第6章 向量空间 6.1 向量空间的定义和例子 6.2 子空间 6.3 向量的线性相关 6.4 基和维数 6.5 坐 标 6.6 向量空间的同构 6.7 矩阵的秩 齐次线性方程组的解空间

向量空间（Vector Spaces）又称线性空间（Linear Spaces）. 本章的特点及要求： 向量空间是线性代数的最基本的、最重要的概念之一，是进一步学习数学必备的内容. 向量空间产生有着丰富的数学背景，又在许多领域（包括数学本身）中有着广泛的应用，例如：线性方程组解的结构. 向量空间是我们遇到的第一抽象的代数系统.　所谓代数系统，就是带有运算的集合.

§6.1　向量空间的定义和例子

一、引例―――定义产生的背景 A+B=B+A (A+B)+C= A+( B+C) O＋A=A A+(-A)=O a(A+B)= aA+Ab 例1 设 F 是一个数域， 表示上m×n矩阵的集合， 回忆一下 上所能够施行的运算（教材P182）：只有 加法和数乘两种，并且满足(教材P183)： A+B=B+A (A+B)+C= A+( B+C) O＋A=A A+(-A)=O a(A+B)= aA+Ab (a+b)B=a B +Bb (ab)A=a(b)A 还有一个显而易见的： 8. 1A＝A

例2 设R是实数域，V3表示空间向量的集合.两个向量可以作加法（平行四边形法则），可以用R中的一个数乘一个向量，加法和数乘满足同样的8条性质.　按照解析几何的方法，向量可以用的坐标（x,y,z）来表达，加法和数乘都有表达式，…… 类似的问题许多，……，有必要总结它们的共性： 涉及两个集合（其中一个集合……）. 涉及两种运算（什么样的运算？）. 满足8条运算性质.

二、 向量空间的定义－抽象出的数学本质 定义1　设F是一个数域，V是一个非空集合.我们把V中的元素称为向量，V称为向量空间，如果下列条件成立： 闭合性： (c1) V上有(闭合的)加法运算，即：对任意u,v属于V, 一定有u+v属于V. (c2) F上的数对V上的向量有 (闭合的)数乘运算，即：对任意F中数a 和V中元素v, 一定有： av属于V. 加法的性质： (a1) u+v= v +u，对所有u和v属于V. (a2) u+(v+w)= (u+v)+w, 对所有u、v和w属于V. (a3) V中存在一个向量，记作o, 它满足：v+o= v 对所有V中的v. (a4) 给定V中每一个向量v, V中存在一个向量u满足： u+v= 0. 这样的u称为v的负向量.

乘法的性质： (m1) (m2) (m3) (m4) 1u= u 对所有u属于V.

三、进一步的例子――加深定义的理解 例3 按照定义1， 是数域F上的向量空间，称为矩阵 空间. （1） 统称为ｎ元向量空间，统一用符号 例3　按照定义1， 是数域F上的向量空间，称为矩阵 空间. （1） 统称为ｎ元向量空间，统一用符号 表示. （2） 是解析几何的坐标平面、坐标空间的推广它是常 用的一类.　　…… 例4 数域F上一元多项式集合F[x]按照通常的加法与数乘构成F上的向量空间，称为多项式空间. 证明：根据多项式加法和数乘的定义， (c1) f(x)+g(x) F[x], 任给f(x),g(x) F[x]. (c2) f(x) F[x]，任给 F，f(x) F[x]. (a1) f(x)+g(x)= g(x) + f (x), 任给f(x),g(x) F[x].

(a2) [f(x)+g(x)]+h(x)= f(x)+ [g(x) +h(x) ], (a4) f(x)的负向量为（- f(x)）. (m1) f(x)= f(x)). (m2) [f(x)+g(x)]= f(x)+ g(x). (m3) f(x)= f(x)+ f(x). (m4) 1 f(x)= f(x).

例5 C[a,b]表示区间[a,b]上连续实函数按照通常的加法与数乘构成实数域R的向量空间，称为函数空间. 证明：　比照例3，给出完整步骤. 例6 （1）数域F是F上的向量空间.　（2）R是Q上的向量　　空间，R是否为C上的向量空间？ 注2：这个例子说明向量空间与F有关.

例7 设数域取R, 集合为R+(实数)，加法和数乘定义为： 证明 关于给定的运算构成R上的向量空间. 证明：…… 注3：运算可以是通常的，可以重新定义的. 注4：向量空间与运算有关. 注5：证明向量空间需要10条性质，其中：8条是验证，2条需要解方程求出零向量与负向量.

例8 在 上定义加法和数乘： 证明 关于给定运算构成R上的向量空间. 证明：留作课外练习.

四、简单性质 （1） 零向量0是唯一的. （2） 一个向量v的负向量是唯一的，用（- v）表示. （3） 0v＝0， 0＝0. （4） （1） 零向量0是唯一的. （2） 一个向量v的负向量是唯一的，用（- v）表示. （3） 0v＝0， 0＝0. （4） (-v)= （5）

6.2 子空间 学习目标 1．理解并掌握子空间的概念. 2．掌握子空间的判别方法，熟悉几种常见的子空间. 3．掌握子空间的交与和的概念.

一、子空间的概念 1、定义：设V是数域F上一个向量空间，W是V 的一个非空子集. （1）如果W中任意两个向量的和仍在W内，那么就说，W对于V的加法是封闭的. （2）如果对于W中任意向量α和数域F中任意数a，aα仍在W内，那么就说，W 对于标量与向量的乘法是封闭的.

2、定理： 设W是数域F上向量空间V的一个非空子集.如果W 对于V 的加法以及标量与向量乘法是封闭的，那么本身也作成上一个向量空间. 3、定义： 令W是数域F上向量空间V的一个非空子集.如果W 对于V 的加法以及标量与向量的乘法来说是封闭的，那么就称W是V 的一个子空间. 注：V的一个子空间也是F上一个向量空间，并且一定含有V的零向量。

例： 向量空间V总是它自身的一个子空间。另一方面，单独一个零向量所成的集合{0}显然对于V的加法和标量与向量的乘法是封闭，因而也是V的一个子空间，称为零空间。 注：一个向量空间V本身和零空间叫做V的平凡子空间。V的非平凡子空间叫做V的真子空间。 例： 是不是 的子空间？ 是不是 的子空间？

解 U中的矩阵是上三角形矩阵，显然U为向量空间 的非空子集。又中 的运算是矩阵的加法及数与矩阵的乘法，而两个上三角形的和仍是一个上三角形矩阵，一个数与一个上三角形矩阵的乘积仍是上三角形矩阵，所以，由子空间的定义 ，U是 的 一个子空间。 不是 的子空间，因为n阶单位矩阵I及 – I ∈W，但 在空间V2里，平行于一条固定直线的一切向量空间作成V2的一个子空间。在间间V3里，平行于一条固定直线或一张固定平面的一切向量分别作成V3的子空间。 例：

例： 例： 例： 中一切形如 的向量作成 的一个子空间。 的向量作成 的一个子空间。 例： F [x]中次数不超过一个给定的整数n的多项式全体连同零多项式一起作成F [x]的一个子空间。 例： 闭区间[a,b]上一切可微分函数作成C [a,b]的一个子空间。

例： 设 (1) 把满足AX = 0的解X表示为 ， 显然 。并记AX = 0的解集为 证明 是向量空间 的一个子空间。 证明 是向量空间 的一个子空间。 (2) 记AX = β的解集为 是否也是 的一个字空间？这里

证明 ：（1）首先， ，且A0 = 0，所以， 。 其次，如果 那么 所以 ，对于任何 。故 对于 的两种运算封闭， 是向量空间 的一个子空间。

（2）可以知道，在β≠0 的时候， 不一定是 的子空间。因为对任何 ，都有A (X + Y) = AX +AY =β+β≠β，故 对 的加法不封闭。 4、定理： 向量空间W的一个非空子集W是V的一个子空间，要且只要对于任意a,b∈F和任意α,β∈W，都有 aα+bβ∈W

二、子空间的交与和 1、设W1，W2是向量空间V的二个子空间，那么它们的交W1∩W2也是V的一个子空间. 2、一般，设 {Wi }是向量空间V的一组子空间（个数可以有限，也可以无限）.则 也是V的一个子空间. 3、注：二个子空间W1与W2 的并集，一般说来不是子空间

由于0∈W1，0∈W2，所以0=0+0∈W1+W2，因此W1+W2≠ф。设a, b∈F, α,β∈W1+W2, 那么, 因为W1,W2都是子空间,所以 , ,于是 这就证明了W1+W2是V的子空间,这个子空间叫做W1与W2 的和.

6.3向量的线性相关 一、内容分布 二、教学目的 三、重点、难点 6.3.1 线性组合与线性表示 6.3.2 线性相关与线性无关 6.3.3 向量组等价 6.3.4 向量组的极大线性无关组 二、教学目的 1．准确理解和掌握向量的线性相关性概念及判别． 2．理解向量组的等价及极大无关组的概念． 3．掌握向量的线性相关性证明及极大无关组求法． 三、重点、难点 线性相关性（无关）、向量组的极大线性无关组等概念，替换定理的证明．

6.3.1 线性组合与线性表示 定义1 设 是向量空间V的r个向量， 是数域F中任意r个数. 我们把和 叫做向量 的一个向量组合. 叫做向量 的一个向量组合. 如果V 中某一向量可以表示成向量 的线性组合，我们也说可以由 线性表示. 零向量显然可以由任意一组向量 线性表示，因为

6.3.2 线性相关与线性无关 定义2 设 是向量空间V的r个向量。如果存在F中不全为零的数 使得 （1） 那么就说 线性相关. 那么就说 线性相关. 如果不存在F中不全为零的数 使得等式（1）成立，换句话说，等式（1）仅当 时才成立，那么就说，向量 线性无关.

例1 例2 例3 令F是任意一个数域。 中向量 1=（1,2,3），2=（2,4,6），3=（3,5,-4）线性相关。 判断 的向量 判断 的向量 1=（1,-2,3），2=（2,1,0），3=（1,-7,9）是否线性相关。 例3 在向量空间F [x]里，对于任意非负整数 n , 线性无关。

命题6.3.1 命题6.3.2 命题6.3.3 向量组 中每一个向量 都可以由这一组向量线性表示. 向量组 中每一个向量 都可以由这一组向量线性表示. 命题6.3.2 如果向量可以由 线性表示，而每一个又都可以由 线性表示，那么可以由 线性表示. 命题6.3.3 如果向量组 线性无关,那么它的任意一部分也线性无关.一个等价的提法是:如果向量组 有一部分向量线性相关,那么整个向量组 也线性相关.

命题6.3.4 定理 6.3.5 设向量组 线性无关,而 线性相关.那么β一定可以由 线性表示. 设向量组 线性无关,而 线性相关.那么β一定可以由 线性表示. 定理 6.3.5 向量 线性相关,必要且只要其中某一个向量是其余向量的线性组合.

6.3.3 向量组等价 定义3 设 和 是向量空间V的两个向量组,如果每一个 都可以由 线性表示,而每一 也可以由 线性表示, 那么就说这两个向量组等价. 例4 向量组 1=(1,2,3), 2=(1,0,2) 与向量组 β1=(3,4,8), β2=(2,2,5), β3=(0,2,1) 等价.

定理6.3.6 (替换定理） 等价的概念显然具有传递性:如果 与 等价,而后者又与 等价, 那么 与 等价. 等价的概念显然具有传递性:如果 与 等价,而后者又与 等价, 那么 与 等价. 定理6.3.6 (替换定理） 设向量组 线性无关,并且每一 都 可以由向量组 线性表示,那么r≤s, 并且必要时可以对 中向量重新编号,使得用 替换 后所得的向量 与 等价. 推论6.3.7 两个等价的线性无关的向量组含有相同个数的向量。

6.3.4 向量组的极大线性无关组 定义4 向量组 的一部分向量组 叫做一个极大线性无关部分组（简称极大无关组），如果 (1) 线性无关； 向量组 的一部分向量组 叫做一个极大线性无关部分组（简称极大无关组），如果 (1) 　线性无关； (2)　每一 ，j = 1,…, n,都可以由 线性表示。

例5 看F3的向量组 在这里 线性无关，而 ,所以 是一个极大无关组。另一方面，容易看出， ， 也是向量组 的极大无关组。 推论6.3.8 在这里 线性无关，而 ,所以 是一个极大无关组。另一方面，容易看出， ， 也是向量组 的极大无关组。 推论6.3.8 等价的向量组的极大无关组含有相同个数的向量.特别，一个向量组的任意两个极大无关组含有相同个数的向量。

6.4 基和维数 一、内容分布 二、教学目的 三、重点、难点 基和维数的概念及求法、维数定理． 6.4.1 子空间的生成元 6.4.2向量空间的基与维数 6.4.3 维数定理 6.4.4余子空间与子空间的直和 二、教学目的 1．掌握有限维向量空间基与维数的概念及其求法． 2．理解基在向量空间理论中所起的作用． 三、重点、难点 基和维数的概念及求法、维数定理．

6.4.1 子空间的生成元 设V是数域F上的一个向量空间. 考虑 的一切线性组合所成的集合。这个集合显然不空，因为零向量属于这个集合.其次,设 那么对于任意 仍是 的一个线性组合,因此, 的一切线性组合作成V的一个子间. 这子空间叫做由 所生成的子空间,并且用符号 表示,向量　　 叫做这个子空间的一组生成元.

例1 看 如下的n个向量: 这里除 第 i 位置是1外,其余位置的元素都是零. 令 是 中任意一个向量。我们有 是 中任意一个向量。我们有 因此, , 而 是 的一组生成元.

例2 F [X]在里,由多项式 所生成的子空间是 就是F上一切次数n不超过的多项式连同零多项式所生成的子空间. 设 是向量组 的一个极大无关组.由命题6.3.2,子空间 的每一个向量都可以由 线性表示.另一方面， 的任意一个线性组合自然是 中的向量.

定理6.4.1 设 是向量空间V 的一组不全为零的向量,而 是它的一个极大无关组.那么 根据这个定理,如果子空间 不等于零子空间, 那么它总可以由一个线性无关的生成元生成.

6.4.2 向量空间的基 定义1 设V是数域F上一个向量空间.V中满足下列两个条件的向量组 叫做V的一个基: （1） 线性无关； （1） 线性无关； （2）V的每一个向量都可以由 线性表示. 根据这个定义，向量空间V的一个基就是V的一个组线性无关的生成元。

例3 例4 由例1可得， 中向量组 是 的一组生成元。显然这组向量是线性无关的，因此 是 的一个基。这个基叫做的标准基。 由例1可得， 中向量组 是 的一组生成元。显然这组向量是线性无关的，因此 是 的一个基。这个基叫做的标准基。 例4 在空间 里，任意两个不共的向量 都构成一个基；在 里，任意三个不共面的向量 都构成一个基。

定义２ 一个向量空间Ｖ的基所含向量的个数叫做Ｖ的维数． 零空间的维数定义为０． 空间Ｖ的维数记作dimＶ． 这样，空间Ｖ的维数是２；Ｖ的维数３；Ｆn的维数是n；Ｆ上一切mn矩阵所成的向量空间是维数是mn． 如果一个向量空间不能由有限个向量生成，那么它自然也不能由有限个线性无关的向量生成．在这一情况，就说这个向量空间是无限维的．

例5 定理６.４.２ 定理６.４.3 Ｆ［x］作为Ｆ上向量空间，不是有限生成的，因而是无限维的. 例5　 Ｆ［x］作为Ｆ上向量空间，不是有限生成的，因而是无限维的. 定理６.４.２ 设 是向量空间Ｖ的一个基．那么Ｖ的每一个向量可以唯一地被表成基向量 的线性组合． 定理６.４.3 n维向量空间中任意多于n个向量一定线性相关．

定理６.４.４ 设 是n维向量空间Ｖ中一组线性无关的向量．那么总可以添加 n – r 个向量 ，使得 作为Ｖ的一个基．特别，n维向量空间中任意n个线性无关的向量都可以取作基．

6.4.3 维数定理 定理６.４.５　 设Ｗ和Ｗ都是数域Ｆ上向量空间Ｖ的有限维子空间．那么Ｗ＋Ｗ也是有限维的，并且 dim（Ｗ＋Ｗ） ＝dimＷ＋dimＷ－dim（Ｗ∩Ｗ） 6.4.4 余子空间与子空间的直和 定理６.４. 6 设向量空间V是子空间W与W′的直和 . 那么V中每一向量  可以唯一地表成     ′   W   W′

定理 6.4.7 n 维向量空间V的任意一个子空间W都有余子空间 , 如果W′是W的一个余子空间 , 那么 dimV = dimW + dimW′.

6.5 坐 标 一、内容分布 6.5.1 坐标的概念及其意义 6.5.2 过渡矩阵 6.5.3坐标变换公式 二、教学目的 6.5 坐 标 一、内容分布 6.5.1 坐标的概念及其意义 6.5.2 过渡矩阵 6.5.3坐标变换公式 二、教学目的 1.理解向量空间中坐标的概念及其意义. 2.掌握坐标变换公式，过渡矩阵的概念及性质. 三、重点、难点 坐标变换公式，过渡矩阵．

6.5.1 坐标的概念及其意义 定义1 设 ， 是V的一个基 则 称为 关于基 的坐标.

例1 例2 例3 的向量 关于标准基的坐标就是 的向量 关于标准基 的坐标是 . 关于基 的坐标是 ，这里c ∈F. 的向量 关于标准基的坐标就是 例2 的向量 关于标准基 的坐标是 . 关于基 的坐标是 ，这里c ∈F. 例3 的向量 关于标准基 的坐标是 .

定理6. 5. 1 设 关于基 的坐标分别是 和 ，则 （i） 关于基 的坐标是； （ii ） 关于基 的坐标是； ，这里a ∈F . 设 关于基 的坐标分别是 和 ，则 定理6. 5. 1 （i） 关于基 的坐标是； （ii ） 关于基 的坐标是； ，这里a ∈F . 注：向量的坐标依赖于基的选择，即同一向量关于不同基的坐标一般是不同的 .

6.5.2 过渡矩阵 定义2 设 ， 、 是V的两个基，若关于基 的坐标是 ，则矩阵 叫做基 到基 的过渡矩阵．

1．基 到基 的过渡矩阵是T，则基 到基 的过渡矩阵是 设 ， ，则 则 。所以基 到基 的过渡矩阵是TH ，即 。 ， ，所以 2．基 到基 的过渡矩阵是，即 基 到基 的过渡矩阵是，即

例4 考虑中 以下两组向量： 证明： 和 都是的基．求出由基 到基 的过渡矩阵。 考虑中 以下两组向量： 证明： 和 都是的基．求出由基 到基 的过渡矩阵。 证明：易知 ， ，这里 是 的标准基。所以 。因此，由基 到 的过渡矩阵是

6.5.3 坐标变换公式 定理6. 5. 2 设 关于基 的坐标是 ，即 (1) 关于基 的坐标是 ，即 (2)

基 到基 的过渡矩阵是T，即 (3) 由（2）和（3）得 (4) 比较（1）和（4）得

例5 例6 取 的两个彼此正交的单位向量 ,它们作成 的一个基．令分别是由旋转角所得的向量．那么 也是 的一个基． 到 的过渡矩阵是 例5　 取 的两个彼此正交的单位向量 ,它们作成 的一个基．令分别是由旋转角所得的向量．那么 也是 的一个基． 到 的过渡矩阵是 这正是平面解析几何里,旋转坐标轴的坐标变换公式． 例6　 考虑 的向量 证明： 构成 的一个基，并且求出向量 ＝(4,12,6)关于这个基的坐标．

易知 证明： ，这里 所以 ，向量＝(4,12,6)关于这个基 的坐标是

6.6向量空间的同构 一、内容分布 6.6.1 同构映射 6.6.2 同构映射的性质 6.6.3向量空间的同构 二、教学目的 1.理解向量空间同构的概念、性质及重要意义. 2.掌握有限维向量空间同构的充要条件. 三、重点、难点 向量空间同构的概念，同构的判别.

6.6.1 同构映射 6.6.2 同构映射的性质 定义1 设 、 是两个向量空间。V 到W的一个映射 f 叫做一个同构映射，如果 （i）f 是V到W的双射； （ii） ； （iii） . 6.6.2 同构映射的性质 1. 设f 是V 到W 的同构映射，则 是W 到V 的同构映射。

2. 设 f 是V到W的同构映射，则 （i） （ii） （iii） （iv） 线性相关 线性相关. 3. 设 、 是两个向量空间， 是V的基，f 是V到W的同构映射，则 是W的基.

6.6.3 向量空间的同构 定理1 定理2 定理3 如果两个向量空间 与 之间可以建立一个同构映射,那么就说 与 同构,记作 . 如果两个向量空间 与 之间可以建立一个同构映射,那么就说 与 同构,记作 . 定理1 设 ，则 。 定理2 向量空间的同构是一个等价关系. 定理3

6．7 矩阵的秩 齐次线性方程组的解空间 一、内容分布 二、教学目的 三、重点、难点 6.7.1矩阵的行空间与列空间 6．7 矩阵的秩 齐次线性方程组的解空间 一、内容分布 6.7.1矩阵的行空间与列空间 6.7.2线性方程组的解的结构 二、教学目的 1．掌握矩阵的秩和它的行空间、列空间维数之间的关系． 2．准确地确定齐次线性方程组解空间维数． 3．熟练地求出齐次线性方程组基础解系及非齐次线性方程式组的任意解． 三、重点、难点 齐次线性方程组的基础解系，次线性方程组的基础解系与全部解的关系.

6.7.1 矩阵的行空间与列空间 设给了数域F上一个m×n矩阵 1．矩阵A的每一行可以看成 的一个向量，叫做A的行向量．令 表示A的行向量，这里， 由A的n个列向量 所生成的 的子空间 叫做矩阵A的行空间．

注：当m≠n时，矩阵A的行空间和列空间是不同的向量空间的子空间． 2．矩阵A的每一列可以看成 的一个向量，叫做A的列向量。令 表示A的列向量，这里， 由A的n个列向量所生成的 的子空间 叫做A的列空间． 注：当m≠n时，矩阵A的行空间和列空间是不同的向量空间的子空间．

3．设 ，且 ，则 （i）PA与A有相同的行空间． （ii）AQ与A有相同的列空间． 证：

，所以它们生成 的同一子空间。 4. 一个矩阵的行空间的维数等于列空间的维数，等于这个矩阵的秩． 给定 ，秩A = r ，不妨设 ，则存在 ，使得

由于这一事实，我们也把一个矩阵的秩定义为它的行向量组的极大无关组所含向量的个数；也定义为它的列向量组极大无关组所含向里的个数。 数域F上线性方程组有解的充要条件是它的系数矩阵与增广矩阵有相同的秩。 6.7.2线性方程组的解的结构 1．齐次线性方程组的解空间 给定数域 F上一个齐次线性方程组 （1）

令 ，易知它是 的一个子空间，这个子空间称为齐次线性方程组（1）的解空间。 2．若秩A = r ，则解空间 的维数为 n – r . 通过行初等变换（必要时交换列），可以将系数矩阵A化为以下形式的一个矩阵： （2） 与矩阵（2）相对应的齐次线性方程组是

（3）

是（3）的解空间的一个基，重新排列每一解向量 中坐标的次序，就得到齐次线性方程组（1）的解空间的一个基。 3．齐次线性方程组的基础解系 一个齐次线性方程组的解空间的一个基叫做这个方程组的一个基础解系。 例 1 求齐次线性方程组 的一个基础解系。

对行施行初等变换化简系数矩阵,得 与这个矩阵相对应的齐次方程组是

取 作为自由未知量,依次令 和 得出方程的两个解 它们作成所给的方程组的一个基础解系.方程组的任意一个解都有形式 这里 是所给数域中任意数,方程组的解空间由一切形如 的解向量组成.

4．给定数域 F上一个线性方程组 （4） 齐次线性方程组AX = 0 称为线性方程组AX = B的导出齐次方程组。 如果线性方程组（4）有解，则（4）的任意两个解的差是它的导出齐次方程组的一个解。