§3.7 稳定性问题 在研究许多实际问题时，人们最为关心的也许并非系统与时间有关的变化状态，而是系统最终的发展趋势。例如，在研究某频危种群时，虽然我们也想了解它当前或今后的数量，但我们更为关心的却是它最终是否会绝灭，用什么办法可以拯救这一种群，使之免于绝种等等问题。要解决这类问题，需要用到微分方程或微分方程组的稳定性理论。在下两节，我们将研究几个与稳定性有关的问题。
若方程或方程组f(x)=0有解Xo，X=Xo显然满足（3.28）。称点Xo为微分方程或微分方程组（3.28)的平衡点或奇点。 一般的微分方程或微分方程组可以写成： 定义 称微分方程或微分方程组 为自治系统或动力系统。 （3.28） 若方程或方程组f(x)=0有解Xo，X=Xo显然满足（3.28）。称点Xo为微分方程或微分方程组（3.28)的平衡点或奇点。
例7 本章第2节中的Logistic模型 共有两个平衡点：N=0和N=K，分别对应微分方程的两两个特殊解。前者为No=0时的解而后者为No=K时的解。 当No<K时，积分曲线N=N(t)位于N=K的下方；当No>K时，则位于N=K的上方。从图3-17中不难看出，若No>0，积分曲线在N轴上的投影曲线（称为轨线）将趋于K。这说明，平衡点N=0和N=K有着极大的区别。 定义1 自治系统 的相空间是指以（x1,…,xn）为坐标 的空间Rn。 图3-17 特别，当n=2时，称相空间为相平面。 空间Rn的点集{(x1,…,xn)}|xi=xi(t)满足(3.28)，i=1,…,n}称为系统的轨线，所有轨线在相空间的分布图称为相图。
定义2 设x0是（3.28）的平衡点，称： （1）x0是稳定的，如果对于任意的ε>0，存在一个δ>0，只要|x(0)- x0|<δ，就有|x(t)- x0|<ε对所有的t都成立。 根据这一定义，Logistic方程的平衡点N=K是稳定的且为渐近稳定的，而平衡点N=0则是不稳定的。 （2）x0是渐近稳定的，如果它是稳定的且 。 （3）x0是不稳定的，如果（1）不成立。 微分方程平衡点的稳定性除了几何方法，还可以通过解析方法来讨论，所用工具为以下一些定理。
解析方法 定理1 设xo是微分方程 的平衡点： 若 ,则xo是渐近稳定的 若 ,则xo是渐近不稳定的 高阶微分方程与高阶微分方程组平衡点的稳定性讨论较为复杂，大家有兴趣可参阅微分方程定性理论。为了下两节的需要，我们简单介绍一下两阶微分方程组平衡点的稳定性判别方法。 证 由泰勒公式，当x与xo充分接近时，有： 由于xo是平衡点，故f(xo)=0。若 ，则当x<xo时必有f(x)>0，从而x单增；当x>xo时，又有f(x)<0，从而x单减。无论在哪种情况下都有x→xo，故xo是渐进稳定的。 的情况可类似加以讨论。
考察两阶微分方程组： （3.29） 令 ，作一坐标平移，不妨仍用x记x’，则平衡点xo的稳定性讨论转化为原点的稳定性讨论了。将f(x1,x2)、g(x1,x2)在原点展开，（3.29）又可写成: 考察（3.29）的线性近似方程组: （3.30） 其中：
讨论特征值与零点稳定的关系 记 λ1、λ2为A的特征值则λ1、λ2是方程： det（A-λI）=λ2- (a+b) λ+ (ad – bc )=0的根 （1）若△>0，可能出现以下情形： ① 若q>0，λ1λ2>0。 当p>0时，零点不稳定； 当p<0时，零点稳定 若q<0，λ1λ2<0 当c1=0时，零点稳定 当c1≠0时,零点为不稳定的鞍点 ③ q=0，此时λ1=p，λ2=0，零点不稳定。 令p=a+d, q=ad-bc=|A|，则 ，记 。 （2） △=0，则λ1=λ2: λ有两个线性无关的特征向量 当p>0时，零点不 稳定 当p<0时，零点稳定
② 如果λ只有一个特征向量 当p≥0时，零点不 稳定 当p>0时，零点稳定 （2） △<0，此时 若a>0，零点稳定 若a=0，有零点为中心的周期解 综上所述：仅当p<0且q>0时， （3.30）零点才是渐近稳定的；当p=0且q>0时（3.30）有周期解，零点是稳定的中心（非渐近稳定）；在其他情况下，零点均为不稳定的。 非线性方程组（3.29）平衡点稳定性讨论可以证明有下面定理成立: 定理2 若（3.30）的零点是渐近稳定的，则（3.29）的平衡点 也是渐近稳定的；若（3.30）的零点是不稳定的，则（3.29） 的平衡点也是不稳定的。