＋0.405 請問甲：乙：丙＝？

◎面對問題「一瓶水4/5公升，3/11 瓶水有多少公升？」時，我們可 以透過「分子乘以分子，分母乘 以分母」的方式算出答案。 請問下列說法何者正確？

分母乘以分母，是將1瓶水平分 分母乘以分母，是將1公升平分 分子乘以分子，是算有12個1/55 分子乘以分子，是算有12個1/55 成55等份的意思。 分母乘以分母，是將1公升平分 分子乘以分子，是算有12個1/55 瓶水的意思。 分子乘以分子，是算有12個1/55 公升的水的意思。

◎一瓶水4/5公升，3/11瓶水有多少 公升？ ◎1公升被5×11等份 命題者將它5等份  4/5公升 　公升？ ◎1公升被5×11等份 命題者將它5等份  4/5公升 解題者將它11等份  12/55公升

◎「7253564×3.625×25＝？」。 那些算式能算出正確的答案： 7253564×300÷4＋7253564÷8×125 7253000＋564÷8×125＋564×3×75 7253564×75＋7253564÷8×75 7253564×2900÷32

◎347×5＝3470÷2 347×25＝34700÷4 347×125＝347000÷8 ◎1/8＝0.125　 　3/8＝0.375 5/8＝0.625　 　7/8＝0.875

◎ 7253564×3.625×25 ＝7253564×(3＋0.625)×25 ＝7253564×3×25＋7253564×0.625×25 ＝7253564×300÷4＋7253564×5÷8×25

◎ 7253564×3.625×25 ＝7253564×(3＋5/8)×25 ＝7253564×(29/8)×25 ＝7253564×(29÷8×25) ＝7253564×(29×25÷8) ＝7253564×29×(25×4)÷(8×4) ＝7253564×2900÷32

◎一個邊長是10公分的正方體黏 土，將這個正方體黏土揉成一個 球， 請問下列敘述何者正確？

球的直徑比10公分長，球的體積 球的直徑比10公分長，但是球的 球的直徑比10公分短，球的體積 球的直徑比10公分短，但是球的 是1000立方公分。 球的直徑比10公分長，但是球的 體積不是1000立方公分。 球的直徑比10公分短，球的體積 球的直徑比10公分短，但是球的

◎甲、乙、丙、丁四個人站在正方 形的四個頂點。甲說：「乙在我 的東北方」，丙說：「乙在我的 北方」。下列敘述何者正確？ 丁一定在甲的北方 丁一定在乙的東南方　 丁一定在丙的東方 條件不足，無法確定丁的位置

◎如何命題：以三角形面積為例： ◎三角形面積有哪些評量重點？

三角形面積公式 單位面積概念 其它

◎三角形面積公式 ◎三角形面積＝(底×高)÷2 直接代公式 操弄底和高這2個變因 乘法對加法的分配律

◎直接代面積公式 ◎底是10公分、高是4公分的三角形 面積是多少平方公分？

◎下圖中的三角形面積是多少平方 公分？ 給1個底及對應高 給3個底及1個高 (底邊的高或側邊的高) 不給數據

◎底是2公尺、高是4公分的三角形 面積是多少平方公分？ 面積是多少平方公尺？

◎三邊長分別是10公分、24公分、 26公分的直角三角形，面積是 多少平方公分？ ◎將面積公式中的底和高隱藏起來 ◎給圖形或不給圖形，評量重點是　 　否相同？

◎掌控底和高這2個變因 ◎已知三角形甲的兩邊長是 2公分及3公分， 　何者不可能是三角形甲的面積？ 0.00001平方公分 1平方公分 3平方公分 4平方公分

2cm 3cm ◎固定一個邊，讓另一個邊變動， 　找出高最長的三角形

邊長18、16、12公分的三角形 邊長18、16、13公分的三角形 ◎請問下列哪一個銳角三角形的面 積最大？ 邊長18、16、12公分的三角形 邊長18、16、13公分的三角形 邊長18、16、14公分的三角形 邊長18、16、15公分的三角形

16cm 16cm 18cm 18cm ◎固定2個邊，讓第三個邊變動， 　找出高最長的三角形

邊長7、12、15公分的三角形 邊長7、12、16公分的三角形 邊長7、12、17公分的三角形 ◎請問下列哪一個鈍角三角形的面 積最大？ 邊長7、12、15公分的三角形 邊長7、12、16公分的三角形 邊長7、12、17公分的三角形 邊長7、12、18公分的三角形

7cm 7cm 12cm 12cm ◎固定2個邊，讓第三個邊變動， 　找出高最長的三角形

◎乘法對加法的分配律 　(拆解或合併三角形) ◎a×c＋b×c＝(a＋b)×c 　a×c－b×c＝(a－b)×c ◎找相同或有倍數關係的底和高

◎ 5cm 2cm 3cm 4cm

◎高是6或3 4×(3＋3)÷2  8×3÷2 5×3÷2  5×3÷2 2×(3＋3)÷2  4×3÷2 8×3÷2＋5×3÷2＋4×3÷2 　＝(8+5+4)×3÷2

邊長　　　　　　　　　　　　　　　 12公分 正方形 P(任意點)

邊長 12公分 正方形 a b P(任意點)

◎ (4×a＋4×b)÷2 ＝4×(a＋b)÷2 ＝4×12÷2 ＝24

◎其它 ◎題組 　併聯式題組 　串聯式題組

◎求長方形斜線部份的面積？ 4 　　　　　　　　　　　6

◎請問梯形中斜線部份三角形面積 是否一樣大？

◎斜線部份的面積是多少？ 4 　　　　　　　　　　 6

◎斜線部份的面積是多少？ 4 　 6　　　　6

◎斜線部份的面積是多少？ 4 　 6　　　　 6 9

◎ 4 　 5 6　　　　 6 9

◎單位面積概念 ◎我們選擇正方形為面積單位 可改用其它圖形為面積單位

◎兩個全等的正三角形可以拼成一　 　個平行四邊形(四個內角是60度、 120度、60度、120度)

◎邊長7公分的正三角形面積是 相鄰兩邊長是21公分及35公分， 一個夾角是60度平行四邊形面積 　的多少倍？ ◎評量重點為何？

◎(3×5)×2＝30

◎周長相等的正三角形和正六邊形

◎邊長相等的正三角形和正六邊形

◎邊長14公分正三角形面積是 邊長7公分正六邊形的多少倍？ ◎周長35公分正三角形面積是 周長14公分正六邊形的多少倍？ ◎邊長28公分正三角形面積是 周長21公分正六邊形的多少倍？

◎正六邊形面積是12，A、B、C是 中點，斜線部份三角形的面積？ A B C

◎正六邊形12，斜線部份面積是4.5

◎正六邊形12(24個單位)， 　斜線部份面積是4.5(9個單位)

◎圓的一些例子 ◎圓面積或周長有哪些評量重點？

一個圓的圓周率大約是( )？ 圓周長：直徑 甲圓的圓周長為a，直徑為b， 甲圓的圓周長為a，半徑為b， ◎圓的一些例子 一個圓的圓周率大約是( )？ 圓周長：直徑 　的比值大約是( )？ 甲圓的圓周長為a，直徑為b， 　請問a÷b≒( )？ 甲圓的圓周長為a，半徑為b， 　請問a÷b≒( )

◎圓周的長度是a，直徑是b，請問右圖 　中平行四邊形的面積大約是多少？

◎圓周的長度是a，直徑是b，請問右圖 　中長方形的面積和大約是多少？

100公分 500公分。 1000公分 2000公分。 ◎有一棵神木，二十個大人手牽著 手剛好可以圍繞神木一圈，請問 神木的直徑大約是幾公分？ 100公分　 　500公分。 1000公分　　2000公分。

◎長1000公尺，寬2公分，厚0.1公 　分的皮捲尺，全部捲在高及直徑 　都是2公分的圓柱上，請問圓柱的 　半徑增加了多少公分？ (圓周率＝3)

◎已知圓周長a公分，直徑長b公分 　a÷b＝3….c，請問b：c的比值 　介於哪兩個連續整數之間？ ◎評量重點為何？

◎已知：甲÷16＝3.625， 　如果『甲÷16』的商數是3， 　請問餘數是多少？

◎已知圓周長a公分，直徑長b公分 　a÷b＝3….c，請問b：c的比值 　介於哪兩個連續整數之間？ ◎a÷b＝3….c a÷b≒3.14  b×0.14≒c  b：c≒1：0.14

古埃及人算圓周率近似值的方法 ◎圓周長是直徑的3倍多 直徑 圓周長 ◎多出來的長度大約是直徑的1/8 ◎圓周率大約是3又1/8。