第四章 向量组的线性相关性 §1 向量组及其线性组合 §2 向量组的线性相关性 §3 向量组的秩 §4 线性方程组的解的结构
教学重点 向量组的线性相关性 向量组的秩 线性方程组的解的结构 教学难点 向量组的线性相关性的判别 向量组的秩 线性方程组的解的结构
双语教学 线性组合：linear combination 向量组：vector quantity 线性相关：linearly dependent 线性无关：linearly independent
§1 向量组及其线性组合 一、 维向量的概念 定义1 分量全为实数的向量称为实向量， 分量全为复数的向量称为复向量.
例如 n维实向量 n维复向量 第1个分量 第2个分量 第n个分量
二、 维向量的表示方法 维向量写成一行，称为行向量，也就是行 矩阵，通常用 等表示，如： 维向量写成一列，称为列向量，也就是列 矩阵，通常用 等表示，如：
注意 １．行向量和列向量总被看作是两个不同的 向量； ２．行向量和列向量都按照矩阵的运算法则 进行运算； ３．当没有明确说明是行向量还是列向量时， 都当作列向量.
三、向量空间 向 量 解析几何 线性代数 坐标系 既有大小又有方向的量 有次序的实数组成的数组 几何形象： 可随意 平行移动的有向线段 向 量 解析几何 线性代数 既有大小又有方向的量 坐标系 有次序的实数组成的数组 几何形象： 可随意 平行移动的有向线段 代数形象： 向量的 坐 标 表 示 式
空 间 解析几何 线性代数 坐标系 点空间：点的集合 向量空间：向量的集合 几何形象： 空间 直线、曲线、空间 平面或曲面 空 间 解析几何 线性代数 点空间：点的集合 坐标系 向量空间：向量的集合 几何形象： 空间 直线、曲线、空间 平面或曲面 代数形象： 向量空 间 中 的 平 面 一 一 对 应
时， 维向量没有直观的几何形象． 叫做 维向量空间． 叫做 维向量空间 中的 维超平面．
维向量的实际意义 确定飞机的状态，需 要以下6个参数： 机身的仰角 机翼的转角 机身的水平转角 飞机重心在空间的位置参数P(x,y,z) 所以，确定飞机的状态，需用6维向量
四、向量组与矩阵 若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组． 例如
向量组 , , …， 称为矩阵A的行向量组．
反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵.
线性方程组的向量表示 方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应．
五、向量组的线性相关性 定义１ 线性组合 向量 能 由向量组 线性表示．
证明：向量 能由向量组 线性表示，并求出表示式。 定理1 例1 设 ， ， ， 。 证明：向量 能由向量组 线性表示，并求出表示式。
证明：令 故方程 的解为
即 定义２ 向量组 能由向量组 线性表示 向量组等价．
从而
定理2 向量组 能由向量组 线性表示 矩阵 的秩等于矩阵 的秩，即 推论：向量组 与向量组 等价 例2 已知向量组A： B： 证明：向量组A与向量组B等价。
证明: 令 而 故 因此 即向量组A与向量组B等价。
定理3 设向量组 能由向量组 线性表示，则 证：记 由已知有 而 因此