第三章 刚体的定轴转动

第三章 刚体的定轴转动 3-0 第三章教学基本要求 3-1 刚体定轴转动的动能定理和转动定律 3-2 定轴转动的动量矩定理和动量矩守恒定律

教学基本要求 一、掌握描述刚体定轴转动的角位移、角速度和角加速度等概念. 二、掌握力对固定转轴的力矩的计算方法，了解转动惯量的概 念 (72学时不要求用积分计算转动惯量) . 三、理解刚体定轴转动的动能定理和刚体服从质点组的功能转换关系. 四、理解刚体定轴转动定律. 五、理解角动量的概念, 理解刚体定轴转动的角动量守恒定律. 六、会计算力矩的功、定轴转动刚体的转动动能和对轴的角动量. 七、能综合应用转动定律和牛顿运动定律及质点、刚体定轴转动的运动学公式计算质点刚体系统的简单动力学问题. 八、能综合应用守恒定律求解质点刚体系统的简单动力学问题. 明确选择分析解决质点刚体系统力学问题规律时的优先考虑顺序.

3-1 刚体定轴转动的动能定理和转动定律 预习要点 注意描述刚体定轴转动的运动学方法. 阅读附录1中矢量乘法. 力对转轴的力矩如何计算? 阅读附录1中矢量乘法. 力对转轴的力矩如何计算? 领会刚体定轴转动的动能定理的意义. 注意区分平动动能和转动动能的计算式. 注意力矩的功的计算方法. 转动惯量的定义是什么? 转动惯量与哪些因素有关? 刚体定轴转动定律的内容及数学表达式如何? 注意它的应用方法.

一、刚体及刚体定轴转动 刚体：在外力作用下，形状和大小都不发生变化的物体（任意两质点间距离保持不变的特殊质点组）. 刚体的运动形式：平动、转动 . 平动：刚体中所有点的运动轨迹都保持完全相同. 转动：刚体中所有的点都绕同一直线作圆周运动. 转动分定轴转动和非定轴转动. 转轴不动, 刚体绕转轴运动叫刚体的定轴转动；垂直于转轴的平面叫转动平面.

二、描述刚体定轴转动的物理量 角坐标 O 角位移 角速度 角加速度 定轴(Oz轴)条件下，由Oz轴正向俯视，逆时针转向的 取正，顺时针取负.

三、刚体定轴转动的力矩和力矩的功 1. 力矩 刚体绕Oz轴旋转, O为轴与转动平面的交点，力 作用在刚体上点 P , 且在转动平面内, 为由点O 到力的作用点 P 的位矢. P * O 对转轴z的力矩 ( :力臂)

2. 力矩作功 力矩的功

四、刚体定轴转动的转动动能和转动惯量 1. 转动动能 刚体内部质量为 的质量元的速度为 动能为 刚体定轴转动的总能量（转动动能）

2. 转动惯量 与平动动能 比较转动动能 相当于描写转动惯性的物理量. 定义转动惯量 对质量连续分布的刚体，任取质量元dm，其到轴的距离为r，则转动惯量 单位：kg · m2（千克·米2）. 刚体定轴转动动能计算式：

3. 转动惯量的计算举例 求质量为m、长为l的均匀细长棒，对通过棒中心和过端点并与棒垂直的两轴的转动惯量. O´ O 设棒的线密度为 ，取一距离转轴 OO´ 为 处的质量元 如转轴过端点垂直于棒 刚体的转动惯量与刚体的质量m、刚体的质量分布和转轴的位置有关.

4. 部分均匀刚体的转动惯量 薄圆盘转轴通过中心与盘面垂直 2r 球体转轴沿直径

l 细棒转轴通过中心与棒垂直 l 细棒转轴通过端点与棒垂直

五、刚体定轴转动的动能定理 刚体是其内任两质点间距离不变的质点组，刚体做定轴转动时，质点间无相对位移，质点间内力不作功，外力功为其力矩的功；并且刚体无移动，动能的变化只有定轴转动动能的变化. 由质点组动能定理

得刚体定轴转动的动能定理 合外力矩对绕定轴转动的刚体所作的功等于刚体转动动能的增量. 注意: 1. 如果刚体在运动过程中还有势能的变化，可用质点组的功能原理和机械能转换与守恒定律讨论. 总之，刚体作为特殊的质点组，它服从质点组的功能转换关系. 2. 刚体的定轴转动的动能应用 计算.

六、刚体定轴转动的转动定律 由动能定理： 取微分形式： 两边除dt 由于 故得 刚体定轴转动定律：刚体作定轴转动时，合外力矩等于刚体的转动惯量与角加速度的乘积.

七、牛顿定律和转动定律的综合应用 如果在一个物体系中，有的物体作平动，有的物体作定轴转动，处理此问题仍然可以应用隔离法. 但应分清哪些物体作平动，哪些物体作转动. 把平动物体隔离出来，按牛顿第二定律写出其动力学方程；把定轴转动物体隔离出来，按转动定律写出其动力学方程. 有时还需要利用质点及刚体定轴转动的运动学公式补充方程，然后对这些方程综合求解.

例:一轻绳跨过一轴承光滑的定滑轮，绳的两端分别悬有质量为m1和m2的物体，滑轮可视为均质圆盘， 质量为m，半径为r，绳子不可伸长而且与滑轮之间无相对滑动.求物体加速度、滑轮转动的角加速度和绳子的张力. 解: 受力图如下， 设

得解

例: 一根质量均匀分布的细杆，一端连接一个大小可以不计的小球，另一端可绕水平转轴转动 例: 一根质量均匀分布的细杆，一端连接一个大小可以不计的小球，另一端可绕水平转轴转动. 某瞬时细杆在竖直面内绕轴转动的角速度为 ，杆与竖直轴的夹角为 . 设杆的质量为 、杆长为 l，小球的质量为 . 求： 1）系统对轴的转动惯量； 2）在图示位置系统的转动动能； 3）在图示位置系统所受重力对轴的力矩. 1）系统对轴的转动惯量J是杆的转动惯量J1与小球的转动惯量J2之和. 解: l

2）系统的转动动能为： l 3）系统所受重力有杆的中立和小球的重力. 则系统所受重力对轴的力矩的大小为：

3-2 定轴转动的动量矩定理和动量矩守恒定律 预习要点 认识质点对定点的动量矩的定义， 刚体对转轴的动量矩如何计算? 刚体定轴转动的动量矩定理的内容及数学表达式是怎样的? 动量矩守恒定律的内容及守恒定律的条件是什么?

一、动量矩 1. 质点的动量矩 质量为 的质点以速度 在空间运动，某时刻相对原点 O 的位矢为 ，质点相对于原点的角动量 大小 的方向符合右手法则. 单位 或

质点对定点O的动量矩 在某坐标轴Oz上的投影 称为该质点对轴Oz的动量矩. 质点作圆运动时，其对过圆心O且运动平面垂直的轴Oz的动量矩： 或 又 故得 （取正号LZ与Oz同向，负号反向）

刚体作定轴转动时，其内所有质点都在与轴垂直的平面内作圆周运动，刚体对轴的动量矩为其所有质点对同一轴的动量矩之和. 2. 刚体的动量矩 刚体作定轴转动时，其内所有质点都在与轴垂直的平面内作圆周运动，刚体对轴的动量矩为其所有质点对同一轴的动量矩之和. O 即 L为正，其方向沿Oz正向，反之沿Oz负向. 对刚体组合系统，总动量矩为各部分对同轴动量矩之和.

二、刚体定轴转动时的动量矩定理 由刚体定轴转动定律 刚体所受的外力矩等于刚体角动量的变化率. 将上式变形后积分 表示作用在刚体上的合外力矩的时间积累, 称为冲量矩. 动量矩定理: 作用在刚体上的冲量矩等于刚体动量矩的增量.

三、动量矩守恒定律 若 ， 则 常量. 动量矩守恒定律: 当刚体转动系统受到的合外力矩为零时，系统的动量矩守恒. 花样滑冰 跳水运动员跳水 若 ， 则 常量. 动量矩守恒定律: 当刚体转动系统受到的合外力矩为零时，系统的动量矩守恒. 花样滑冰 跳水运动员跳水 注意 1. 对一般的质点系统，若质点系相对于某一定点所受的合外力矩为零时，则此质点系相对于该定点的动量矩始终保持不变. 2. 动量矩守恒定律与动量守恒定律一样,也是自然界的一条普遍规律.

例：在光滑水平桌面上放置一个静止的质量为m’、长为2l、可绕过与杆垂直的光滑轴中心转动的细杆 例：在光滑水平桌面上放置一个静止的质量为m’、长为2l、可绕过与杆垂直的光滑轴中心转动的细杆.有一质量为m的小球以与杆垂直的速度 与杆的一端发生完全弹性碰撞，求小球的反弹速度 及杆的转动角速度. 解： 杆和球在竖直方向所受重力和支持力与轴平行，对轴无力矩；桌面及轴皆光滑，无摩擦力矩；轴对杆的反作用力过轴也无力矩.因此，球与杆在碰撞过程中，所受外力矩为零，在水平面上，碰撞过程中系统角动量守恒. 即： （1）

弹性碰撞动能守恒 （2） 其中 联立(1)、(2)式求解