第七章 空间解析几何与向量代数 1/26
第一节 向量及其线性运算 向量的概念 向量的线性运算 空间点的直角坐标 利用坐标作向量的线性运算 向量的模、方向角、投影 小结、作业 第一节 向量及其线性运算 向量的概念 向量的线性运算 空间点的直角坐标 利用坐标作向量的线性运算 向量的模、方向角、投影 小结、作业 2/26
一、向量的概念 | | 向量（矢量）： 既有大小又有方向的量. 向量的表示： 向量的记法： 或 向量的模： 向量的大小 或 单位向量： | | 或 单位向量： 模长为1的向量。 零向量： 模长为0的向量 （方向任意）。 3/26
自由向量： 不考虑起点位置的向量（默认）. 相等的向量： 大小相等且方向相同的向量. 负向量： 大小相等但方向相反的向量. 向径： 起点在原点的向量。 平行的向量： 4/26
二、向量的线性运算 [1] 加法： （1）平行四边形法则 特殊地：若 ‖ 分为同向和反向 （2）三角形法则 5/26
向量的加法符合下列运算规律： （1）交换律： （2）结合律： （3） [2] 减法 6/26
[3]向量与数的乘法: 7/26
数与向量的乘积符合下列运算规律： （1）结合律： （2）分配律： 8/26
例1 化简 解 9/26
*例2 试证：任一个三角形的三条中线向量可以构成一个三角形。 *例2 试证：任一个三角形的三条中线向量可以构成一个三角形。 证 A D F B C E 10/26
三、空间点的直角坐标 竖轴 若三个坐标轴的正方向符合右手规则——右手系——最常用（默认）. 定点 纵轴 另一种空间直角坐标系——左手系. 横轴 空间直角坐标系 11/26
Ⅲ 面 面 Ⅱ Ⅳ Ⅰ 面 Ⅵ Ⅶ Ⅴ Ⅷ 空间直角坐标系共有三个坐标面、 八个卦限 12/26
向径OM 点M 有序数组 称为(x, y, z)向径OM的坐标, z 点M的坐标。 y x 向量AB的坐标 =向径OM的坐标 B(x2,y2,z2) y x A(x1,y1,z1) M(x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1) 向量AB的坐标 =向径OM的坐标 =AB的终点坐标(x2,y2,z2) -起点坐标(x1,y1,z1) =(x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1) 13/26
—— 按基本单位向量的分解式. 14/26
四、利用坐标作向量线性运算 15/26
*例3 解 由题意知： 16/26
五、 向量的模、方向角、投影 1. 向量的模与两点间距离公式 ——向量的模的坐标表达式。 17/26
解 原结论成立. 18/26
解 设P点坐标为 所求点为 19/26
非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为向量的方向角， 2. 方向角与方向余弦 类似地，定义向量与轴的夹角及两轴的夹角. 非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为向量的方向角， 其余弦称为向量的 方向余弦. 由 20/26
向量方向余弦的坐标表示式 当 时， 由 21/26
解 所求向量有两个，一个与 同向，一个反向。 或 22/26
例7 解 23/26
3. 向量在轴上的投影 24/26
投影的性质（1） 投影的性质（2） 25/26
六、小结 1、向量的概念 2、向量的线性运算 3、空间点的坐标、向量的坐标 4、利用直角坐标作向量的线性运算 （注意与标量的区别） 2、向量的线性运算 3、空间点的坐标、向量的坐标 4、利用直角坐标作向量的线性运算 5、向量的模、方向角、方向余弦、投影 26/26
作 业 习题7-1 4 5 15 19