指導教授：林宜臻老師 組員：教政所 李偉誠 資工所 廖珮妤 分數概念 指導教授：林宜臻老師 組員：教政所 李偉誠 資工所 廖珮妤

報告大綱 數學概念 認知結構 教學策略 綱要結構 評量範例

[數學概念]

分數的意義 分數是在描述一個平分後的狀況， 有一個母體被平分， 這個母體被平分的份數就是分母， 被取出的份數是分子。

單位量 當我們提到　顆蘋果時， 一顆蘋果就是單位量； 如果我們說　打的蘋果， 則12 顆(一打)蘋果才是單位量。

連續量 要找出指定分數的部分量時， 需將物件作人為切割的物件稱為連續量， 例如：一個蘋果的三分之一。 指在連續量情境下的分數意義。

離散量 物件呈離散的狀態，一個一個獨立的呈現，要找出指定分數的部分量時，不需將物件作人為切割的物件稱為離散量， 例如：3顆糖果的三分之一。 指在離散量情境下的分數意義。

分數的寫法 分數表示成 (例如： ) 之有理數。 分線 分母 分子

名詞釋義（1） 單位分數 真分數 假分數 分母是大於1的正整數，而且分子是1， 例: ， 。 分子比分母小的分數。 真分數小於1。例： 分母是大於1的正整數，而且分子是1， 例: ， 。 真分數  分子比分母小的分數。 真分數小於1。例： 假分數  分子比分母大，或者分子等於分母的分數。 假分數大於或等於1。例：

名詞釋義（2） 帶分數 零分數 分子不是分母的倍數的假分數， 可以為整數和真分數合成的數。 例： 帶分數  分子不是分母的倍數的假分數， 可以為整數和真分數合成的數。 例： 零分數 分母不為零，而分子為零的分數，即 （ ），叫做零分數。

名詞釋義（3） 擴分 分子．分母同時乘以同一個整數，其值不變，稱為擴分。 約分 分子．分母同時除以同一個整數，其值不變，稱為約分。

名詞釋義（4） 最簡分數  一分數經化簡後（合併符號、約分），若分子與分母的絕對值互質，此分數稱為最簡分數。 例： 互質

名詞釋義（5） 等值分數 一分數擴分或約分後所得的分數，其值和原分數相同，稱為等值分數。 三數等值 （擴分） （約分）

對於分數的解釋 Behr & Post (1988) 提出 「部分／全部」的概念 比例：強調兩個數量的關係 比值：用一個量值來代表兩個數量的關係 商：兩數相除的結果 操作：強調分數是一種轉換 線性座標：強調數線的距離長 數線上的一點：即實數系的子集合

認知結構（1） 受皮亞傑(Piaget,1896~1980)認知發展階段論(stage theory of cognitive development) 及布魯納(Brunner,1915~)表象思維發展論(theory of development of representational thought)的影響

認知結構（2） 等分概念 的認知發展 簡單分數概念 的認知發展 單位量概念 的認知發展 等值分數概念 的認知發展

認知結構--等分概念 等分是指將物品細分，而細分的每個部分的量皆相等 。 兒童的等分概念是不完備的

認知結構--簡單分數概念 Piaget →先期基模 兒童的生活經驗無法與分數符號產生連結

認知結構--單位量概念 單位量概念又稱整體量概念（the conceptof a whole） 學生對於單位量的認知… 忽略給定的單位量 受分子的控制 受分母的控制

認知結構—等值分數概念 發展等值分數所需之能力 能力缺乏時： 單位形成思考能力 組合能力 彈性思考能力 運作思考能力 以分母的大小來做比較 以分子的大小來比較 分別比較兩個分數的分子分母

[教學策略]

學生學習上的迷思概念（1） 部分學童會忽略「平分」的重要。學童解判斷是否等分問題時，只注意到被分割的塊數，而忽略分割後的每一塊是否相等。 學童對於單位量、內容物的單位詞出現混淆的情形。 學童分東西的經驗，以分吃的東西最多，因此可作為佈題情境的參考。 學童分東西的經驗以分離散量較多，舉分數的例子則是以連續量較多。

學生學習上的迷思概念（2） 學童運用整數知識來處理分數問題並將分數的分子、分母視為獨立的二個數，普遍存在在各試題的表現上。 許多學童在比較分數大小時，直接將分子和分母分開來進行比較，而不是將分數視為一個量來比較。同時研究也顯示學童一半和二分之一的連結並不穩固。 中年級學童較習慣用全部內容物當單位量；學童在面對餘量再分問題時會自行增加或減少內容物，使其數量可以整數個分配。 中年級學童舉例大多以畫圖表示，高年級學童則大多以文字表示。

教學策略（1） 建立分數的概念 與學生實際生活經驗連結 操作教具 最重要是澄清學生對於等分與單位量的概念。 使學生能將抽象的數字符號與運算 與自己的生活經驗做連結。 操作教具 透過圖形、教具等實物的操作，使學生眼見為憑，抽象的概念轉趨現實，累積概念。

教學策略（2） 同儕合作學習 透過數字解題 強化解題步驟 練習習題 透過學生們之間互動的討論，使正確答案浮出，並請學生說出思考的過程與其想法，腦力激盪的過程將使學生思考更加靈活。 透過數字解題 操作教具之後，導引學生認識純算式，使學生逐漸了解計算的原理。 強化解題步驟 利用多重討論與例題，幫助學生強化解題的步驟。 練習習題

綱要結構 ---五大主題能力指標 N-1-09 能在具體情境中，初步認識分數，並解決同分母分數的比較與加減問題。 N-2-06 能理解分數之「整數相除」的意涵。 N-2-07 能認識真分數、假分數與帶分數，作同分母分數的比較、加減與整數倍計算，並解決生活中的問題。 N-2-08 能理解等值分數、約分、擴分的意義。 N-2-09 能理解通分的意義，並用來解決異分母分數的比較與加減問題。 N-2-11 能理解分數乘法的意義及計算方法，並解決生活中的問題。 N-2-13 能做分數與小數的互換，並標記在數線上。 N-3-02 能理解最大公因數、最小公倍數與兩數互質的意義，並用來將分數約成最簡分數。 N-3-03 能理解除數為分數的意義及計算方法，並解決生活中的問題。

綱要結構 ---分年細目 二年級(1) N-1-09能在具體情境中，初步認識分數，並解決同分母分數的比較與加減問題。 階段能力指標 對照指標 說明 2-n-10能在平分的情境中，認識分母在12以內的單位分數，並比較不同單位分數的大小。 N-1-09能在具體情境中，初步認識分數，並解決同分母分數的比較與加減問題。 ●分數教學應盡量利用學童對平分與公平的直覺，在學習上應從最容易的「對分」（一半）、「對分再對分」（四分之一）開始，在這種情況，學童也比較可以操作。原則上，應不要將教學時間用在學習等分實際物品的操作上，例如不要求學童實際將一條繩子平分成6份，可透過已經先標記好平分成6份的一條繩子，學童依舊可以理解 1/6。但可加入判別等分的教學活動。例：如下圖，將繩子分成6份，請問其中一段是否為1/6，請解釋其理由？

綱要結構 ---分年細目 二年級(2) N-1-09能在具體情境中，初步認識分數，並解決同分母分數的比較與加減問題。 階段能力指標 對照指標 說明 2-n-10能在平分的情境中，認識分母在12以內的單位分數，並比較不同單位分數的大小。 N-1-09能在具體情境中，初步認識分數，並解決同分母分數的比較與加減問題。 。 ●分數教學有兩種常用模型：「圓形模型」（如披薩）與「線形模型」（如繩子、直尺）。前者比較沒有溝通上的干擾，適合教學；後者因為與測量有關，也很重要。兩者皆應發展。 ●先從1/2、1/4、1/8等較容易平分的量入手，知道1/2個披薩就是「半個披薩」，1/4個披薩就是「半個披薩的一半」。然後再學習1/3、1/5、…、1/12等一般分母的單位分數。

綱要結構 ---分年細目 二年級(3) 2-n-10能在平分的情境中，認識分母在12以內的單位分數，並比較不同單位分數的大小。 階段能力指標 對照指標 說明 2-n-10能在平分的情境中，認識分母在12以內的單位分數，並比較不同單位分數的大小。 N-1-09能在具體情境中，初步認識分數，並解決同分母分數的比較與加減問題。 。 ●學童應學會「二分之一」、「三分之一」…的說法，並知道「三分之一」個披薩，就是將一個披薩平分成3片其中的1片，「三分之一」條緞帶，就是將一條緞帶平分成3段其中的1段。並知道「三分之一」個披薩3塊合起來是一個披薩。「三分之一」條緞帶3段合起來，是一條緞帶。 ●作單位分數大小比較時，在感官辨識上，並不容易區分分母較大之單位分數的大小，但從平分的情境中，以分母較小的單位分數比較為基礎，學童應能推理得知一個披薩平分給3人，每人所得到的披薩會比平分給5人的時候多，所以，1/3個披薩＞1/5個披薩。 ●也可以與1-n-08中，所謂「半點鐘」相連結。

綱要結構 ---分年細目 四年級(1) 4-n-06能在平分情境中，理解分數之「整數相除」的意涵。 階段能力指標 對照指標 說明 4-n-06能在平分情境中，理解分數之「整數相除」的意涵。 N-2-06 能理解分數之「整數相除」的意涵。 。 ●理解分數的「整數相除」意涵（例如 2÷3＝ 、 ＝2÷3），是分數教學的重要課題，日後一般學童也都只記得分數就是分子除以分母的概念。由於除法有兩種不同的應用情境，在四年級處理較簡單的平分情境（等分除），五年級再處理測量的情境（包含除）。在被除數附上單位的情境裡，比較能順利進行這個課題的教學。 ●先複習「單位分數」（參見2-n-10，3-n-09，這是在平分情境中進行的），例如：將1個披薩，平分給3個小朋友，每個小朋友分得個披薩，因此1個披薩÷3＝ 個披薩，簡記成1÷3＝ 。

綱要結構 ---分年細目 四年級(2) 4-n-06能在平分情境中，理解分數之「整數相除」的意涵。 階段能力指標 對照指標 說明 4-n-06能在平分情境中，理解分數之「整數相除」的意涵。 N-2-06 能理解分數之「整數相除」的意涵。 。 ●討論「如何將2個披薩，平分給3個小朋友？」，歸結到先將每個披薩各平分成3片的方法，再從每個披薩中各取 個披薩，但是 個披薩有2片，所以應該是 個披薩，也就是每個小朋友各分得 個披薩，可以讓學童將 個披薩總加起來，確定會得2個披薩。 ●在這裡教師一定要迫使學童處理，這樣平分到底是1/3 還是2/3的認知衝突（即全體與「個披薩」單位的衝突）。學童必須清楚知道，「2個披薩的三分之一是2/3個披薩」。學童在這一點上能突破，才能較穩定理解分數記號的意義。

綱要結構 ---分年細目 四年級(3) 4-n-06能在平分情境中，理解分數之「整數相除」的意涵。 階段能力指標 對照指標 說明 4-n-06能在平分情境中，理解分數之「整數相除」的意涵。 N-2-06 能理解分數之「整數相除」的意涵。 。 ●也可以再討論「如何將4個披薩，平分給3個小朋友？」（引導出帶分數的結果）、「如何將2個披薩，平分給4個小朋友？」（引導出等值分數）等問題。 ●在具體情境中，讓學童認識有餘數（不准分割之離散量個別單位，如5個糖果分給3個小朋友）與無餘數（准許分割之連續量個別單位，5個披薩平分給3個小朋友）兩者間的不同，進而清楚理解這兩種情境的差別。

綱要結構 ---分年細目 四年級(4) 階段能力指標 對照指標 說明 4-n-07能認識真分數、假分數與帶分數，熟練假分數與帶分數的互換，並進行同分母分數的比較、加、減與非帶分數的整數倍的計算。 N-2-07能認識真分數、假分數與帶分數，作同分母分數的比較、加減與整數倍計算，並解決生活中的問題。 ●由本細目，開始發展分數的計算課題，建議分母小於20，且用較常出現的數，如2、3、4、5、8、10、12、15、16、20等。為與小數做連結，應做分母為100、1000等的分數。 ●由於分數本質上是一種乘除關係，一般其加減計算其實比乘除計算複雜，但是在同分母的情形，可以利用單位分數的點數，與整數的計算完全連結，這就是本細目所處理的所有情形。建議教師先在一固定情境中（如平分披薩），將課題說明清楚並做計算練習後，才開始做其他應用問題（如平分緞帶）。

綱要結構 ---分年細目 四年級(5) 階段能力指標 對照指標 說明 4-n-07能認識真分數、假分數與帶分數，熟練假分數與帶分數的互換，並進行同分母分數的比較、加、減與非帶分數的整數倍的計算。 N-2-07能認識真分數、假分數與帶分數，作同分母分數的比較、加減與整數倍計算，並解決生活中的問題。 ●本細目應處理： （1）將整數點數與分數記號連結起來（例如9個1/4就是9/4）。 （2）說明真分數、假分數、帶分數的意義。 （3） 說明假分數與帶分數的轉換，並理解這與分子除以分母的商與餘數的關係。 （4）說明整數的比較與計算如何與同分母的比較與計算連結。

綱要結構 ---分年細目 四年級(6) 階段能力指標 對照指標 說明 4-n-07能認識真分數、假分數與帶分數，熟練假分數與帶分數的互換，並進行同分母分數的比較、加、減與非帶分數的整數倍的計算。 N-2-07能認識真分數、假分數與帶分數，作同分母分數的比較、加減與整數倍計算，並解決生活中的問題。 ●由於同分母分數的比較與加減，與學童的整數經驗完全相同，所以較容易。因此，此細目可作假（真）分數的整數倍，但不作帶分數的整數倍。在說明分數的整數倍時，先確定學童已能接受4-n-06中「若每個小朋友有2/3個披薩，所以3個小朋友（3倍）共有 2/3個披薩×3＝2個披薩」的說明。教師可以採用整數乘法的經驗，建立整數倍的計算，也可與「整數相除」的概念連結。簡單整數除數的情況也類似。 ●透過分解合成，理解加減互逆也可用於分數加減。 ●理解作帶分數減法時，可能要從整數借1的計算原理。並在以10為分母時，理解這與小數相減借位的原理相通。

綱要結構 ---分年細目 四年級(7) ＜1＜ ， 是真分數， 是假分數。 ＋ ＝ ＝2 階段能力指標 對照指標 說明 4-n-07能認識真分數、假分數與帶分數，熟練假分數與帶分數的互換，並進行同分母分數的比較、加、減與非帶分數的整數倍的計算。 N-2-07能認識真分數、假分數與帶分數，作同分母分數的比較、加減與整數倍計算，並解決生活中的問題。 ●本細目處理完後，學童應能理解或計算： ＜1＜ ， 是真分數， 是假分數。 ＋ ＝ ＝2

綱要結構 ---分年細目 四年級(8) 4-n-08能理解等值分數，進行簡單異分母分數的比較，並用來做簡單分數與小數的互換。 N-2-13 階段能力指標 對照指標 說明 4-n-08能理解等值分數，進行簡單異分母分數的比較，並用來做簡單分數與小數的互換。 N-2-13 能做分數與小數的互換，並標記在數線上。 N-2-08 能理解等值分數、約分、擴分的意義。 ●等值分數是一般分數加減的基礎，也可當做約分、擴分的前置經驗（參見5-n-04）。本細目著重等值分數的概念理解，其計算則應透過5-n-04來完成。 ●可先討論「如何將2個披薩，平分給4個小朋友？」，除了將每個披薩各平分成4片的方法之外，教師也要引導學童理解，這問題相當於「如何將1個披薩，平分給2個小朋友？」。 於是可以得到 個披薩 ＝ 個披薩，簡記成 。

綱要結構 ---分年細目 五年級(1) 5-n-04能用約分、擴分處理等值分數的換算。 N-2-08 能理解等值分數、約分、擴分的意義。 階段能力指標 對照指標 說明 5-n-04能用約分、擴分處理等值分數的換算。 N-2-08 能理解等值分數、約分、擴分的意義。 ●在4-n-08的前置經驗中，僅強調等值分數概念的認識。在本細目教學時，可由具體情境，解釋約分與擴分的意義，然後即應運用因數與倍數來理解約分與擴分，並做等值分數的換算。

綱要結構 ---分年細目 五年級(2) 5-n-05能用通分作簡單異分母分數的比較與加減。 階段能力指標 對照指標 說明 5-n-05能用通分作簡單異分母分數的比較與加減。 N-2-09能理解通分的意義，並用來解決異分母分數的比較與加減問題。 ●本細目在小學應以簡單異分母為教學重點，所謂「簡單」係指兩分母滿足以下情況之一（1）分母均為一位數；（2）一分母為另一分母的倍數；（3）乘以2、3、4、5就可以找到兩分母之公倍數（例如兩分母為12與18）。 ●通分是利用約分或擴分，將兩異分母的分數，變成兩同分母之等值分數後，再來做兩同分母分數的比較與加減。 ●由於本細目只作通分概念的認識，並不要求化成最簡分數（參見6-n-02）。所以此時學童在做通分時，可能只是做最簡單的分母相乘，但教師應鼓勵學童盡量將答案約分為較簡單的分數 ●注意學童經常發生的錯誤類型：分母與分子各自相加減。

綱要結構 ---分年細目 五年級(3) 5-n-06能在測量情境中，理解分數之「整數相除」的意涵。 階段能力指標 對照指標 說明 5-n-06能在測量情境中，理解分數之「整數相除」的意涵。 N-2-06能理解分數之「整數相除」的意涵。 ●先回顧用測量來理解除法的操作方式（3-n-04中平分線段的例題）。

綱要結構 ---分年細目 五年級(4) 5-n-07能理解乘數為分數的意義及計算方法，並解決生活中的問題。 階段能力指標 對照指標 說明 5-n-07能理解乘數為分數的意義及計算方法，並解決生活中的問題。 N-2-11能理解分數乘法的意義及計算方法，並解決生活中的問題。 ●分數計算的課題，不管是從形式練習面著手，還是從情境說明著手，學童都需要經常練習，兩者俱進，才會熟練。本細目在教學上應先處理帶分數乘以整數的問題，再處理整數乘以分數的情況，最後處理被乘數為一般分數的情形。理解「分數乘以分數」的方式很多，底下只是一些方法的範例，並不表示教師必須全部教完。

綱要結構 ---分年細目 五年級(5) N-2-13 能做分數與小數的互換，並標記在數線上。 N-2-06 能理解分數之「整數相除」的意涵。 階段能力指標 對照指標 說明 5-n-11能將分數、小數標記在數線上。 N-2-13 能做分數與小數的互換，並標記在數線上。 N-2-06 能理解分數之「整數相除」的意涵。 ●本細目可在沒有刻度的輔助下標示整數、分數、小數。 ●分數的標示應以如2、3、4、10等簡易分母為教學重點。

[評量範例]

（1）等分概念 ( )姊姊買了一些糖果，她把全部的糖果分成3堆(如圖)，請問其中一堆是不是全部糖果的 ？ 是，因為分成三堆，其中一堆就是 ( )姊姊買了一些糖果，她把全部的糖果分成3堆(如圖)，請問其中一堆是不是全部糖果的 　？ 是，因為分成三堆，其中一堆就是 是，因為只有一堆不是　。 不是，因為沒有平分成三堆。 不是，因為沒有一堆是三個。 其他﹍﹍﹍﹍﹍。

( )阿海把一條長方形蜂蜜蛋糕平分成 4份，那麼其中3份可以說是多少條蛋糕？ 條。 （2）簡單分數概念 ( )阿海把一條長方形蜂蜜蛋糕平分成 4份，那麼其中3份可以說是多少條蛋糕？ 　條。 3 條。 其他﹍﹍﹍﹍﹍。

著色部分有幾份？全圖有幾份？著色部分佔全圖的幾分之幾 ？ （3）單位量概念 著色部分有幾份？全圖有幾份？著色部分佔全圖的幾分之幾 ？

（4）等值分數概念 ( )6顆糖果裝一包，　包有幾顆？ 1顆。 2顆。 3顆。 4顆。 其他﹍﹍﹍﹍﹍。

參考文獻 陳明宏、呂玉琴(2005)。國小四年級學童分數概念之診斷教學研究。國立台北教育大學學報，18(2)，頁1-32。台北：國立台北教育大學。 詹婉華、呂玉琴(2004)。國小高年級學童分數概念量表之設計研究。科學教育學刊，12(2)，頁241-263。 游政雄、呂玉琴(2002)。台灣北部地區國小中年級學童分數概念之研究。國立臺北師範學院學報，(15)，頁37-68。 教育部(2006a)。國民中小學九年一貫課程綱要。2006年10月3日，取自：http://www.edu.tw/EDU_WEB/EDU_MGT/EJE/EDU5147002/9CC/9CC.html?UNITID=271&CATEGORYID=845&FILEID=147654&open 教育部(2006b)。國教專業社群網，九年一貫課程-數學學習領域。2006年10月3日，取自：http://teach.eje.edu.tw/9CC/fields/2003/math_3_1.php 香港教育城(2006)。學科天地，小學數學科園地。2006年10月4日取自：http://www.hkedcity.net/iworld/index.phtml?iworld_id=41 林宜臻數學園地：http://jen.naer.edu.tw/

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