第六节 曲面与空间曲线 一、曲面及其方程 二、 柱 面 三、 旋转曲面 四、 二次曲面 五、 空间曲线的方程

一、曲面及其方程 空间解析几何中，空间曲面看成是空间动点按某种规律变动的几何轨迹。 一般地，如果曲面S与三元方程 满足如下关系： （2）不在曲面上的点的坐标都不满足方程； 那么，方程就叫曲面的方程，曲面就叫方程的图形。 由于建立空间曲面与代数方程之间的联系， 因此我 们就把研究曲面的几何性质， 归结为研究它所对应的方 程的解析性质。

例1 设动点M(x,y,z)到定点M0(x0,y0,z0)的距离恒等于正数R，求此动点轨迹的方程。 解： 由已知，有 由空间两点的距离公式得 两边平方，则得此动点的轨迹方程为 这方程表示的是一个球面， 球心为M0(x0,y0,z0)，半径 为R， 看以下的图形：

O X Y Z 例2 讨论方程 所代表的几何图形。

解： 将方程配方得 （1）当 方程表示一个球面， 球心为 半径为 方程表示一个点， （2）当 点的坐标为 （3）当 方程不表示任何曲面。 ★讨论方程 的图形。

二、柱面 定义： 平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面. 曲线C称为柱面的准线； 而直线L称为柱面的母线。 平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面. 曲线C称为柱面的准线； 而直线L称为柱面的母线。 柱面的形成过程： play

二、柱面 定义： 平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面. 曲线C称为柱面的准线； 而直线L称为柱面的母线。 平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面. 曲线C称为柱面的准线； 而直线L称为柱面的母线。 柱面的形成过程： play

二、柱面 定义： 平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面. 曲线C称为柱面的准线； 而直线L称为柱面的母线。 平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面. 曲线C称为柱面的准线； 而直线L称为柱面的母线。 柱面的形成过程： play

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二、柱面 定义： 平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面. 曲线C称为柱面的准线； 而直线L称为柱面的母线。 平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面. 曲线C称为柱面的准线； 而直线L称为柱面的母线。 柱面的形成过程： play

常见的柱面： 1 平面 O X Y Z

2 圆柱面 X Y Z O R

3、抛 物 柱 面 X O Y Z

4 双曲柱面 O x y z

三、旋转曲面 定义：一条平面曲线绕其平面上的一条定直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面。 这条直线叫做 旋转曲面的轴。 旋转曲面的生成过程如图： play

三、旋转曲面 定义：一条平面曲线绕其平面上的一条定直线旋转一周所成的曲面成为旋转曲面。 这条直线叫做 旋转曲面的轴。 旋转曲面的生成过程如图： play

三、旋转曲面 定义：一条平面曲线绕其平面上的一条定直线旋转一周所成的曲面成为旋转曲面。 这条直线叫做 旋转曲面的轴。 旋转曲面的生成过程如图： play

三、旋转曲面 定义：一条平面曲线绕其平面上的一条定直线旋转一周所成的曲面成为旋转曲面。 这条直线叫做 旋转曲面的轴。 旋转曲面的生成过程如图： play

三、旋转曲面 定义：一条平面曲线绕其平面上的一条定直线旋转一周所成的曲面成为旋转曲面。 旋转曲面的轴。 旋转曲面的生成过程如图： play

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三、旋转曲面 定义：一条平面曲线绕其平面上的一条定直线旋转一周所成的曲面成为旋转曲面。 旋转曲面的轴。 旋转曲面的生成过程如图： play

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三、旋转曲面 定义：一条平面曲线绕其平面上的一条定直线旋转一周所成的曲面成为旋转曲面。 旋转曲面的轴。 旋转曲面的生成过程如图： play

三、旋转曲面 定义：一条平面曲线绕其平面上的一条定直线旋转一周所成的曲面成为旋转曲面。 旋转曲面的轴。 旋转曲面的生成过程如图： play

生成旋转曲面过程中的特征： 如图： 设M(x,y,z)， 则 （1）z=z1； （2）点M到z轴的距离 将 代入到方程 中去， 可得 O X Y Z （1）z=z1； （2）点M到z轴的距离 M1(0,y1,z1) M 将 代入到方程 中去， 可得 这就是yoz面上的曲线 绕z周旋转所成的 旋转曲面的方程。

同理可知，曲线 绕 y轴旋转所生成 的旋转曲面的方程为 例3 求由椭圆 分别绕z轴和y轴旋转所 生成的旋转曲面的方程。 解： （1）绕z轴旋转，则有方程 即

（2）绕y轴旋转，则有方程 即 a>c时,(1)的图形如下： a>c时,(2)的图形如下： O x y z O x y z

这个旋转面称为定点在原点、半顶角为α，且以z轴 为旋转轴的锥面。 例4 求由yoz面上直线 绕z轴旋转 所成旋转曲面的方程。 O x y z 解： 因为旋转轴为z轴， 所以只要把方程中的y换成 即得旋转曲面的 α 方程为 或可写为 这个旋转面称为定点在原点、半顶角为α，且以z轴 为旋转轴的锥面。

四、二次曲面 三元二次方程表示的曲面称为二次曲面。如前面 讲到的球面、圆柱面、旋转椭球面等。 讨论方法：平行截面法 1 椭球面 方程 1 椭球面 方程 所表示的曲面称为椭球面， 其中，a，b，c为椭球面的 半轴， 如右图。

O x y z 椭球面与三个坐标面的交线分别为椭圆 和 与平面z=z1的交线为 也是一椭圆， 其中|z1|≤c。

2 椭圆抛物面 由方程 表示的曲面称为 椭圆抛物面， 如图。 O x y z p>0，q>0

O x y z p<0，q<0 它与xoy面交于一点，即原点， 与zox面和yoz 面的交线分别为 与平面z=z1的交线为椭圆

五、空间曲线的方程 空间曲线可以看作是两个曲面的交线。 设这两曲面的方程为 所以， 则显然曲线上的点P(x,y,z)同时满足这两方程。 空间曲线的一般方程可表示为 例5 方程 表示什么曲线？ 母线平行于z轴， 解： 表示圆柱面， 显然

圆心分别为(0,0,R)和(0,0,-R)，半径为R）。 X Y Z O 而z=a表示垂直于z轴的平面， 因而它们的交线是圆， 这个 a 圆在平面z=a上，如右图。 R 例6 方程 表示什么曲线？ 解： 方程 表示中心在原点、半径为 的球面， 而方程 表示母线平行于z轴， 2 R y x = + 半径 为R的圆柱面。 它们的交线是两个圆（在平面 ， 圆心分别为(0,0,R)和(0,0,-R)，半径为R）。

同解方程组（将第二个方程代入第一个方程）： X Y Z O 如右图所示。 如果把原方程组化为下列 同解方程组（将第二个方程代入第一个方程）： 会看得更清楚。 例7 设动点M在圆柱面 上以角速度ω 绕z轴旋转， 同时沿平行于z 求M的轨迹方程。 轴的方向以速度v匀速移 动， 解： 如下图所示。

动点M构成的曲线称为 圆柱螺旋线。 设经过时间t后， 动点运动到点M (x ,y ,z)处， M‘是M在xoy面上的投影。 则 A M' 所以动点的轨迹方程为 圆柱螺旋线的参数方程

从空间曲线C上的各点向xoy面(yoz面或zox面) 一般地， 曲线的参数方程可以表示为 从空间曲线C上的各点向xoy面(yoz面或zox面) 做垂线， 如图。 垂足所构成的曲线 Z X Y O C C1称曲线C在该平面上的投影曲 线（或称投影）。 以投影C1为 C1 准线， 以垂直于该平面的直线 为母线的柱面，称为曲线关于该平面的投影柱面， 投影C1也可看作投影柱面与该平面的交线。

把曲线C的一般方程消去z， 所得方程 将柱面方程 便为曲线在xOy面上的投影柱面方程。 与xOy面的方程z=0联立，即 就是曲线C在xOy面上的投影方程。 例8 求曲线 在xOy面上的投影方程。 解： 消去z，便得在xOy面上的投影方程为