e 关 于 数

关于 π π = 3.1415926… = 单位圆的半周长，圆周率

e= =2.7182818284590… 当物质以每年100%的速率增加时一年内增加的比例数 N(1)/N(0)=e

大通银行3月17日至4月15日活期存款结算清单 ================================================== Opening Balance 3147.80 Average Balance 3147.86 Deposits and Credits 6.60 Interest Paid for 30 Days 6.60 Withdraws and Debits 0.00 Annual Percentage Yield Earned 2.58% Ending Balance 3154.40 Interest Rate 03/17 to 04/15 at 2.55% Opening Balance 起始时刻（3月17日）帐面的结算款 $3147.8。 Ending Balance 最终时刻（4月15日）账面的结算款 $3154.40 Average Balance 30天平均账面结算款 $3147.86 Interest Paid for 30 Days 30天内银行支付的利息 $ 6.60。 Deposits and Credits 存入（利息）$6.60， Withdraws and Debits 取出 $0.00 Interest Rate 03/17 to 04/15 期间内的（年）利率2.55% Annual Percentage Yield Earned 年百分收益2.58%

年初存款N(0)=1万元，年利率为 r=0.05 活期存款 年底取出应为 N(1)=(1+r)N(0)=1.05万元

结帐单上给出从3月17日至4月15日这30天（一个月）期间内的年利率为2.55%， 起始时刻的存款数为 $3147.80， 因此在这一个月内的利息应该是 3147.8 ×2.55%/12=6.689 结帐单中所给出的 $6.60， 低于这个数 $0.089, 降低了1.35% 使用利息与本金的比值来计算利率可得 6.60/3147.80=0.002097=0.2097%， 折合年利率为0.2097%×12=2.516%， 也不是结帐单中所给出的2.55%。 为什么？

如果考虑到货币生息每个月都在发生 一年为12个月，假设每个月的时间是相等的。 每月结账 年利率r平均到每一个月时，月利率为 0.05/12=0.004167 每经过一个月的收益将为 1+0.004167=1.004167 一年下来，1万元将增加为 1.00416712=1.051166万元

如果考虑到货币的生息天天都在发生 假设一年为365天 每天结帐 5%的年利率平均到每一天时，日利率为 0.05/365=0.000137 每经过一天的收益将为 1+0.000137=1.000137万元 一年下来，1万元将增加为 1.000137365=1.051272752万元

如果考虑到货币的生息每小时都在发生 假设一年为365×24=8760小时 每小时结一次账 5%的年年利率平均到每一小时，每时利率为 0.05/8760=0.0000057076 每经过一小时的收益为 1+0.0000057076=1.0000057076万元 一年下来，1万元将增加为 1.00000570768760=1.051263924万元

如果用 r 表示货币的年利率 进一步细致地考虑货币的贬值的过程。 将一年细分成 n 个等分“天” 每一“天”的利率率为 r/n 每万元每一“天”收益为1+r/n 每万元每一年收益为 (1+r/n)n. 令x=r/n，则 n=r/x 上式可以写为 N(0)[(1+x)r/x]=N(0)[(1+x)1/x]r .

于是得到表达式 f(x)=(1+x)1/x 的变化过程是： 随着时间无限地分细，将有 于是得到表达式 f(x)=(1+x)1/x 的变化过程是： x 1 0.5 0.25 0.1 0.05 0.01 f(x) 2 2.25 2.44 2.59 2.65 2.705 x 0.005 0.001 0.0005 0.0001 0.00005 f(x) 2.7169 2.7176 2.718 2.7182 2.711 x 1×10-5 5×10-6 1×10-6 1×10-7 f(x) 2.71826 2.71827 2.71828 2.7182816 由此可得

再回到银行存款的存单的计算。 不同于货币贬值的问题， 银行的存款的数额是按利率所给出的百分率时时刻刻增加的。 因此在银行存入a0 = A万元，如果年利率为r， 经过n年结算时账面的结算款应该是 a(n) = A er n 对于大通银行的存单来说， 有本金A=$3147.8, 年利率r=2.55%=0.0255/年。 存期n=30天=30/365=0.08129年。

利用上面的公式可以得到 a(n) = A er n = 3147.8×e0.0255×0.08219 =3154.4 这就是结算单中所给出的最终时刻的账面款 30天得到的利息应该是 a(n) – A = 3154.4 -3147.8 = 6.60 刚好就是结算单中的利息数值。 如果这样一直续存一整年，应该得到百分收益 [a(1)-A]/A = er -1 = e0.0255-1=0.02582=2.582% 它就是储蓄存单中年百分收益的百分数 实际上就是一年存款的“利率”

由此可得 N(1)=N(0)er×1=N(0)e 由于实际问题中以百分速率变化的问题非常多。 因此形如 Aert 的模型应用非常广泛。 数值 e=2.71828 和数值 =3.1416 一样是一个非常重要的常数。