第6章 多元函数微积分 6.1空间解析几何简介. 6.2多元函数微分学. 6.3多元函数积分学.

6.1 空间解析几何简介 主要内容： 一.空间直角坐标系. 二.向量的基本概念及其运算. 三.平面与直线的方程. 6.1 空间解析几何简介 主要内容： 一.空间直角坐标系. 二.向量的基本概念及其运算. 三.平面与直线的方程. 四.曲面方程的概念和常用曲面的方程. 五.空间曲线及其在坐标面上的投影.

一、空间直角坐标系 过空间一个定点O， z 作三条互相垂直的轴， 它们都以O为原点且 一般具有相同的长度单位． 它们的正向通常符合右手规则. 1 作三条互相垂直的轴， z轴(竖轴) 它们都以O为原点且 一般具有相同的长度单位． y轴(纵轴) (坐标)原点 它们的正向通常符合右手规则. y 1 x 1 O 拇指方向 四指转向 右手规则 这样的三条坐标轴就组成 了一个空间直角坐标系． x轴(横轴) 过空间一个定点O，作三条互相垂直 的数轴，它们都以O为原点且一般具有相 同的长度单位．这三条轴分别叫做x轴(横 轴)、y轴(纵轴)、z轴(竖轴)．通常把x 轴 和y轴配置在水平面上，而z轴则是铅垂 线，它们的正向通常符合右手规则．这 样的三条坐标轴就组成了一个空间直角 坐标系．点O叫做坐标原点(原点)．

坐标面： 三条坐标轴中的任意两条都可以确定一个平面， 这样定出的三个平面统称为坐标面． x轴及y轴所确定的坐标面叫做 xOy面， 另两个坐标面是 yOz 面、zOx面. 面 面 面

卦 限： 三个坐标面把 空间分成八个部分， O z y x 第一卦限 每一部分叫做 一个卦限．

卦 限： O z y x 第二卦限

卦 限： O z y x 第三卦限

卦 限： O z y x 第四卦限

卦 限： O z y x 第五卦限

卦 限： O z y x 第六卦限

卦 限： O z y x 第七卦限

卦 限： O z y x 第八卦限

二、空间一点的坐标： z O y x 设M为空间一已知点． 过点 M 作三个平面分别垂直于 x轴y 轴和 z 轴， 三个平面在 x 轴、y轴和 z 轴的交点依次为P、Q、R， R z M 在 x 轴、y 轴和 z 轴上的坐标依次为x、y、z， 我们称这组数为点M的坐标， Q y 并把x、y、z分别称为点M的横坐标、纵坐标、竖坐标． x P 坐标为x、y、z 的点M 记为 M(x，y，z)．

三、空间两点间的距离 设 为空间两点, 求 在直角 及直角 中 , 由勾股定理有:

所以 之间的距离为 特殊地：若两点分别为

例1 求 之间的距离 解 由距离公式，得

三、向量的基本概念及其运算 1.向量的基本概念 向量：既有大小，又有方向的量叫做向量． 例如力、力矩、位移、速度、加速度等都是向量． v v F v v v 在数学上，用一条有方向的线段(称为有向线段)来表示向量．有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向．

向量可用粗体字母表示，也可用上加箭头书写体字母表示， 向量的符号： 向量可用粗体字母表示，也可用上加箭头书写体字母表示， 例如，b，i，j，k，F， 以M1为起点、M 2为终点的有向线段所表示的向 量，记作 O x y z M 2 M1

向量的模： 向量的大小叫做向量的模． 单位向量： 模等于1的向量叫做单位向量． 零向量： 模等于0的向量叫做零向量，记作0． 零向量的起点与终点重合，它的方向可以看作 是任意的．

自由向量： 由于一切向量的共性是它们都有大小和方向，所以在数学上我们只研究与起点无关的向量，并称这种向量为自由向量，简称向量． 如果向量a和b的模相等，又互相平行,且指向相同,则说向量a和b是相等的，记为 a  b． 相等的向量经过平移后可以完全重合．

向量平行： 两个非零向量如果它们的方向相同或相反，就称这两 个向量平行．向量a与b平行，记作a // b． 零向量认为是与任何向量都平行．

2．向量的运算 (1).向量的长度 的长度为 已知 ,则向量

(2).向量的加法,减法和数与向量的乘法 任取一点A，作  a ， 设有两个向量 a 与 b ， 再以B为 起点，作 = b， 那么向量  c 称为向量 a 与 b 连接AC， 的和， 记作 a  b ，即 c  a  b ． a b C c b a A B 这种作出两向量之和的方法叫三角形法则．

平行四边形法则： 作  a ，  b， 当向量 a 与 b 不平行时， 以AB、 那么向量 AD为边作一平行四边形ABCD， 连接对角线AC， 等于向量 a 与 b 的和 a  b ． a C b D b c a A B

向量的加法符合下列运算规律： (1)交换律a  b  b  a； (2)结合律(a  b)  c  a  (b  c)． 由向量加法的交换律与结合律，可知任意多个向量 加法的法则： 以前一向量的终点作为后一向量的起点，相继作 向量，再以第一向量的起点为起点，最后一向量的终 点为终点作一向量，

设 a 为一向量，与 a 的模相同而方向相反的向量叫做 a 的曲面向量，记为 a ． 负向量： 设 a 为一向量，与 a 的模相同而方向相反的向量叫做 a 的曲面向量，记为 a ． a -a 向量的减法： 我们规定两个向量 b 与 a 的差为 b  a  b  (a)． 即把向量 a 加到向量 b 上，便得 b 与 a 的差 b  a． a -a b ba b ba -a a

向量与数的乘法： 规定 a 是一个向量，它的 模|a|||| a |， 向量 a与实数的乘积记作 a ， 特别地，当1时，有 1a  a，(1) a  a．

(3)．向量的坐标表示及其加法 基本单位向量：以 分别表示沿 轴的正方向的单位向量，—称为基本单位向量 设向量 的始点在原点, 终点的坐标为 基本单位向量：以 分别表示沿 轴的正方向的单位向量，—称为基本单位向量 设向量 的始点在原点, O X Z Y P Q R M(x,y,z) 终点的坐标为 (如图), 利用向量的加法可得, 在 中， 而 ，又 所以得

由数与向量的乘积定义,得 故 上式称为向量 的坐标表示式．

利用向量的坐标进行向量的加减和数乘： ， 则  { a x  b x ，a y  b y ，a z  b z}．  { a x ，a y ，a z}．

(4)向量的数量积 定义1 数量积也称为“点积”.

注： 证

数量积符合下列运算规律： （1）交换律： （2）分配律： （3）

(5).两向量的向量积 定义 向量积也称为“叉积 注: //

证: // // 向量积符合下列运算规律： （1） （2） （3）

设 向量积的计算公式

四. 平面与直线的方程 1.平面的方程 如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做该平面的法向量． 法向量的特征： 垂直于平面内的任一向量． 四. 平面与直线的方程 1.平面的方程 如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做该平面的法向量． 法向量的特征： 垂直于平面内的任一向量． 已知 设平面上的任一点为 必有

平面的点法式方程 其中法向量 已知点 平面上的点都满足上面的方程，不在平面上的点 都不满足上面的方程． 上面的方程称为平面的方程,平面称为方程的图形．

2.直线的方程 （1）空间直线的一般方程 定义: 空间直线可看成两平面的交线． 此方程组空间直线的一般方程

（2）空间直线的对称式方程与参数方程 方向向量的定义： 如果一非零向量平行于一条已知直线， 这个向量称为这条直线的方向向量.

直线的对称式方程 令 直线的参数方程 得

例1 求其方程 解 所以交点为 取 所求直线方程

五.曲面方程的概念和常用曲面的方程 1,曲面方程的概念 五.曲面方程的概念和常用曲面的方程 1,曲面方程的概念 曲面方程的定义： (1)曲面Ｓ上任一点的坐标都满足方程； (2)不在曲面S上的点的坐标都不满足方程； 那么，方程 就叫做曲面 的方程， Ｓ 而曲面Ｓ就叫做方程的图形

2，常用的曲面方程 1，坐标面的方程 坐标面是由坐标轴所确定的平面．以 坐标面为例 在该平面上任取一点,它的 坐标为0,即 ；反过来, 1，坐标面的方程　 坐标面是由坐标轴所确定的平面．以　　坐标面为例 在该平面上任取一点,它的　坐标为0,即　　　；反过来, 满足方程 的任一组解所对应的点 在 坐标面上， 所以　　坐标面的方程为 同样可以得到: 坐标面的方程为 坐标 面的方程为

类似地， 方程 是过点 且平行于 坐标面的平面方程 ２，球心在点 、半径为 的球面的方程．

例1 面方程 解 根据题意有 所求方程为 特殊地：球心在原点时方程为

３，柱面的方程 平行于定直线并沿定曲线 移动的直 线L所形成的曲面称为柱面. 定义: 定曲线Ｃ叫柱面的准线 动直线Ｌ叫柱面的母线

柱面举例 平面 抛物柱面

柱面的特征： 角坐标系中表示母线平行于z轴的柱面，　 其准线为 xoy面上的曲线C （其他类推） 椭圆柱面 双曲柱面 抛物柱面

六.空间曲线及其在坐标面上的投影 1.空间曲线的一般方程 空间曲线C可看作空间两曲面的交线. ----空间曲线的一般方程 特点：曲线上的点都满足方程，满足方程的点 都在曲线上,不在曲线上的点不能同时满足两个方 程

例1 方程组 表示怎样的曲线? 解 表示圆柱面， 表示平面， 所以 表示椭圆.

例2 方程组 表示怎样的曲线? 解 表示上半球面, 表示圆柱面, 它们的交线如图.

2.空间曲线的参数方程 -------空间曲线的参数方程

例３ 解 取时间t为参数，动点从A点出发， 经过t时间，运动到M点 螺旋线的参数方程

3.空间曲线在坐标面上的投影 设空间曲线的一般方程： 空间曲线在 面上的投影曲线

类似地：可定义空间曲线在其他坐标面上的投影 面上的投影曲线, 面上的投影曲线,

例４ 的截线在三个坐标面上的投影曲线方程. 解 截线方程为

七.小结 1.空间直角坐标系 （轴、面、卦限） 2.空间两点间距离公式 3.向量的概念与运算 (1).向量的加减法与乘法 (2).两向量的数量积 (3).两向量的向量积

4.平面的点法式方程 5.直线的对称式方程 6.直线的参数方程

7.常用的曲面方程 坐标面 , 球面 , 柱面 8.空间曲线的一般方程、参数方程． 9.空间曲线在坐标面上的投影

八.作业 习题6.1 2 , 4 , 6 , 8 10 12 , 14