第五章 不確定性存貨系統

個案研究 某成衣製造廠因市場需求不穩定，故近五年的營業額分別為 $3,500、$1,900、$4,300、$3,700、$2,800萬，而存貨持有成本卻高達 $7,000萬。除此之外，缺料一直是倉管部門頭痛的問題，常使生產線因此停擺，導致員工必須加班以趕上進度，因此員工抱怨連連。供應商有時會運送錯誤物料，且經常因運輸工具的分配不當而延遲送貨，甚至物料的數量與公司訂購的數量不符。身為一位管理者應該如何改善公司居高不下的存貨成本及缺貨的問題呢？

如何分辨確定性或是機率性模式? 當需求與前置時間為常數時，稱為確定性（deterministic）。 當需求與前置時間為隨機變數時，稱為機率性（probabilistic）。

傳統的存貨假設通常都依據下列幾點： 1.需求是已知的、相同的、而且連續性的。 2.生產率是已知的、相同的、而且連續性的。 3.前置時間是已知的、固定的。 4.訂購成本是已知的、固定的。 5.儲存成本是已知的、固定的、以及呈線性的。 6.沒有受到資金的限制。 7.缺貨通常不被允許。 8.存貨分析成本是被忽略的。

安全存量 安全存貨量有兩方面的影響： 下列情況則會影響安全存量的設定： 1.是缺貨成本的減少。 2.是持有成本的增加。 1.前置時間及 (或) 需求的不確定。 2.訂貨的次數。 3.要求的服務水準。 4.持有成本及缺貨成本的高低。 5.預測或控制前置時間的能力。 6.生產各要素如機器、設備、人工等效率的變化。 7.購買物料數量隨市場之供需情況而有所變動。

安全存量 安全存量之多寡，則視下列各要素予以訂定： 1.安全存量應與用料速率成正比。 2.採購及進料可能延誤之時間的長短。 3.材料是否容易變質。 4.企業財務狀況及材料價格。 5.倉儲空間的大小。

安全存量

安全存量

安全存量 我們由圖5.1及圖5.2中可清楚的比較出實際與理論上有何不同，其不同點如下： 1. 在理想狀態下，不會出現缺貨的情形；而實際上會有缺貨情形產生。 2. 在理想狀態下，需求率固定；而實際上需求率會有變動情形產生。 3. 在理想狀態下，存貨量不會出現過多的情形；而實際上存貨量會有過多的情形產生。 安全存貨水準 = 最小的(額外的儲存成本 + 期望的缺貨成本)

安全存量 缺貨之影響 缺貨可能產生缺貨後補 (Backorder) 和銷售損失 (Lost Sale) 或部份補貨 (Partial Backorder) 之結果。 以國內的原廠委託製造 (Original Equipment Manufactures, OEM) 廠商為例，由於國內代理的OEM廠都是幫助國際級的客戶從事生產，要是客戶增加訂單，這可能會使得其產能無法負荷，獲利也可能拱手讓人，因為若是因存貨不足而導致銷售損失是很划不來的，所以安全存貨是必要的。

安全存量 安全存量與服務水準之關係 進貨後存貨水準高，進貨前存貨水準低，在沒有安全存貨 (S) 的狀況下，平均存貨=Q/2；而有安全存貨的狀況下，平均存貨為 S+Q/2。然而有安全存貨到底有哪些好處呢？ 1.適用於高缺貨成本以及高服務水準的產業。 2.適用於低存貨成本的產業。 3.適用於需求變動大的產業。 4.適用於前置時間變動大的產業。 安全存貨與服務水準的關係，如圖5.3所示，此曲線斜率愈來愈大。當服務水準要求愈高，安全存貨就需要更多的數量才能滿足。 安全存貨量之決定沒有固定的公式及嚴格程序。不 同方法的計算基礎皆是利用需求、前置時間和缺貨成本求得安全存量

連續分配與離散分配 最常被使用的統計值是估計的平均值及標準差，要求得安全存量前，我們必須考慮並了解其需求分配是連續分配或是離散分配，以下就是在這兩種分配下，所產生的各種情形： 表5.1 需求分配與相關計算值 變數 連續性分配 離散式分配 前置時間平均需求 前置時間變異數

缺貨機率 缺貨量的期望值 ：前置時間需求 ：平均前置時間需求 ：最大前置時間需求 ：訂購點，又稱再訂購點 ：前置時間需求機率密度 ：前置時間需求機率 ：安全存量 ：標準常態分配查表值

精采的來了… 有什麼精采內容? 缺貨成本 需求及前置時間皆為固定 需求為變動而前置時間為固定 需求固定而前置時間為變動 需求與前置時間皆為變動 有什麼精采內容?

缺貨成本 需求及前置時間皆為固定 Ｂ = Ｄ ｘ L 當需求以及前置時間都固定不變，且為一常數時，存貨的決策可以確立且並不複雜，此時不需要訂出所謂的安全庫存量 (Safety Stock)，其訂購點 (Reorder Point) 相等於需求率 (Demand Rate) 與前置時間 (Lead Time) 的乘積。 　符號說明 　　D：每年的需求量 　　L：前置時間 　　B：訂購點 數學模式 Ｂ = Ｄ ｘ L

缺貨成本 需求為變動而前置時間為固定 當需求隨某種因素而變動，且假設前置時間為固定，其狀況就如圖5.4所表示。當安全庫存量增加時，其持有成本也跟著增加，但缺貨成本隨之減少；而當安全庫存量減少時，其持有成本也跟著減少，但缺貨成本隨之而上升。因此計算時需著眼於最小的總成本，而此總成本等於安全庫存量的持有成本以及缺貨成本的總和。

符號說明 B=訂購點 Q=訂購量 L=常數的前置時間 S=安全存量 J=批量到達庫存量 W=批量到達缺貨量 B－S =預期的前置時間需求 B－J =最小前置時間需求 B＋W =最大的前置時間需求 P(M>B) =缺貨的機率

數學模式 期望的年安全存量成本 = 持有成本 + 缺貨成本 上述是一般性公式。以下再根據四種缺貨成本情況分述說明不同的計算方式： (1) 針對每單位的補貨成本 (Backorder Cost Per Unit)； (2) 每次的補貨成本 (Backorder Cost Per Outage)； (3) 每單位的損失銷售成本 (Lost Sales Cost Per Unit)； (4) 每次的損失銷售成本 (Lost Sales Cost Per Outage) 四種情況分述說明如下面章節。

缺貨成本 需求為變動而前置時間為固定 一. 補貨情況：每單位的缺貨後補成本 缺貨的危機只發生於前置時間的期間內，因此每年有R/Q個前置時間，也代表每年會有R/Q 的缺貨機會。 符號說明 S= 安全存量 H= 每年每單位的持有成本 A= 每單位的缺貨成本 R= 每年的平均需求量 Q= 每次的訂購批量 M= 前置時間的需求 M= 前置時間的平均需求 f(M)= 前置時間需求的機率密度函數 B= M+S= 訂購點

缺貨成本 需求為變動而前置時間為固定 一. 補貨情況：每單位的缺貨後補成本 數學模式 公式推導過程詳見附錄A.11 每年期望的安全存量成本 = 持有成本 + 缺貨成本 缺貨機率

例題1 已知A公司每年需求量為1800單位，訂購成本為 $30，每單位價格為 $2.00，每單位缺貨成本 $1.00，每單位持有成本為單價之百分比為15%，試根據下表求得最佳的再訂購點 (B)。

【解】： 比較表5.2， P(s) = 0.10恰介於0.05和0.11之間，選擇較小的值0.05，得其再訂購點 B = 56。故其解為：Q = 600 單位， B =500 單位。

缺貨成本 需求為變動而前置時間為固定 二.補貨情況：每次的缺貨後補成本 符號說明 G = 每次的缺貨後補成本 數學模式 公式推導過程詳見附錄A.12。 每年期望的安全存量成本 = 持有成本 + 缺貨成本 當然，在已知需求的分配下也可應用於此公式中。在標準常態分配Z的情況之下，如σf(B)已知下，可直接由常態分配表中求出最佳的缺貨機率，此最佳的安全庫存量為S = Zσ

例題2 每週的需求量是常態分配，其平均值為20、標準差為4。每年每單位的持有成本為 $5，每次的缺貨後補成本為 $10，訂購量為26單位，前置時間為1週。求其最佳再訂購點 (B)？

S=Zσ=2.03 x 4 = 8.12 => 8單位 【解】： 查標準常態分配表，並根據所得之f(Z) 值，查表5.3。 1年 = 52週 查標準常態分配表，並根據所得之f(Z) 值，查表5.3。 計算值f(Z) = 0.05 介於0.0540與0.0488之間。根據內插法，求得其f(Z) = 0.05 時，所對應的Z值為2.03，因此： S=Zσ=2.03 x 4 = 8.12 => 8單位 B = M+S=20+8 = 28 單位 故其最佳安全存量為8單位，而訂購點為28單位。

例題3 每週的需求是卜瓦松 (Poisson) 分配，平均值為5單位，每年每單位的持有成本為 $5，每次的缺貨後補成本為 $5，前置時間為1星期和訂購量為13單位，求其最佳再訂購點 (B)？ 【解】： M = 5 , f(B) = 0.05，查Poisson分配表，0.05位於0.036以及0.065之間，選擇最大f(B)的原則下，最佳訂購點為8單位。 S = B － M = 8 － 5 = 3 故其最佳安全存量為3單位，而訂購點為8單位。

缺貨成本 需求為變動而前置時間為固定 三. 損失銷售情況：每單位的損失銷售成本 銷售損失的情形，有別於可補貨的情形，每年的平均前置時間數目不再是R/Q，而是R/[Q + E(M > B)]。然而，通常E(M > B) 的值是一個很小的值，並不足以大到影響R/[Q + E(M > B)]本身，因此，我們將其予以省略之後，其每年的平均前置時間數目仍然為R/Q，換言之，每年的缺貨機會也為R/Q。

缺貨成本 需求為變動而前置時間為固定 三. 損失銷售情況：每單位的損失銷售成本 符號說明 A：每單位的損失銷售成本 每年期望的安全存量成本 = 持有成本 + 缺貨成本

例題4 每次訂購批量為1000單位，每年需求5000單位，每年每單位持有成本為$10，每單位的損失銷售成本為$50，根據表5.4的歷史需求資料和常數的前置時間，求最小的成本訂購點？ 表5-4 需求 需求機率 缺貨機率 M P(M) P(M>B) 150 0.01 0.99 200 0.04 0.95 250 0.21 0.74 300 0.55 0.19 350 0.09 0.1 400 0.07 0.03 450

求得P(s)值為0.038恰好介於0.03與0.10之間，選擇較小的值 0.03，得其再訂購點（B）為400。 方法如下表5-5所示： 【解】： 求得P(s)值為0.038恰好介於0.03與0.10之間，選擇較小的值 0.03，得其再訂購點（B）為400。 方法如下表5-5所示： 需求 需求機率 缺貨機率 M P(M) P(M>B) 150 0.01 0.99 200 0.04 0.95 400 250 0.21 0.74 300 0.55 0.19 350 0.09 0.1 0.07 0.03 450

缺貨成本 需求為變動而前置時間為固定 四. 損失銷售情況：每次的損失銷售成本 符號說明 G：每次的損失銷售成本 數學模式 每年期望的安全存量成本=持有成本 + 缺貨成本 為求得最小的成本值，將每年期望的安全存量成本對再訂購點 (B)微分等於0，得到下列算式：

缺貨成本 需求為常數而前置時間為變數 在需求固定，但前置時間卻無法確定的情況下，我們可能需要根據最小、最大或是平均的前置時間，來訂定我們最適合的再訂購點。 而問題的解法，其實跟需求不固定、前置時間固定的方案解法類似， 基本不同之處，在於計算前置時間中的需求量時，是根據前置時間的機率分佈，及固定的需求率，來推算所要需的需求，進而算出再訂購點。

缺貨成本 需求為常數而前置時間為變數 符號說明 Q=訂購量 B=訂購點 S=安全存量 L =最大前置時間 L =期望前置時間 P(M>B) =缺貨的機率 B－S =期望前置時間需求 m

缺貨成本 需求為常數而前置時間為變數 數學模式 P(s) = HQ/AR 如果前置時間服從常態分配，最佳訂購點可從下列公式決定： D =需求率； σ=前置時間內需求的標準差； σ =前置時間的標準差； L =平均前置時間 L

例題5 有一家公司每年需要某項產品共260件，每週固定需求5件，每次進貨25件。存貨成本平均每年每件 $10，而補貨成本為每件 $10，在前置時間為下列的機率分佈時，請找出最佳的再訂購點。

【解】： 雖然缺貨會造成補貨成本，但是過多的存貨一樣會造成相當多的庫存成本，因此希望找出最佳的缺貨機率，來使得總變動成本降到最低。 根據公式： P(s) = HQ/AR = 10(25)/10(260) = 0.096 缺貨機率為0.096，它介於表5.7中0.15與0.05之間，因此由對應的前置時間需求，得到最佳再訂購點為30件。

缺貨成本 需求與前置時間為變數 當需求與前置時間都為變數時，增加了問題的複雜性。考慮需求和前置時間在不確定性同時發生時，必須建立兩者的聯合機率密度函數。聯合機率密度函數的分布，從小的需求和短的前置時間，到大的需求和長的前置時間。如圖5.6所示。

缺貨成本 需求與前置時間為變數 符號說明 L =平均前置時間 D =每天的平均需求 σD =需求的標準差 σL =前置時間的標準差 σ =前置時間內的需求標準差 DL =前置時間內的平均需求 M =前置時間內的平均需求 數學模式 當需求和前置時間分配為獨立 M = DL 當需求和前置時間分配不為獨立 M = DL

例題6 前置時間需求的機率分配如下表所示。求缺貨機率為 0.20時的訂購點？ 表5.8 每日需求 機率 前置時間 D P(D) L P(L) 0.30 1 0.75 0.50 2 0.25 0.20  

【解】：

To be continued……. 別走開…… 馬上回來….. 還有更精采的內容! 由表5.9可知缺貨機率為0.20時，訂購點為2單位 前置時間需求(M) 機率P(M) P(M>B) 0.2475 0.7525 1 0.4500 0.3025 2 0.2425 0.0600 3 0.0500 0.0100 4 0.0000   1.000

更精采的內容! 回來了….. 問題思考 目前是一個「客戶至上」的時代，因此提高客戶的滿意度是十分重要的。以一般客戶的觀點來說，他們最討厭買不到他們所要的東西，……………… 這個…好像…… 如果你是老闆,你知道你的服務水準是多少?..

服務水準 ◎缺貨所造成的商譽損失幾乎無法衡量 。 ◎服務水準是依賴管理者主觀的判斷，100%滿足顧客需求的服務水準，雖然能夠辦的到，但其所付出的費用也相對的昂貴 。 兩個較常使用的服務水準： 1.每訂購週期的服務水準 (service per order cycle)。 2.每單位需求的服務水準( Service per units demand )。

服務水準 每訂購週期的服務水準 = 平均的前置時間內貨物需求。 符號說明 M a = B = 在此可接受的服務水準下，前置時間內的貨物需求。 SLc = 服務水準 P(M>B) =在前置時間內發生缺貨的機率 (即每次訂購期間發生缺貨的機率) 數學模式 SLc ＝ 1 － P ( M ＞ B ) 在一個服務水準下，安全存量(S)可被確定為:S = Ma － M

例題7 每訂購週期的缺貨率0.125；年需求18,000單位；訂購成本 $200；每單位每年持有成本；前置時間1(天)。 　 每訂購週期的缺貨率0.125；年需求18,000單位；訂購成本 $200；每單位每年持有成本；前置時間1(天)。 　 根據上述資料，求(1)訂購量；(2)再訂購點；(3)安全存量；(4)每年期望值缺貨數量。

【解】 　　Q* = = = 1200 單位 　　前置時間平均需求= = =60單位 當 P(M>B) = 0.125，從上表得知 M a = B = 70 單位 　　安全存量 = S = M a – = 70 – 60 = 10 單位 每週期的期望缺貨數量為： 　　 E(M>B) = (M - B) P(M) = (70 – 70)(0.20) + (80 - 70)(0.10) + (90 - 70)(0.025) = 1.50 單位 每年的期望缺貨數量為： E(M>B)R/Q=1.50(18000/1200)=22.50單位

假使貨物有不同需求量的機率分佈，如果考慮是依照Normal、Poisson或是指數 (Exponential) 來分佈，我們可推算它的再訂購點。 至於Poisson分配，則可由其平均數推算。Poisson分配的標準差，等於其平均值的平方根，所以只要知道它的平均值，便可以了解其分佈狀況。在使用Poisson分配時，我們通常都是使用累加的Poisson機率分配表。 當貨物需求量呈現Negative Exponential時，也適用同樣的作法，只是它的標準差直接就等於它的平均數。

例題8 在例題7中假設為常態分配 (如表5.11)，其標準差20單位，服務水準95%，求每訂購週期安全存量？ 　

加油喔!! 【解】 前置時間平均需求 = = 60 (表5.10) 安全存量 =Zσ√LT 前置時間平均需求 = = 60 (表5.10) 安全存量 =Zσ√LT 可接受服務水準LT內需求 Ma = B = M+ Zσ√LT 　　　　　　 =60+1.64(20)10 =92.8　　　　 或S = B－M=92.8－60=32.8 單位 加油喔!!

服務水準 每單位需求的服務水準 當是常態分配時，可知重購點B = M+Zσ 　 基於需求量 SL 之服務水準是指不分產品種類只管能滿足總需求量之百分比。 數學模式 　公式推導過程詳見附錄A.14。 服務水準 SL = 1－ 當是常態分配時，可知重購點B = M+Zσ 而當不允許缺貨後補貨時，可得知1－ SL = 而Q的大小通常大於期望缺貨數E(M>B)，在應用上當允許缺貨後補貨時與當不允許缺貨後補貨時之差異並不顯著。 u σE(z) u Q E(M>B) u Q+ E(M>B)

例題9 利用表5.12求訂購量及訂購點？ 表5.12 Lead Time Demand M Probability P(M) P(M>B) 48 0.02 0.98 49 0.03 0.95 50 0.06 0.89 51 0.07 0.82 52 0.20 0.62 53 0.24 0.38 54 0.18 55 0.11 56 0.05 57 58 0.00   1.00

服務水準 = 0.99，年需求=1800 單位，訂購成本=$3.00 ，每年每單位持有成本=$3.00 【解】 訂購量Q*= = 60 單位 E(M>B) = Q (1-SLu) = 60(0.01) = 0.60 單位

由上可得知前置時間期望缺貨量為0.6，因此可從表5.13可發現位於0.36及0.74之間，選擇較小者，因此重購點為54單位。 加油!加油!

例題10 將上例假設為常態分配，平均值為53單位，標準差為2單位，求其再訂購點？ 【解】： 查出當E(Z)=0.30時，其Z=0.22，因此可求： 單位

固定訂購週期系統 在固定訂購週期系統中，它有固定的訂購週期及變動的訂購量，訂購量之決定是將預測之總量E減掉庫存量，因此固定訂購週期系統之操作原則為將數量補足至E點。

固定訂購週期系統 再訂購週期及最大庫存水準之機率狀況考量如表5.14，而在服務水準方面也可分成： 1.每訂購週期內之服務水準= 1－ =1－P(M>E) 2.每單位需求之服務水準= 1－ =1－ 在固定訂購週期，若需求率與前置時間是固定的，以EOI模式來求最佳經濟訂購週期便可。但若需求率與 (或) 前置時間是變動的情況下，便需要考慮到安全存量與服務水準來決定在固定期間內要訂購的數量。 缺貨週期數 訂購週期數 缺貨量 E(M>E) 總需求量 TR

結論 本章節說明在需求及前置時間不確定下的存貨管制方法，和安全存量的訂定方法。各種模式的建立大都以EOQ模式延伸而來，由於EOQ過於理想化，但其基本之模式卻影響到後來其他模式的建立，故需放寬條件以符合現實的情況。 本章所探討之模式為獨立需求的最終產品項目，因此所提出的方法和模式應可適用於各行業，至於相依需求物料的管理則以物料需求規劃系統 (Material Requirement Planning, MRP) 方式來管理。因此，面對不同的環境需選擇適當的模式，才能使存貨管理發揮最大的效果。 本章已達尾聲… Yea!... 往下章節邁進…