上 讲 回 顾 晶体电子准经典运动的基本公式： —— 电子在实空间的位置 —— 电子在实空间的速度 —— 电子状态变化 —— 电子在实空间的加速度 电子的有效质量

有效质量的再理解 电子的运动应该同时受到晶格力Fl 和外场力F 但Fl 是难以表示清楚的，因此可将公式改写为： —— 通过引入有效质量m* 取代真实质量m0， 将未知的晶格 力的作用都包含在有效质量中，就可以采用我们已经 非常熟悉的牛顿定律来描述晶体电子在外场中的行为 —— 但由于包含了晶格力的作用，m*不同于m0

—— 当电子从外场获得的动量大于电子传递给晶格的动 量时，有效质量m*> 0 电子从晶格场获得的动量 电子传递给晶格的动量 —— 当电子从外场获得的动量大于电子传递给晶格的动 量时，有效质量m*> 0 —— 当电子从外场获得的动量小于电子传递给晶格的动 量时，有效质量m*< 0

—— 当电子从外场获得的动量全部传递给晶格时，m* → ∞ ，此时电子的平均加速度为零 电子传递给晶格的动量 —— 当电子从外场获得的动量全部传递给晶格时，m* → ∞ ，此时电子的平均加速度为零 (m*为张量) (m0为标量) —— 电子加速度的方向为外场力和晶格力的合力方向， 并不一定和外场力方向一致

由于存在晶格力，m*≠m0，如果没有晶格力，两者相等 有效质量m*可以比m0大，也可以比m0小，取决于晶格力的作用 当电子聚集在晶体势场的顶点附近，如图a 所示，外场力推动电子沿势能曲线“滚下来”，晶格力也起着助动作用，所以m*<m0

当电子聚集在势能曲线底部附近时，如图b 所示，晶格势场的作用恰好和外场力相反，外场力促其离开最低点，晶格力则阻碍它离开，这会导致m 当电子聚集在势能曲线底部附近时，如图b 所示，晶格势场的作用恰好和外场力相反，外场力促其离开最低点，晶格力则阻碍它离开，这会导致m*>m0 如果势能曲线足够陡，Fl >> F，有可能使m*< 0 引入电子的有效质量m*和动量 ，是一种理论技巧。使我们在形式上可以忽略晶格力，这是十分有用的，因为晶格力既不能事先知道，又不能像外力那样容易测量。这给处理外场作用下的电子动力学问题带来极大方便。

§5.2 恒定电场作用下电子的运动 【例】一维紧束缚近似下，电子在恒定电场作用下的运动规律 简约布里渊区能带、电子的速度和有效质量 电子的能量 电子的速度 有效质量

1) 能带底部 2) 能带顶部

在外加电场作用下电子的运动 电场力 —— 沿k轴的正方向 (电场E沿k的负方向) 电子在k空间的速度： 电子在实空间的速度：

1) 电子在k空间做匀速运动 —— 电子的运动保持在同一个能带内，能量周期性变化 k空间简约布里渊区 —— 电子从 k=/a 移动出去 —— 同时从 k= -/a 移动进来

2) 实空间中电子速度振荡 t=0时 k = 0，m* > 0 外力作用使电子加速，vr(k) 增大 k = /2a， k > /2a， m* < 0 电子做减速运动 k = /a， —— 电子能量到达能带顶部

实空间中电子速度振荡 k = -/a ~ -/2a 范围内，m*(k)<0, vr(k)不断增大 k = -/2a， k = -/2a ~ 0， m*(k)>0 vr(k)不断减小 k = 0， —— 电子到达能带底部

实空间中电子速度振荡 电子在实空间中运动位置 振荡

外电场对电子能量本征值附加的能量 —— 电场E沿 – x 方向 外电场的附加能量 能带的倾斜 外电场的 附加能量 能量本征值 总能量

两个能带的情形下，电子在实空间的运动振荡的情况 电子运动的振荡 (Bloch振荡) —— t=0电子由A点(能带底)经过B点到达C点(能带顶) (k=0 到 k=/a 的运动) —— 在C点(能带顶)电子遇到带隙，相当于存在一个位垒， 电子将被全部反射回来，电子由C点经过B点回到A点 (k=-/a 到 k=0 的运动)

—— 电子在运动的过程中，会受到声子、杂质和缺陷的散射 (碰撞)，相邻两次散射之间的平均时间间隔为电子的平 均自由运动时间( ) —— 如果 很小，电子来不及完成振荡运动就被散射破坏了 观察电子运动振荡的条件 ——  >> 1/  (  >> 1)  —— 振荡圆频率

振荡圆频率 如果 a  0.3 nm,   10-13 s， 则 E > 2×104 V/mm —— 在金属中无法实现，对于绝缘体早已被击穿，很难 观察到电子的振荡 —— 一般情况T ~ 10-5s，  ～10-13s，一个周期内碰撞108 次！振荡现象完全被“冲掉”了 —— 在一般电场下，在k空间电子只是发生了一个小位移， 无法实现振荡

根据量子理论，电子可以发生势垒贯穿效应 穿透位垒的几率 —— 位垒长度 —— 当电场足够强时，若下面的能带被电子填充满，或者接 近填充满，上面能带是空带可以接纳电子，此时电子有 一定的几率从价带穿透带隙进入导带 —— 隧道效应

§5.3 导体、绝缘体和半导体的能带论解释 问题的提出： —— 所有固体都包含大量的电子，但电子的导电性却相差 非常大 导体的电阻率 半导体的电阻率 绝缘体的电阻率

—— 特鲁特关于一些金属导电电子数等于原子的价电子 数的假设是相当成功 —— 其它一些固体却不是这样 —— 导体、半导体和绝缘体的区别在哪里？ —— 电子的能带理论解释了导体与绝缘体

1. 满带中的电子对导电的贡献 电子能量是波矢的偶函数 波矢为 的电子的速度 波矢为 的电子的速度 波矢为 的电子的速度 波矢为 的电子的速度 —— 状态和 状态中电子的速度大小相等、方向相反

1) 在无外场时 每个电子产生的电流 —— 状态和 状态中电子的速度大小相等、方向相反 —— 对电流的贡献相互抵消 热平衡状态下，电子占据波矢为 的状态和占据波矢 为 的状态的几率相等 —— 晶体中的满带在无外场 时，不产生电流

2) 在有外场 作用时 电子受到的作用力 电子动量的变化 —— 所有电子状态以相同的速 度沿着电场的反方向运动 —— 满带的情形中，电子的运动不改变布里渊区中电子的状态 分布，满带中的电子不产生宏观的电流

2. 导带中的电子对导电的贡献 1) 无外场存在时 —— 虽然只有部分状态被电子填充，但波矢为 的状态和波矢 —— 虽然只有部分状态被电子填充，但波矢为 的状态和波矢 为 的状态中电子的速度大小相等、方向相反，对电流 的贡献相互抵消 —— 热平衡状态下，电子占 据两个状态的几率相等 —— 晶体中的导带在无外场 作用时，不产生电流

2) 在有外场作用时 —— 导带中只有部分状态被电子填充，外场的作用会使布里 渊区的状态分布发生变化 —— 所有的电子状态以相同的速度沿着电场的反方向运动， 但由于能带是不满带，逆电场方向上运动的电子较多 —— 在外场作用下， 导带中的电子产 生电流 F

导体、半导体、绝缘体模型

绝缘体 —— 原子中的电子是满壳层分布的，价电子刚好填满 了许可的能带，形成满带，导带和价带之间存在 一个很宽的禁带。 在一般情况下，价带之上的能带没有电子，在电 场的作用下没有电流产生。 导体 —— 在一系列能带中除了电子填充满的能带以外，还有 部分被电子填充的能带(导带)，后者起着导电作用 由于受到声子、杂质和缺陷的散 射，在一般电场下，在k 空间电子只是发生了一个小位移，无法实现振荡。

—— N个原胞构成的晶体，每一条能带能容纳的电子数为 碱金属Li(3)、Na(11)、K(19)、Cu(29)、Ag(47)，原胞中只有一个价电子，它们只填充半条能带 —— 导体 Na原子 —— 1个价电子 N个Na原子 —— N个价电子

碱金属中价电子只填充半条能带 费密球与布里渊区边界不相交 二价碱土金属 Be(4)、Mg(12)、Zn(30)， 最外层2个s态电子，原胞中有2个价电子 —— ns态所对应的能带可以填充2N电子 —— 2N个电子刚好填充满和s相应的能带 二价碱土金属 —— 是绝缘体还是导体？！

—— 与s对应的能带和上面的能带(p态)发生重叠 2N个电子尚未填充满s态能带，就开始填充上面的能带 —— 两个能带都是部分填充 二价碱土金属 —— 导体！ —— 与s对应的能带和上面的能带(p态)发生重叠 2N个电子尚未填充满s态能带，就开始填充上面的能带 —— 两个能带都是部分填充 —— 第一布里渊区中的状态尚未填满，第二布里渊区已填充 电子，此时的费米面由两部分构成 [111]

半金属 (V族元素As 、Sb、 Bi ； 三角晶格结构) —— 原胞有偶数个电子，能带的交叠，金属的导电性 [111] —— 能带交叠较小， 对导电有贡献的 载流子数远远小 于普通的金属， 导电能力远小于 普通金属

半导体和绝缘体 —— 金刚石结构的IV族元素C、Si和Ge 在下面，反键态对应4个能带在上面。每个能带可容纳2N 个电子，成键态的4个能带可以容纳8N电子 —— 金刚石结构晶体 中每个原胞有两 个原子，共8个电 子。晶体中的8N 个电子全部填充 在成键态的4个能 带中形成满带， 反键态则是空带

—— 金刚石为绝缘体，禁带宽度较宽，约~10 eV Si和Ge为半导体，禁带宽度较窄，约~2 eV以下 —— 半导体依靠热激发即可以将满带中的电子激发到导带中， 因而具有导电能力 —— 热激发到导带中 的电子数目随温 度按指数规律变 化，半导体的电 导率随温度的升 高按指数形式增 大

3. 近满带和空穴 近满带 —— 满带中的少数电子受热或光激发从满带跃迁到 空带中去，使原来的满带变为近满带 空穴 —— 描述近满带 近满带 —— 满带中的少数电子受热或光激发从满带跃迁到 空带中去，使原来的满带变为近满带 空穴 —— 描述近满带 的导电性

设想近满带中只有一个 态没有电子 在电场的作用下，近满带产生的电流为近满带中所有电子对电流的贡献，总电流 如果在空的 中放入一个电子，近满带变为满带，总的电流为零

近满带的总电流相当于一个带正电q的粒子以空状态 中 的电子速度 运动所引起的电流 在电磁场作用下，满带不产生电流 两边对时间微分得到 电子加速度 作用于空状态中电子的电磁场力

满带顶附近 —— 正电荷q在电磁场中受到的力 —— 外电磁场中，近满带电流的变化如同于由一个带正电 q，具有正质量m*的粒子所引起的

当满带顶附近有空状态 时，整个能带中的电流以及电流在外电磁场中的变化相当于一个带正电q，具有正质量m 固体中导带底部少量电子引起的导电性 —— 电子导电性 固体中满带顶部缺少一些电子引起的导电性 —— 空穴导电性 半导体中，满带中的少量电子激发到导带中，产生的本征导电是由相同数目的电子和空穴构成的 —— 混合导电性