二次函數 高士欽 林國源

函數是什麼？ 簡單的來說函數是一種關係，當我們給定一個自變數X值時，恰會存在一個應變數Y值與它對應。 例如班上同學的座號和姓名就是一種函數關係，當老師問說：「6號是誰？」時，同學會回答：「是王曉明」，老師如果又問：「那7號呢？」，同學又會回答說：「是李碧華」，像這樣每當老師給定一個「座號」時，就會恰好存在一個「姓名」與之對應的關係就稱為「函數」。

函數是什麼？ 而在數學上，我們一年級學過的一次函數也是一種函數，當我們給定一個X值等於5後，代入函數 會恰得到一個Y值7與它對應（Y＝2×5－3=7） 。 如果我們又重新給定一個X值為－5，一樣會恰存在一個Y值－13與它對應。像這樣給定一個自變數X值時，恰存在一個應變數Y值與它對應的關係我們就稱為函數。 其中由我們自己給定的X就稱為自變數，而對應產生的Y值就稱為應變數。

二次函數的意義 我們以前所學的一次函數中，如 ，因為函數中自變數x的最高次方為一次，所以我們稱之為一次函數，同樣的道理函數 中，自變數x的最高次方為二次，所以我們稱它為一個二次函數。

函數圖形的意義 函數圖形的意義是指將所有自變數x值及與它對應產生的y值，以數對（x，y）的方式標示在直角座標平面上，所構成的圖形。

函數圖形的意義 以一次函數 為例，當我們給定x值為0時，會得到一個y值－3與它對應，於是我們將這個結果以 （0，－3）的方式標示在直角座標平面上。 如果我們再給定另一個x值為1，一樣會得到一個y值－1與它對應，然後再以數對的形式，將（1，－1）標示在座標平面上。 如此下去將所有自變數x及應變數y，以數對（x，y）的方式標示在直角座標平面上，就會形成一次函數 的圖形。

函數圖形的意義 因為這樣的自變數和應變數會有無限多組，全部標示在座標平面上會沒有任何間斷地形成一條直線。 然而我們不可能將所有的點都標示出來，而且構成一條直線只需要兩個點，所以一般而言我們在求一次函數圖形時都僅標出兩點，然後將這兩點連成一直線，就是一次函數的圖形。

二次函數的圖形 二次函數圖形的作法和一次函數相同，必須將所有自變數x值及與它對應產生的y值，以數對 （x，y）的方式標示在直角座標平面上。 然而有一點不同的是二次函數的圖形並不是一條直線，那麼二次函數的圖形會是什麼呢？底下我們以最陽春的二次函數 為例，來做做看。

二次函數的圖形 Ex ：試繪出二次函數 的圖形 首先我們將滿足二次函數 的幾個解，列成下面的表 x －3 －2 －1 1 2 3 y 9 4 首先我們將滿足二次函數 的幾個解，列成下面的表 x －3 －2 －1 1 2 3 y 9 4 （x，y） （－3，9） （－2，4） (－1，1） （0，0） （1，1） （2，4） （3，9）

二次函數的圖形 然後再將這些解以數對的方式標在直角座標平面上會得到底下的圖形

二次函數的圖形 從圖形中我們會發現二次函數的圖形與一次函數的圖形不同，它比較像是一條曲線，然而畢竟我們只是找了七個可以滿足二次函數 的點，粗略地描繪了一下，並猜想它會是一條曲線，如果將所有滿足二次函數的點都描繪出來呢？它會不會真的如我們的猜想是一個曲線呢？

二次函數的圖形 要去把所有滿足二次函數 的點都描繪出來，事實上是不可能的，因為這樣的點會有無限多個，即使僅僅將其中的數百個找出來，也是一件曠日費時的工作。

二次函數的圖形 所幸因為科技的發展，讓這個在過去可能要花很多時間的工作，在現代只需要透過電腦軟體便可以輕鬆做到。 以Jmath軟體為例，只要在F(x)後方的空格中，輸入X^2（即 ），然後按下Enter鍵，電腦就會自動將其圖形畫出。

二次函數的圖形 因此我們可以確定的說二次函數 的圖形為一條曲線，而因為這條曲線的形狀很像是物體自拋出到落地後的行進路線（顛倒過來看）因此我們稱它為「拋物線」。

二次函數的圖形 現在讓我們再進一步來談談二次函數 圖形的幾項特徵。

二次函數的圖形 仔細檢視二次函數 的圖形（如下圖） 我們會發現它是一條左右對稱的平滑曲線，而且有一個最低點落在原點（0，0）上。

二次函數的圖形 首先，它的左右對稱是因為二次函數 有一個特色，就是不論我們給定自變數x值為＋3或－3，代入函數後，都會得到應變數y=9 。

二次函數的圖形 其次，最低點落在原點（0，0）是因為函數 本身的應變數y會等於自變數x的平方，而不論是正數或是負數平方後都會是正的（正正得正，負負得正），因此最小的應變數y值會出現在x＝0的時候，也就是y＝0，所以函數圖形才會有一個最低點（0，0），通常我們稱這個最低點（或最高點）為二次函數的頂點。

影響二次函數圖形的參數 a 從以上的課程中，我們可以知道二次函數的圖形會是一條拋物線，而關於拋物線的圖形可能有哪些變化，以下我們便透過一些例子來進一步探討。

影響二次函數圖形的參數 a Ex： 於同一座標平面上，分別繪製二次函數 和 的圖形 。

影響二次函數圖形的參數 a 首先我們先做 的圖形，將自變數 x 和 應變數 y 列表如下 x －3 －2 －1 1 2 3 y 18 8 1 2 3 y 18 8 （x，y） （－3，18） （－2，8） （－1，2） （0，0） （1，2） （2，8） （3，18）

影響二次函數圖形的參數 a 然後再將這些點標示在直角座標平面上，並以平滑曲線連接起來，便可以得到 的圖形。如下圖藍色曲線

影響二次函數圖形的參數 a 再來我們做 的圖形，將自變數 x 和 應變數 y 列表如下 x －3 －2 －1 1 2 3 y 18 8 1 2 3 y 18 8 （x，y） （-3，-18) （-2，-8） （-1，-2） （0，0） （1，-2） （2，-8） （3，-18)

影響二次函數圖形的參數 a 然後在將這些點標示在直角座標平面上，並以平滑曲線連接起來，便可以得到 的圖形。如下圖紅色曲線

影響二次函數圖形的參數 a 藍色曲線 紅色曲線

影響二次函數圖形的參數 a 觀察心得： 從 （藍色）和 （紅色）這兩個例子中，我們發現 項的係數，如果是正數，拋物線開口會朝上。 從 （藍色）和 （紅色）這兩個例子中，我們發現 項的係數，如果是正數，拋物線開口會朝上。 項的係數，如果是負數，拋物線開口會朝下。

影響二次函數圖形的參數 a Ex ：於同一座標平面上分別繪製二次函數 、 和 的圖形。 項的係數分別是 、 1 和 2。

影響二次函數圖形的參數 a 首先我們先做 的圖形，將自變數 x和應變數 y 列表如下 x －3 －2 －1 1 2 3 y (-3, ) 1 2 3 y （x，y） (-3, ) (－2，2) (-1, ) (0，0) (1, ) (2，2) (3, )

影響二次函數圖形的參數 a 然後再將這些點標示在直角座標平面上，並以平滑曲線連接起來，便可以得到 的圖形。如下圖紫色曲線

影響二次函數圖形的參數 a 再來我們做 的圖形，將自變數 x和應變數 y 列表如下 9 4 x －3 －2 －1 1 2 3 y 1 2 3 y 9 4 （x，y） (-3, 9 ) (－2，4) (-1, 1 ) (0，0) (1, 1 ) (2，4) (3, 9 )

影響二次函數圖形的參數 a 然後再將這些點標示在直角座標平面上，並以平滑曲線連接起來，便可以得到 的圖形。如下圖紅色曲線

影響二次函數圖形的參數 a 最後我們做 的圖形，將自變數 x 和應變數 y 列表如下 x －3 －2 －1 1 2 3 y 18 8 1 2 3 y 18 8 （x，y） (-3, 18 ) (－2，8) (-1, 2 ) (0，0) (1, 2 ) (2，8) (3, 18 )

影響二次函數圖形的參數 a 然後再將這些點標示在直角座標平面上，並以平滑曲線連接起來，便可以得到 的圖形。如下圖綠色曲線

影響二次函數圖形的參數 a 紫色曲線 紅色曲線 綠色曲線

影響二次函數圖形的參數 a 觀察心得： 從 （紫色）、 （紅色）和 （綠色）這三個例子中，我們發現 項的係數，如果越大（2＞1＞ ），拋物線開口會越小，相反地 項的係數越小（ ＜1＜2），拋物線開口會越大

影響二次函數圖形的參數 a 然而如果 項的係數如果是負的呢？ 這樣的結果是否依然會成立？

影響二次函數圖形的參數 a 我們如法炮製地畫了二次函數 、 和 的圖形，結果如下圖

影響二次函數圖形的參數 a 從圖中我們可以發現結果與剛剛的完全相反， 項的係數，如果越大（ ＞－1＞－2），拋物線開口也會越大，相反地 項的係數越小（－2＜－1＜ ），拋物線開口也會越小。

影響二次函數圖形的參數 a 為什麼會結果會完全相反呢？ 主要是因為數字的正負號一旦改變後，大小順序會剛好顛倒的關係 原來的三個二次函數 項係數是保持著 2＞1＞ 的關係，但是一旦全部掛上負號後，大小順序就會顛倒成 ＞－1＞－2

影響二次函數圖形的參數 a 為了配合這個現象，我們利用絕對值的特性，將觀察的結果修正為 項的係數的絕對值，如果越大，拋物線開口會越小。 項的係數的絕對值，如果越小，拋物線開口會越大。

影響二次函數圖形的參數 a 小結： 從例題2、3、4中我們可以得到一個結論 形態如 的二次函數圖形，有以下幾種特性 形態如 的二次函數圖形，有以下幾種特性 a為正數時，拋物線開口朝上。 a為負數時，拋物線開口朝下。 越大，拋物線開口越小。 越小，拋物線開口越大。

影響二次函數圖形的參數 k Ex 於同一座標平面上分別繪製二次函數 、 和 的圖形

影響二次函數圖形的參數 k 首先我們先做 的圖形，將自變數 x 和 應變數 y 列表如下 x －3 －2 －1 1 2 3 y －5 －6 1 2 3 y －5 －6 （x，y） (－3，3) (-2，-2) (-1，-5) (0，－6) (1，－5) (2，－2) (3，3)

影響二次函數圖形的參數 k 然後再將這些點標示在直角座標平面上，並以平滑曲線連接起來，便可以得到 的圖形。如下圖藍色曲線

影響二次函數圖形的參數 k 首先我們先做 的圖形，將自變數 x 和 應變數 y 列表如下 x －3 －2 －1 1 2 3 y 9 4 1 2 3 y 9 4 （x，y） (－3，9) (-2，4) (-1，1) (0，0) (1，1) (2，4) (3，9)

影響二次函數圖形的參數 k 然後再將這些點標示在直角座標平面上，並以平滑曲線連接起來，便可以得到 的圖形。如下圖紅色曲線

影響二次函數圖形的參數 k 首先我們先做 的圖形，將自變數 x 和 應變數 y 列表如下 x －3 －2 －1 1 2 3 y 15 10 1 2 3 y 15 10 7 6 （x，y） (－3，15) (-2，10) (-1，7) (0，6) (1，7) (2，10) (3，15)

影響二次函數圖形的參數 k 然後再將這些點標示在直角座標平面上，並以平滑曲線連接起來，便可以得到 的圖形。如下圖綠色曲線

影響二次函數圖形的參數 k 藍色曲線 紅色曲線 綠色曲線

影響二次函數圖形的參數 k 觀察心得： 我們發現如果以 （紅色曲線）的圖形為參考曲線，當函數值加上6後，得到一個新函數 ，而它的圖形（綠色曲線）會整個向正Y軸方向平移，觀察頂點的變化發現，頂點會由原來的(0，0) 向正Y軸方向平移6個單位到達(0，6)

影響二次函數圖形的參數 k 觀察心得： 而當函數值減去6後，得到另一個新函數 ，它的圖形（藍色曲線）會整個向負Y軸方向平移，觀察頂點的變化發現，頂點會由原來的(0，0) 向負Y軸方向平移6個單位到達(0，－6)。

影響二次函數圖形的參數 k 綜合上面的觀察，我們可以得到一個結論，以二次函數 為基準曲線，形式如 的二次曲線 小結： 綜合上面的觀察，我們可以得到一個結論，以二次函數 為基準曲線，形式如 的二次曲線 當k值為一正數時，拋物線圖形會整個向正Y軸移動k個單位 當k值為一負數時，拋物線圖形會整個向負Y軸移動k個單位 所以說k值決定了拋物線圖形垂直方向上的平移。

影響二次函數圖形的參數 h Ex ： 於同一座標平面上分別繪製二次函數 、 和 的圖形

影響二次函數圖形的參數 h 首先我們先做 的圖形，將自變數 x 和 應變數 y 列表如下 x 3 4 5 6 7 8 9 y 1 （x，y） （x，y） (3，9) (4，4) (5，1) (6，0) (7，1) (8，4) (9，9)

影響二次函數圖形的參數 h 然後再將這些點標示在直角座標平面上，並以平滑曲線連接起來，便可以得到 的圖形。如下圖藍色曲線

影響二次函數圖形的參數 h 首先我們先做 的圖形，將自變數 x 和 應變數 y 列表如下 x －3 －2 －1 1 2 3 y 9 4 1 2 3 y 9 4 （x，y） (－3，9) (-2，4) (-1，1) (0，0) (1，1) (2，4) (3，9)

影響二次函數圖形的參數 h 然後再將這些點標示在直角座標平面上，並以平滑曲線連接起來，便可以得到 的圖形。如下圖紅色曲線

影響二次函數圖形的參數 h 首先我們先做 的圖形，將自變數 x 和 應變數 y 列表如下 x -5 -6 -7 -4 -3 y 9 4 1 （x，y） (－5，9) (-6，4) (-7，1) (-6，0) (-5，1) (-4，4) (-3，9)

影響二次函數圖形的參數 h 然後再將這些點標示在直角座標平面上，並以平滑曲線連接起來，便可以得到 的圖形。如下圖綠色曲線

影響二次函數圖形的參數h 藍色曲線 紅色曲線 綠色曲線

影響二次函數圖形的參數 h 觀察心得： 我們發現如果以 （紅色曲線）的圖形為參考曲線，當函數中的x值減去6後，得到一個新函數 ，而它的圖形（藍色曲線）會整個向正X軸方向平移，觀察其頂點的變化發現，頂點會由原來的(0，0) 向正X軸方向平移6個單位到達(6，0)

影響二次函數圖形的參數 h 觀察心得： 而當函數中的x值加上6後，得到另一個新函數 ，它的圖形（綠色曲線）會整個向負X 軸方向平移，觀察其頂點的變化發現，頂點會由原來的(0，0) 向負X軸方向平移6個單位到達(－6，0)。

影響二次函數圖形的參數h 綜合上面的觀察，我們可以得到一個結論，以二次函數 為基準曲線，形式如 的二次曲線 小結： 綜合上面的觀察，我們可以得到一個結論，以二次函數 為基準曲線，形式如 的二次曲線 當h值為一正數時，拋物線圖形會整個向正x軸移動h個單位 當h值為一負數時，拋物線圖形會整個向負x軸移動h個單位 所以說h值決定了拋物線圖形水平方向上的平移。

影響二次函數圖形的參數(總結) 從上面的例子中，我們可以發現影響一個二次函數的參數，會有a、h、k三個，我們利用這三個參數將二次函數的通式寫成 的形式，並進一步整理從上面例子的探討中所得的結果如下：

h值為一負數時，拋物線圖形則會整個向負X軸移動個單位 影響二次函數圖形的參數(總結) 參數 a h k a為正數時，拋物線 開口朝上。 a為負數時，拋物線 開口朝下。 越大，拋物線 開口越小。 越小，拋物線 開口越大。 h值為一正數時，拋物線圖形會整個向正X軸移動h個單位 h值為一負數時，拋物線圖形則會整個向負X軸移動個單位 k值為一正數時，拋物線圖形會整個向正Y軸移動k個單位 k值為一負數時，拋物線圖形則會整個向負Y軸移動個單位 性質 a值決定了拋物線圖形開口的大小與朝上朝下。 h值決定了拋物線圖形 水平方向上的平移。 k值決定了拋物線圖形 垂直方向上的平移。 對圖形影響

影響二次函數圖形的參數(總結) 底下我們便舉幾個例子，對參數a、h、k做進一步的認識與驗證。

影響二次函數圖形的參數(總結) Ex: 描繪二次函數 的圖形並求此圖形的對稱軸、頂點座標及開口方向。 解: 從 a、h 和 k 值的觀察中，因為 a=3 所以我們知道拋物線圖形開口朝上，而 h=2 所以我們知道拋物線頂點水平方向上，向右平移 2 單位到達 (2，0)，而 k=5 所以我們知道拋物線頂點垂直方向，上向上平移 5 單 位，由原本的 (2，0) 到達 (2，5)，因此我們可以知道拋物線的圖形是開口朝上，頂點位於 (2，5)，並以 x=2 為對稱軸。下面我們便實際找出五個點並描繪其圖形，而為了利用拋物線圖形的對稱性，我們以頂點為中間點，並每次都以同樣距離向左、右各再找兩個點。

影響二次函數圖形的參數(總結) X 1 2 3 4 Y 17 8 5 （X,Y) （0,17) （1,8) （2,5) （3,8) 1 2 3 4 Y 17 8 5 （X,Y) （0,17) （1,8) （2,5) （3,8) （4,17)

影響二次函數圖形的參數(總結) Ex: 描繪二次函數 的圖形並求此圖形的對稱軸、頂點座標及開口方向。 解: 從 a、h 和 k 值的觀察中，因為 a= -3 所以我們知道拋物線圖形開口朝下，而 h= -2 【∵(x+2)=(x-(-2)) 】所以我們知道拋物線頂點水平方向上，向左平移 2 單位到達 (-2，0)，而 k= -1 所以我們知道拋物線頂點垂直方向上，向下平移 1 單 位，由原本的 (-2，0) 到達 (-2，-1)，因此我們可以知道拋物線的圖形是開口朝上，頂點位於 (-2，-1)，並以 x = -2 為對稱軸。下面我們便實際找出五個點並描繪其圖形，而為了利用拋物線圖形的對稱性，我們以頂點為中間點，並每次都以同樣距離向左、右各再找兩個點。

影響二次函數圖形的參數(總結) X -4 -3 -2 -1 Y -13 （X,Y) （-4,-13) （-3,-4) （-2,-1) Y -13 （X,Y) （-4,-13) （-3,-4) （-2,-1) （-1,-4) （0,-13)

二次函數 的圖形 對於形式如 的二次函數圖形，我們在上面的討論中，已經有初步的認識，然而一般我們常見的二次函數，如 或 ，都是形式如 的二次函數，那麼這一類的二次函數圖形又是如何繪製？

二次函數 的圖形 其實我們只要利用以前學過的配方法，將它變成 的形式就可以了。

二次函數 的圖形 以二次函數 為例。配方後便會得到 ，即開口朝上，頂點位於 （1，2），對稱軸為 的拋物線圖形，只要再找出數個點座標，便可描繪其圖形。我們再看一個例子 。

二次函數 的圖形 Ex ： 求二次函數 圖形的對稱軸、頂點座標及開口方向，並描繪其圖形。

二次函數 的圖形 首先，我們利用配方法將 配成完全平方式

二次函數 的圖形 如上，二次函數 經配方後便會變成 ，即開口朝上，頂點位於（3，－7），對稱軸為 的拋物線圖形，然後將自變數 x 和應變數y 列表如下 x 1 2 3 4 5 6 y 11 －5 （x，y） (0，11) (1，1) (2，－5) (3，0) (4，－5) (5，1) (6，11)

二次函數 的圖形 最後再將這些點，標示在直角座標平面上，並以平滑曲線連接起來，便可以得到 的圖形，如右圖。

二次函數的最大值與最小值 就如同我們之前所提的，函數的意義是；給定一個自變數 X 值時，恰會存在一個應變數 Y 與它對應，其中的自變數 X 是我們自己給定的，除非題目有另外的限制，要不然自變數可以是任何的實數，然而應變數 Y 呢？它會不會有任何的限制，底下我們要透過幾個例子的觀察，來探討應變數 Y 的限制。

二次函數的最大值與最小值 Ex:判斷二次函數 是否有最大值或最小值，並求其值。 解: 首先我們先描繪出二次函數 的圖形(如右圖)，在這個開口朝上的拋物 線圖形中，我們發現應變數Y是有限制的， 即函數並不會產生5以下的Y値，換句話 說Y最小到5，不會有小於5的Y值存在， 因此我們知道Y有最小值，且其値為5， 而這個最小值剛好發生在拋物線的頂點。

二次函數的最大值與最小值 Ex:判斷二次函數 是否有最大值或最小值，並求其值。 解: 首先我們先描繪出二次函數 的圖形(如右圖)，在這個開口朝下的拋物 線圖形中，我們發現應變數Y是有限制的， 即函數並不會產生 -3 以上的Y値，換句話 說Y最大到 -3，不會有大於 -3 的Y值存在， 因此我們知道Y有最大值，且其値為 -3， 而這個最大值剛好也發生在拋物線的頂點。

二次函數的最大值與最小值 從上面的例子中，我們發現不論是最大值或是最小值，都發生在頂點的位置，也就是頂點座標的Y值，往往都是函數的最大值或是最小值，而到底是最大值還是最小值，則和拋物線開口的方向有關，開口朝上的頂點是最低點，所以有最小值，而開口向下的頂點是最高點，所以有最大值。

應用問題 旅行社招攬兩天一夜旅行團，預定人數為30人，每人收費5000元，但達到30人後，每增加1人，則每人少收100元。請問應增加多少人，旅行社才能收到最多的錢，最多共可收到多少錢？

應用問題 解：設增加 x 人旅行社能收到最多的錢 ∴ 旅行社收到的錢Y＝（30+x） ×（5000-100x） ＝150000+5000x-3000x-100x2 ＝-100x2+2000x+150000 ＝-100(x2-20x+100)+10000+150000 ＝-100(x-10)2+160000 因為函數圖形開口朝下，所以有最大值，且其最大值發生在頂點（10,160000)，因此需增加10人，旅行社最多可收160000元

應用問題 小明拿了一條100公尺長的繩子要圈一個矩形的花圃，請問他所能圈出來的花圃，面積最大是多少？

應用問題 解：設矩形長為 x 公尺，寬為（50-x）公尺 ∴ 矩形面積 Y＝ x ×（50-x） ＝50x-x2 ＝-x2+50x 因為函數圖形開口朝下，所以有最大值，且其最大值發生在頂點（25,625)，因此矩形長為25公尺，寬也是25公尺，最大面積為625平方公尺。

座標平面上函數圖形交點的意義 函數圖形的意義是指，將所有自變數 x 值及與它對應產生的 y 值，以數對（x，y）的方式標示在直角座標平面上，所構成的圖形。 因此函數本身與其圖形之間存在著一個關係，就是「滿足函數關係的所有數對都會落在圖形上，而圖形上所有的點都會滿足函數關係」

座標平面上函數圖形交點的意義 以函數 為例，所有滿足函數的數對（x，y）會形成一條拋物線，而拋物線上所有的點都會滿足 的函數關係。底下我們便從這個觀點，來思考座標平面上，兩個函數圖形交點的意義。

座標平面上函數圖形交點的意義 直角座標平面上如果有兩個相交的函數圖形，如下圖

座標平面上函數圖形交點的意義 而藍色直線為函數 的圖形，圖形上所有的點都會滿足函數，因此P點也會滿足函數。 其中函數 的圖形為藍色直線，而函數 的圖形為紅色直線，兩個函數圖形相交於一點P，換句話說P點同時落在藍色直線和紅色直線上。 而藍色直線為函數 的圖形，圖形上所有的點都會滿足函數，因此P點也會滿足函數。

座標平面上函數圖形交點的意義 ，並解出 、 ， 寫成數對（3，6）剛好就是交點P的座標。 同樣的道理，紅色直線上所有的點都會滿足函數 ，而P點也在紅色直線上，所以P點也會滿足函數 ，因此P點會同時滿足 與 ，所以P點會是它們的共同解，因此我們可以寫出聯立方程式 ，並解出 、 ， 寫成數對（3，6）剛好就是交點P的座標。

座標平面上函數圖形交點的意義 結論 從上面的例子中我們可以發現，兩個函數圖形的交點座標其實就是兩個函數的共同解，簡單一點說，圖形上的共同點，就是函數的共同解。

二次函數圖形與 Y 軸的交點 從上面的討論中，我們對座標平面上圖形交點的意義，有了更深一層的認識，了解「圖形上的共同點，就是函數的共同解」的道理，現在我們利用這個認識來探討二次函數與Y軸的交點。

二次函數圖形與 Y 軸的交點 Ex: 求二次函數 y=2x2-x+3 與Y軸交點座標解: ∵ 圖形上的共同點，就是函數的共同解 ∴ 交點座標為聯立方程式 的解 將 式代入 式，得到 y=3 ∴ 二次函數與Y軸交點座標為（0,3） ① ② ② ①

二次函數圖形與 Y 軸的交點 Ex: 求二次函數 y=x2+2x-4 與Y軸交點座標解: ∵ 圖形上的共同點，就是函數的共同解 ∴ 交點座標為聯立方程式 的解 將 式代入 式，得到 y= -4 ∴ 二次函數與Y軸交點座標為（0, -4） ① ② ② ①

二次函數圖形與 Y 軸的交點 Ex: 求二次函數 y=3x2-2x 與Y軸交點座標 解: ∵ 圖形上的共同點，就是函數的共同解 解: ∵ 圖形上的共同點，就是函數的共同解 ∴ 交點座標為聯立方程式 的解 將 式代入 式，得到 y= 0 ∴ 二次函數與Y軸交點座標為（0, 0） ① ② ② ①

二次函數圖形與 Y 軸的交點 結論： 從上面的例子中，我們可以發現二次函數與Y軸的交點座標的 y 值，會剛好是二次函數中的常數項，如二次函數 與Y軸的交點座標會是（0，5），而二次函數 與Y軸的交點座標會是（0，－4），換句話說形如 的二次函數與Y軸交點座標會是（0，c），而當一個二次函數沒有常數項時（常數項為0），就代表其圖形通過原點（0，0）。

二次函數圖形與 X 軸的交點 從上面的討論，我們可以了解到二次函數與 X 軸的交點座標，就是二次函數與函數Y=0（即X軸）的共同解，讓我們來看看下面這幾個例子。

二次函數圖形與 X 軸的交點 Ex: 求二次函數 y=x2+2x-4 與X軸交點座標解: ∵ 圖形上的共同點，就是函數的共同解 ∴ 交點座標為聯立方程式 的解 將 式代入 式，得到 x2+2x-4= 0 ∴ ∴交點座標為（ ,0）和（ ,0） （圖形如後） ① ② ② ①

二次函數圖形與 X 軸的交點

二次函數圖形與 X 軸的交點 Ex: 求二次函數 y=x2-6x+9 與X軸交點座標解: ∵ 圖形上的共同點，就是函數的共同解 ∴ 交點座標為聯立方程式 的解 將 式代入 式，得到 x2 -6x+9= 0 ∴ ∴交點座標為（3,0） （圖形如後） ① ② ② ①

二次函數圖形與 X 軸的交點

二次函數圖形與 X 軸的交點 Ex: 求二次函數 y=2x2-3x+3 與X軸交點座標 解: ∵ 圖形上的共同點，就是函數的共同解 解: ∵ 圖形上的共同點，就是函數的共同解 ∴ 交點座標為聯立方程式 的解 將 式代入 式，得到 2x2 -3x+3= 0 ∴ （不存在） ∴二次函數和 X 軸沒有交點 （圖形如後） ① ② ② ①

二次函數圖形與 X 軸的交點

二次函數圖形與 X 軸的交點 深入探討 從上面三個例子中我們會發現，二次函數圖形不一定和X軸有交點，讓我們來深入探討一下這個問題，首先為了能夠對所有的二次函數都適用，我們利用二次函數的通式 來進行討論。

二次函數圖形與 X 軸的交點 假設我們要去求二次函數 的圖形和 X 軸（ ）的交點座標，因為函數圖形的交點座標，其實就是兩個函數的共同解，因此我們將兩個函數列成聯立方程式 ，並透過代入消去法得到方程式 ，然後利用配方法求出x的解，過程如下

二次函數圖形與 X 軸的交點

二次函數圖形與 X 軸的交點 從上面的過程中，我們可以得知一元二次方程式 的解為 ，但其中的 值得我們再仔細思考一下，為什麼呢？

二次函數圖形與 X 軸的交點 以方程式 為例，其中 a= 1、b= -2、c= 2，∴代入公式會得到 結果會得到一個不太尋常的數 ，根號裡面是 (－4) !？ 我們不禁懷疑根號裡面可以是負的嗎？讓我們回想一下什麼是 。

二次函數圖形與 X 軸的交點 平方根的定義說：「如果說 那麼我們就稱 b 為 a 的平方根，而每一個正數都有兩個平方根，一個為正，另一個為負，兩者互為相反數，我們以 表示正平方根，以 表示負平方根。」從定義我們了解每一個正數都有兩個平方根，那麼負數呢？

二次函數圖形與 X 軸的交點 以（－4）為例，依照平方根的定義來說，（－4）的平方根是指有一個實數 b，它的平方會等於（－4），也就是說 ，那麼有什麼數的平方會等於（－4）呢？

二次函數圖形與 X 軸的交點 首先我們考慮有哪些數的平方會是負的？在一番嘗試後，我們會發現沒有數的平方會是負的，因為實數除了0以外，其餘的不是正數就是負數，其中「正數」的平方會 正正得正 ，而「負數」的平方會 負負得正 ，所以不論是「正數」或是「負數」平方後都會是正的，換句話說實數平方後不可能為”負”。

二次函數圖形與 X 軸的交點 既然實數平方後不可能為負，那麼就不存在實數 b 使得 ，所以 並不存在，因此方程式 的解 並不存在。

二次函數圖形與 X 軸的交點 因此我們發現推導出來的公式，並不能適用所有的方程式，是公式有問題嗎？讓我們回到公式的證明仔細檢視一下這個公式的推導過程

二次函數圖形與 X 軸的交點 我們會發現證明中打（*）的那一個步驟，我們疏忽了一點， 裡面必須是正數或0，平方根的值才存在，也就是說 必須要為正數或是0，但其中分母的 必定為正數（ ），所以我們只要考慮分子部分的 就可以了。

二次函數圖形與 X 軸的交點 事實上， 的值有三種可能，它可能為”正 ”，可能為”負 ”也有可能是 0，根據這三種可能，我們可以歸納出以下的三種情況 情況一： ＞0 ，平方根 存在，所以方程式 會有兩相異實根，也就是 和 情況二： ＝0 ，平方根 =0，所以方程式 恰有一實根（或說是兩重根），也就是 （∵ ， ∴ ） 情況三： ＜0 ，平方根 不存在，所以方程式無解 （∵ 裡面必須是正的或0，平方根的值才存在）

二次函數圖形與 X 軸的交點 而因為我們可以透過 這個式子的值，來判別方程式 根的個數（ 2 個、 1 個或 0 個），所以我們稱這這個式子為判別式 ，通常以英文字母D來表示（D＝ ）。

二次函數圖形與 X 軸的交點 這個判別式應用在二次函數上，可以用來判別二次函數 與 X 軸（ ）的交點個數，其可能的情況有三種

二次函數圖形與 X 軸的交點 Ex:判斷二次函數 和 X 軸交點的個數，並寫出交點座標 解: ∵ 判別式 D= b2 - 4ac = 12 - 4×1×1 = -3 ＜ 0 (無解) ∴ 二次函數與 X 軸沒有交點

二次函數圖形與 X 軸的交點 Ex:判斷二次函數 和 X 軸交點的個數，並寫出交點座標 解: ∵ 判別式 D= b2 - 4ac = (-3)2 - 4×2×1 = 1 ＞ 0 (有兩相異實根) ∴ 二次函數與 X 軸有兩個交點

二次函數圖形與 X 軸的交點 Ex:判斷二次函數 和 X 軸交點的個數，並寫出交點座標 解: ∵ 判別式 D= b2 - 4ac = (-5)2 - 4×10× = 0 (恰有ㄧ實根) ∴ 二次函數與 X 軸恰有ㄧ個交點

二次函數圖形與 X 軸的交點 從上面的探討裡，我們可以知道判別式，可以用來判斷拋物線與X軸相交情形，而之前我們曾討論過的係數a、h和k，也可以用來判斷拋物線與 X 軸相交情形。 在二次函數的通式 中，a 可以決定拋物線開口方向，而拋物線頂點座標剛好會落在點( h , k )，利用這兩個訊息，便可以對拋物線圖形與X軸相交情形做初步的猜想。

二次函數圖形與 X 軸的交點 Ex:判斷二次函數 與X軸的交點個數。 解: 因為a= -2 ＜ 0，所以拋物線圖形開口朝下 且頂點座標( h , k )=( 3 , 2 )， 故我們可以猜想拋物線圖形可能 如右圖因此二次函數圖形與X軸 有兩個交點

二次函數圖形與 X 軸的交點 Ex:判斷二次函數 與X軸的交點個數。 解: 因為a= -1 ＜ 0，所以拋物線圖形開口朝下 且頂點座標( h , k )=( -3 , 0 )， 故我們可以猜想拋物線圖形可能 如右圖因此二次函數圖形與X軸 恰有一個交點

二次函數圖形與 X 軸的交點 Ex:判斷二次函數 與X軸的交點個數。 解: 因為a= 2 ＞ 0，所以拋物線圖形開口朝上 且頂點座標( h , k )=( 2 , 4 )， 故我們可以猜想拋物線圖形可能 如右圖因此二次函數圖形與X軸 沒有任何交點