蒙地卡羅法

數學相關使用

是一種數值方法，利用亂數取樣 模擬來解決數學問題。在數學上，所謂產生亂數，就是從一開始給定的數集合中選出的數，若從集合中不按順序隨機選取其中數，稱為亂數，若是被選到的機率相同時，稱為均勻亂數。例如擲骰子， 1 點至 6 點骰子出現機率均等。

舉凡在所有目前具有隨機效應的過程，均可能以蒙地卡羅方法大量模擬單一事件，藉統計上平均值獲得某設定條件下實際最可能測量值。

蒙地卡羅模擬法，是基於大數法則的實證方法，當實驗的次數越多，其平均值也就會越趨近於理論值。其法則亦可以估算投資組合的各種風險因子，特別是一些難以估算的非線性投資組合。另外也可處理具時間變異的變異數、不對稱等非常態分配和極端狀況等特殊情形，甚至也可用來計算信用風險。

雖然蒙地卡羅模擬法具有以上優點，但因需要繁雜的電腦技術和大量重複的抽樣，所須計算成本高且耗時的缺點。最後，若是僅處理非線性及非常態分配的投資組合，則可以選擇此模擬法，以加速其運算的速度和準確性。

用蒙地卡羅方法模擬某一過程時，需要產生各種機率分布的隨機變數。 用統計方法把模型的數字特徵估計出來，從而得到實際問題的數值解。

氣體相關應用

蒙地卡羅直接模擬法，是利用機率的概念來處理分子間碰撞的問題，是一種非穩態求解，DSMC法則是利用電腦來紀錄分子位置與速度來模擬實際流體中流體的特性。

利用電腦對流體分子的運動作直接的模擬，而非去解流體運動數學模型的數值解。在這個方法中，實際上數目龐大的氣體分子被數千個以上的模擬分子所取代，隨著時間，這些模擬分子因本身之慣性。

分子間的碰撞以及分子與邊界間的交互作用，使得速度及位置坐標均隨之改變，並且被儲存在電腦的記憶體裡。分析後可以得到流場的巨觀性質。

在模擬時須先將流場中的模擬區分割為許多的網格，而網格的尺寸要小一點，始流過此網格的流場性質變化可以忽略， 網格尺寸必須小於平均自由徑。

流程介紹 DSMC使用程序 1.讀進初始狀態資料。 2.設定模擬分子及邊界的即時資料。 3.移動每一個模擬分子一個單位計算時間的距離，並計算與邊界之交互作用。

4.計算每個模擬分子所在的網格。 5.計算一個單位時間內在各網格內，應發生的分子間碰撞。 6.若累計的時間小於取樣單位時間，則回到步驟三。

計算取樣流場之微觀性質。 若累計總時間小於所設定到達穩態流的時間，則回到步驟二。 平均取樣的微觀資料以得到巨觀之性質。

分子碰撞 黏滯力是流體受到剪應力變形或拉伸應力時所產生的阻力。 黏度 μ 定義為流體承受剪應力時，剪應力與剪應變梯度（剪應變隨位置的變化率）的比值。

數學表述為： 式中：τ為切應力，u為速度場在x方向的分量，y為與x垂直的方向坐標。

氣體分子與氣體中固體表面邊界的碰撞及分子間的碰撞而產生變化，在稀薄氣體中，分子間的碰撞可全視為雙體彈性碰撞。碰撞中遵守動量守恆。

碰撞截面與分子模式 除了碰撞對分子移動速度外，在求對稱分子之間的雙體彈性碰撞還必須知道2個衝擊參數，才能確定碰撞後的速度，其中一個微偏心距，其二則是碰撞面與某參考面的夾角。

碰撞的模式一共有3種，這3種分別是： 1.硬球模式(HS) 2.可變硬球模式(VHS) 3.可變軟球模式(VSS)

首先可變跟不可變的差異點是半徑會不會隨著速度變化。 硬球與軟球的差別是碰撞之後的偏移角會有所不同，這是由於撞到後會不會有內應變所產生的差異。

可變不可變是差在半徑跟速度有關，簡單來說跟相對速度與標準速度有關，速度越快球的半徑越小。

是黏滯係數之溫度指數 是逆冪次之指數

軟球與硬球的差異是偏移角，那偏移角的公式與偏心距和分子直徑有關。

那分子模式的選擇要看是否適用，一般來說，大部分是使用VHS ，少部分使用HS 。

氣體分子模型使用可變硬球模式(VHS)的理由是，因為傳統硬球模式(HS)模型不能模擬真實氣體行為的主要因素在於碰撞面積不隨相對速度改變。

氣體分子採用可變硬球模式(VHS)可改變此一缺點，使有效的分子直徑為使有效分子的直徑為碰撞時相對能量的函數， 這樣比較符合實際需求。

氣體分子大部分使用HS是為了方便模擬，有一篇HS模擬也說到HS法誤差較大，說用VHS或VSS會比較好，這就說明用VHS或VSS應該會得到較佳的解。

分子模式是可變軟球模式(VSS)的 ，我看了4-5個paper ，並沒有發現有使用VSS的paper ，可能是模擬困難或準確度不佳所致。

碰撞過程模擬 (1)碰撞對數的決定:採用非時間計數器法來估算每個網胞在一個 內所選取的碰撞對數，他的公式是:

碰撞過程模擬 碰撞判定:大部分採用接受-拒絕法 P為碰撞機率 定義碰撞最大機率為Pmax

由亂數產生器產生器產生一個0-1的均勻亂數R :形成碰撞 不合的話不碰撞

碰撞邊界條件的設定 在氣體分子作用的表面上，騎邊界條件的設定，DSMC不使用一般流體力學中所使用的滑移、無滑移或絕熱的邊界條件。而是使用散反射，跟鏡反射來取代。

鏡反射 氣體分子與表面是彈性碰撞，所以碰撞過程中沒有能量交換，也就是碰撞前後速度值無改變，但是向量有改變。

鏡反射 碰撞前後分子速度在切線方向分量保持不變，而法線方向改變，方向會與入射的方向相反。

散反射 散反射的速度會滿足Maxwell分布。 並且碰撞分子根表面有能量交換也就是入射溫度跟出設溫度會有所不同。

輻射種類 1.游離輻射包含：α射線（α粒子）、β射線（β粒子）、中子等高能粒子流與γ射線、X射線等高能電磁波，而被稱為宇宙射線的高能粒子射線則兩者皆有。

輻射種類 2.非游離輻射是指與X射線相比之下波長較長的電磁波，由於其能量低，不能引起物質的游離，故稱為非游離輻射。

非游離輻射 非游離輻射又可以分為有熱效應與無熱效應。 有熱效應:可見光、紅外線。 無熱效應:無線電波、電力磁場。

稀薄氣體之相關參數設定 1.Kn>0.1 2. 3.

Knudsen number 為分子平均自由徑 為特徵長度

流動區對Knudsen number的關係: 1.連體流 2.過渡流 3.自由分子流

分子平均自由徑指氣體分子兩次碰撞之間的時間內經過的路程的統計平均值。氣體分子的平均自由徑與分子的直徑或半徑、分子數密度成反比。

特徵長度 特徵長度指的是，由流體流動方向為法向量，所形成之平面與流體交集面之直徑。

Knudsen number與流場方程

我們要求解的氣體是稀薄氣體，由上圖可知我們必須要使用波茲曼方程來解答，但是波茲曼方程極為複雜，一邊是微分形式一邊是積分形式，所以必須靠數值計算和近似解方法來求解。

尤拉方程 尤拉方程是一個用在無黏性流體運動的方程。方程組各方程分別代表質量守恆（連續性）、動量守恆及能量守恆。

Navier-stokes Equations Boltzmann equation