第一章 連續與極限

大 綱 1.1 極限之內涵 1.2 極限之計算 1.3 連續性及其結果 1.4 無窮極限 1.5 極限的正式定義

在一開始，我們考慮下列函數 這兩個函數在x = 2的地方沒都沒有定義。 注意這兩個不同函數的圖形在x = 2附近所呈現出的樣子有顯著的差異（圖1.1a和圖1.1b）。雖然我們不能對這兩個函數在x = 2點上的值有所說明（因為它已經超出了這兩個函數的定義域之外），可是我們仍然可以去檢驗這兩個函數在該點附近的行為變化，讓我們試著計算這兩個函數在x = 2附近的數個函數值，如下表所示。

注意到當你沿著表格中的第一欄往下看的時候， x值將會愈來愈靠近2，不過這些值都比2來的小。我們採用 來標示，其含意是指x從左邊慢慢靠近2。你可以注意到無論從表格還是函數圖中，當x愈來愈靠近2（這時x<2）時，g(x)都可以看得出來會愈來愈靠近4。在這樣的觀察中，我們說當x從左邊趨近於2時g(x)的極限值是4，記為 在另外一方面，上述表格和函數圖形也指出，當x愈來愈靠近2（這時x<2）時，f(x)的值呈現出來的趨勢是沒有上限的增加。因為f(x)並沒有趨近於任何數，我們說當x從左邊趨近於2時，f(x)的極限值並不存在，記為

同樣的，我們也要考慮當x靠近2，但是又比2大時，它們函數值所會發生的變化情形。在此，我們用標記 來表示x從右邊靠近2。我們在下列的表格中計算了一些函數值。 表格和函數圖形指出，當x愈來愈靠近2（這時x>2）時， g(x)也愈來愈靠近4。在這樣的觀察中，我們說當x從右邊趨近於2時，g(x)的極限值是4。記為

另外，表格和函數圖形都顯示出f(x)呈無下限的減少。當x從右邊趨近於2的時候，因為f(x)並沒有趨近於任何數，我們說 我們稱 和 為單邊極限（one-sided limits）。因為g(x)的兩個單邊極限值都是相同的數，當x趨近於2時，g(x)的極限值是4，記為 在另外一方面，由前述我們知道f(x)的兩個單邊極限並沒有一共同的值（事實上，這兩個極限值都不存在），也因此我們說當x趨近於2時，f(x)的極限值不存在，記為

Sin(x)/Cos(x) Sin(x) x Cos(x) Radius= 1

½ sinx cosx ≦x/2≦1/2 sinx/cosx 由圖中的面積關係可以得到下列的不等式 ½ sinx cosx ≦x/2≦1/2 sinx/cosx cosx ≦(sinx)/x ≦1/cosx 而且, lim cosx →1, as x→0, and lim 1/cosx →1 as x→0., lim (Sin x )/x→1

一個函數是連續的時候，我們說一個數學函數在某個區間上市連續（continuous）的，如果該函數的圖形在上述區間內，則可以沒有中斷的被繪出，換句話說，就是比沒有離開過紙張。 首先讓我們看看下面所列的一些圖形，這將對我們有很大的幫助。我們可以從圖1.6-1.9中看到，在點x=a，有什麼樣的情況會使函數圖形變得不連續（discontinuous）。

特別注意到這個系理其實只是中間值定理的一個特殊情形，也就是說該定理在w=0的情況（詳見圖1. 12）。中間值定理及系理3 特別注意到這個系理其實只是中間值定理的一個特殊情形，也就是說該定理在w=0的情況（詳見圖1.12）。中間值定理及系理3.2是我們所謂的存在定理（existence theorems）的一個例子。

求函數 的零值解（也就是根）。 解答 􀄁y = f (x)的圖形如圖1.13，我們從圖中可以看出剛好有三個根出現。注意到因為f是一個多項式函數，它是處處連續的。因此，從系理3.2可以知道它必然存在一個根，在含數有正負符號交換的區間中。從圖形中，你可以看出這個多項式函數一定有一個（以上）的根介於-3和-2，0和1以及1和2之間。就算是沒有函數圖，我們也可以藉由計算的方法來得到同樣的結論，即計算出f(0) = 3及f(1) = -1。雖然這時我們已經找到根所存在的區間，剩下的問題便是我們要怎麼樣去找出那些跟來。下列簡單但是有效的方法來求方程式的根解，我們稱之為二分法（method of bisections）。要找出介於0與1的根，我們先為它的位置猜測一個值，一個合理的猜測是其中點0.5。因為f(0.5) = -0.469<0且f(0) = 3>0，我們知道函數介於0和0.5之間有正負符號的改變，所以根就在那裡。

接下來，我們再看看區間[0, 0. 5]的中點。因為f(0. 25) = 1. 00098>0，根落在區間(0. 25, 0 接下來，我們再看看區間[0, 0.5]的中點。因為f(0.25) = 1.00098>0，根落在區間(0.25, 0.5)中，就這樣重覆的做下去。我們把根所存在的區間繼續縮小，一直到我們認為在該區間內的任何點都與真正的根足夠的靠近為止。我們利用下列的列表來展示這個方法。如果你繼續這個步驟，一直到多20步以上，我想你最終必然會到達一個近似解，這個近似跟會是x=0.40892288，你也可以看出它至少有八位數的精確度。

試計算 解答 其圖形詳見圖1.14，然後簡單地動手計算一個函數值列表（詳見邊緣部份的列表） 當我們得到結論，指出函數極限 與 不存在，表示函數的行為在x>0與x<0是存在著相當大的差異。更準確的指出來便是，當 呈現 沒有上限的增加； 呈現沒有下界的減少。雖然說兩個單邊極限都不存在，它在x=0兩側的極限行為仍呈現很大的差異。為了要表達除了不存在之外的更多訊息，關於在x=0兩側的極限值，我們寫為

如果換在圖形上來說，這說明此函數 的圖形趨近於垂直線x=0，當x→0的時候，如圖1 如果換在圖形上來說，這說明此函數 的圖形趨近於垂直線x=0，當x→0的時候，如圖1.14所示。當這情況發生的時候，我們說垂直線x=0是一條垂直漸近線（vertical asymptote）。特別注意到，極限（4.1）與（4.2）仍然是不存在的。我們說它們分別「等於」∞及-∞，只是為了要特別指出它們的極限不存在。最後，從它們的單邊極限（4.1）與（4.2）的結果來看，我們說

即f(x)趨近於L，當x趨近於a。 至此，我們非常高興地看到此一不太明確但卻相當直觀的描述。事實上，在大部分的情況下，此種記號的表達方式均能滿足我們的需求。然而，於此小節中，我們將使其定義更加精確。為了達到此目的，讀者於此捷將看到數學分析（mathematical analysis）（數學中的一個分之領域，其中微積分為該分之中所必備的最基礎研究）如何運作。

極限例題

己知: (1) 求極限值 a>0 (2) 變數轉換: 令 ax=u , 因此, x=u/a , 且 x→0 等同於 u→0, (2) 式等同於 : 下式的極限值? a, b >0

己知: 求極限值: =? 分母,分子同乘 1+cos(t)

習題 1.2 17題 求極限值 (1).,及 (2) 己知: 由 (1), (2),可得:

習題 1.2 18題 己知: 極限值為 1x1=1

當 x→∞, 2/x, 1/x都趨於 0因此求極限值為 -2/(2+2)= - 0.5 習題 1.4 26題 因為: 上式分子化簡為: 分子,分母都除以x,得到: 當 x→∞, 2/x, 1/x都趨於 0因此求極限值為 -2/(2+2)= - 0.5

習題 1.4 35題 所以只需觀查 x趨於 0時, 的數值變化即可 取 x=10-20 =10-20x(-20) ～-0.00000000.. 因此,從此簡單的觀查可知極限值為 0

求極限值的幾個方法: 1.明顯的 “連續函數 “,直接代入函數值 2.分子,分母先 “消去”公同因式 3.分子,分母同乘共軛因式 ( conjugate Factor) ( A2-B2 )= (A+B) (A-B)

隨堂測驗 (1) 10月9日 習題 1.1 第 2, 6, 12,18 習題 1.2 第 4, 13, 16, 26 習題 1.3 第 7 習題 1.4 第 9, 13, 19, 20, 25, 32