工程经济 四川广播电视大学　　何雅妮

第二章 资金时间价值与等值计算 本章提要 本章主要阐述了工程经济分析最基本的方法——资金时间价值分析。通过学习，应了解资本与利息的关系、利息与利率的关系，熟悉名义利率与实际利率之间的关系，掌握资金等值的概念、特点、决定因素，学会现金流量图的表达方式以及各种条件下资金等值的计算，能够运用等值原理对工程项目进行经济分析。

资金时间价值的含义 货币的作用体现在流通中，货币作为社会生产资金参与再生产的过程中即会得到增值、带来利润。 　　货币的作用体现在流通中，货币作为社会生产资金参与再生产的过程中即会得到增值、带来利润。 　　我们常说的“时间就是金钱”，是指资金在生产经营及其循环、周转过程中，随着时间的变化而产生的增值。

　　资金的时间价值，是指资金在生产和流通过程中随着时间推移而产生的增值。 　　资金的时间价值是商品经济中的普遍现象，资金之所以具有时间价值，概括地讲，是基于以下两个原因： 　　（1）从社会再生产的过程来讲，对于投资者或生产者，其当前拥有的资金能够立即用于投资并在将来获取利润，而将来才可取得的资金则无法用于当前的投资，因此也就无法得到相应的收益。 

　　（2）从流通的角度来讲，对于消费者或出资者，其拥有的资金一旦用于投资，就不能再用于消费。消费的推迟是一种福利损失，资金的时间价值体现了对牺牲现期消费的损失所应作出的必要补偿。

研究资金时间价值的意义 （1）资金时间价值是市场经济条件下的一个经济范畴。 　　（1）资金时间价值是市场经济条件下的一个经济范畴。 　　（2）重视资金时间价值可以促使建设资金合理利用，使有限的资金发挥更大的作用。 　　（3）随着我国加入WTO，市场将进一步开放，我国企业也要参与国际竞争，要用国际通行的项目管理模式与国际资本打交道。 　　总之，无论进行了什么样的经济活动，都必须认真考虑资金时间价值，千方百计缩短建设周期，加速资金周转，节省资金占用数量和时间，提高资金的经济效益。

2.1 利息、利率及其种类 衡量资金时间价值的尺度有两种：其一为绝对尺度，即利息、盈利或收益；其二为相对尺度，即利率、盈利率或收益率。 2.1 利息、利率及其种类 　　衡量资金时间价值的尺度有两种：其一为绝对尺度，即利息、盈利或收益；其二为相对尺度，即利率、盈利率或收益率。 　　利率和利润率都是表示原投资所能增加的百分数，因此往往用这两个量来作为衡量资金时间价值的相对尺度，并且经常两者不加区分，统称为利率。

（1）利息 　　在借贷过程中，债务人支付给债权人超过原借贷款金额（原借贷款金额常称作本金）的部分，就是利息。其计算公式为： 　　利息=目前应付（应收）的总金额-本金 　　从本质上看，利息是由贷款产生的利润的一种再分配。 　　在工程经济学中，利息是指占用资金所付出的代价或者是放弃现期消费所得的补偿。

（2）利率 　　利率就是单位时间内（如年、半年、季、月、周、日等）所得利息额与本金之比，通常用百分数表示。即： 　利率＝单位时间内所得的利息额/本金×100% 【例2.1】某人现借得本金2000元，1年后付息180元，则年利率是多少？ 【解】根据公式. 　　年利率＝180/2000×100%＝9%。

利率的高低由如下因素决定： ①利率的高低首先取决于社会平均利润的高低，并随之变动。 ②在平均利润率不变的情况下，利率高低取决于金融市场上的借款资本的供求情况。 ③借出资本要承担一定的风险，而风险的大小也影响利率的高低。 ④通货膨胀对利率的波动有直接影响。 ⑤借出资本的期限长短对利率也有重大影响。

单利与复利的计算 利息和利率是衡量资金时间价值的尺度，故计算资金的时间价值即是计算利息的方法。 　　利息和利率是衡量资金时间价值的尺度，故计算资金的时间价值即是计算利息的方法。 　　利息计算有单利和复利之分。当计息周期在一个以上时，就需要考虑“单利”与“复利”的问题。复利是相对单利而言的，是以单利为基础来进行计算的。

单利 　　所谓单利计算，是只对本金计算利息，而对每期的利息不再计息，从而每期的利息是固定不变的一种计算方法，即通常所说的“利不生利”的计息方法。 其利息计算公式如下： 　　　　In=P·i·n 而n期末的单利本利和F等于本金加上利息，即： 　　　　F=P(1+i·n) 在计算本利和F时，要注意式中n和i反映的时期要一致。

【例2.2】有一笔50 000元的借款，借期3年，按每年8%的单利率计息，试求到期时应归还的本利和。 【解】用单利法计算，其现金流量见图2.2所示。 　　根据公式（2.4）有： F＝P(1+i·n) ＝50 000×(1+8%×3) ＝62 000(元) 即到期应归还的本利和为62000元。 图2.2　采用单利法计算本利和

第n期期末复利本利和Fn的计算公式为： Fn=P(1+i)n 　　复利法是在单利法的基础上发展起来的，它克服了单利法存在的缺点，其基本思路是：将前一期的本金与利息之和（本利和）作为下一期的本金来计算下一期的利息,也即通常所说的“利上加利”、“利生利”、“利滚利”的方法。. 第n期期末复利本利和Fn的计算公式为：　　　　 Fn=P(1+i)n 　　公式的推导过程如下表所示。

F2=P(1+i)+P(1+i)·i=P(1+i)2 3 P(1+i)2 P(1+i)2·i 采用复利法计算本利和的推导过程 计息期数 期初本金 期末利息 期末本利和 1 P P·i F1=P+P·i=P(1+i) 2 P(1+i) P(1+i) ·i F2=P(1+i)+P(1+i)·i=P(1+i)2 3 P(1+i)2 P(1+i)2·i F3=P(1+i)2+P(1+i)2·i=P(1+i)3 … n-1 P(1+i)n-2 P(1+i)n-2·i Fn-1= P(1+i)n-2+P(1+i)n-2·i =P(1+i)n-1 n P(1+i)n-1 P(1+i)n-1·i Fn= P(1+i)n-1+P(1+i)n-1·i=P(1+i)n

【例2.3】在例2.2中，若年利率仍为8%，但按复利计算，则到期应归还的本利和是多少？ 【解】用复利法计算有：  Fn=P(1+i)n=50 000×(1+8%)3=62 985.60(元) 　与采用单利法计算的结果相比增加了985.60元，这个差额所反映的就是利息的资金时间价值。

2.2 现金流量图 现金流量的含义 　　在工程技术经济分析中，我们把项目视为一个系统，投入的资金、花费的成本、获得的收益，总可以看成是以资金形式体现的该系统的资金流出或流入。这种在项目整个寿命期内各时点上实际发生的资金流出或流入称为现金流量。 　　流出系统的资金称现金流出，流入系统的资金称现金流入，现金流入与现金流出之差称净现金流量。

现金流入量是指在整个计算期内所发生的实际现金流入，包括销售收入、固定资产报废时的残值收入以及项目结束时回收的流动资金。一般假设现金流入为正现金流量。 现金流出量是指在整个计算期内所发生的实际现金支出，包括企业投入的自有资金、销售税金及附加、总成本费用中以现金支付的部分、所得税、借款本金支付等。一般假设现金流出为负现金流量。 净现金流量是指现金流入量和现金流出量之差。流入量大于流出量时，其值为正，反之为负。

现金流量图

在画现金流量图时需要注意： ①水平箭线表示时间坐标，时间的推移从左到右。时间可以用计息期数标记，也可以用具体的日期标记。 ②垂直箭线表示现金流量的大小，箭头向上表示现金增加(流入)，箭头向下表示现金减少（流出）。 ③由于借方的现金流入就是贷方的现金流出，所以借贷双方的现金流量对于同一笔资金来说是相反的。

2.3 资金等值计算 2.3.1 资金等值的概念 “等值”是指在时间因素的作用下，在不同的时间点上绝对值不等的资金而具有相同的价值。 2.3 资金等值计算 2.3.1 资金等值的概念 　　“等值”是指在时间因素的作用下，在不同的时间点上绝对值不等的资金而具有相同的价值。 　　利用等值的概念，可以把在一个（或一系列）时间点发生的资金金额换算成另一个（或一系列）时间点的等值的资金金额，这样的一个转换过程就称为资金的等值计算。

　　资金等值的特点是，在利率大于零的条件下，资金的数额相等，发生的时间不同，其价值肯定不等；资金的数额不等，发生的时间也不同，其价值却可能相等。 　　决定资金等值的因素是： ①资金数额； ②金额发生的时间； ③利率。 　　

把将来某一时点的资金金额换算成现在时点的等值金额称为“折现”或“贴现”。 将来时点上的资金折现后的资金金额称“现值”。 与现值等价的将来某时点的资金金额称为“终值”或“将来值”。 一般地说，将t+k个时点上发生的资金折现到第t个时点，所得的等值金额就是第t+k个时点上资金金额在第t个时点上的现值。进行资金等值计算时使用的反映资金时间价值的参数叫折现率或贴现率。

2.3.2 计算资金时间价值的几个基本概念 (1) 利率（折现率）i 2.3.2 计算资金时间价值的几个基本概念 (1) 利率（折现率）i 　　在工程经济分析中，把根据未来的现金流量求现在的现金流量时所使用的利率称为折现率。本书中利率和折现率一般不加以区分，均用i来表示，并且i一般指年利率（年折现率）。 (2)计息次数n 　　计息次数是指投资项目从开始投入资金（开始建设）到项目的寿命周期终结为止的整个期限，计算利息的次数，通常以“年”为单位。

(3)现值P 现值表示资金发生在某一特定时间序列始点上的价值。在工程经济分析中，现值表示在现金流量图中0点的投资数额或投资项目的现金流量折算到0点时的价值。折现计算法是评价投资项目经济效果时经常采用的一种基本方法。 (4)终值F 终值表示资金发生在某一特定时间序列终点上的价值。其含义是指期初投入或产出的资金转换为计算期末的期终值，即期末本利和的价值。

(5)年金A 　　年金是指各年等额收入或支付的金额，通常以等额序列表示，即在某一特定时间序列期内，每隔相同时间收支的等额款项。 (6)等值 　　等值是指在特定利率条件下，在不同时点的两笔绝对值不相等的资金具有相同的价值。

2.3.3 资金等值计算的基本公式 2.3.3.1 一次支付系列公式 　　一次支付又称整付，是指所分析系统的现金流量，无论是流入还是流出均在某一个时点上一次发生。它又包括两个计算公式： （1）一次支付终值复利公式 　如果有一笔资金，按年利率i进行投资，n年后本利和应该是多少？也就是已知P，i，n，求终值F。解决此类问题的公式称为一次支付终值公式，其计算公式是： F=P(1+i)n

　　此公式表示在利率为i，计息期数为n的条件下，终值F和现值P之间的等值关系。 一次支付终值公式的现金流量图如图2.3所示。 　　在公式中，(1+i)n又称为终值系数，记为(F/P,i,n)。 　　这样，此公式又可写为： F=P(F/P,i,n) 

【例2.5】现在把500元存入银行，银行年利率为4%，计算3年后该笔资金的实际价值。 【解】这是一个已知现值求终值的问题，其现金流量图见图2.4所示。 　　　F=P(1+i)3=500×(1+4%)3=562.43(元) 　　即500元资金在年利率为4%时，经过3年后变为562.43元，增值62.43元。 这个问题也可以查复利系数表计算求解。从复利系数表查得：（F/P,4%,3)=1.1249 F=P(F/P,i,n)=P(F/P,4%,3)=500×1.1249=562.45（元）

（2）一次支付现值复利公式 　　如果我们希望在n年后得到一笔资金F，在年利率为i的情况下，现在应该投资多少？也即是已知F，i，n，求现值P。解决此类问题用到的公式称为一次支付现值公式，其计算公式为：　　 其现金流量图如图2.5所示。 在公式（2.10）中， 又称为现值系数，记为(P/F,i,n)，它与终值系数(F/P,i,n)互为倒数，可通过查表求得。因此，公式又可写为： 　　　　P=F(P/F,i,n)

【例2.6】某企业6年后需要一笔500万元的资金，以作为某项固定资产的更新款项，若已知年利率为8%，问现在应存入银行多少钱？ 【解】这是一个根据终值求现值的问题，其现金流量图见图2.6所示。  　　　　P=F(1+i)-n=500×(1+8%) -6=315.10(万元) 　　即现在应存入银行315.10万元。 也可以通过查表得：(P/F,8%,6)=0.6302 　P=F(P/F,i,n)=F(P/F,8%,6)=315.10（万元）

图2.3 一次支付终值公式现金流量图

图2.4 现金流量图

图2.5 一次支付现值公式现金流量图

图2.6 一次支付求现值现金流量图

2.3.3.2 等额支付类型 　　等额支付是指所分析的系统中现金流入与现金流出可在多个时间点上发生，而不是集中在某一个时间点，即形成一个序列现金流量，并且这个序列现金流量额的大小是相等的。它包括四个基本公式： （1）等额支付序列年金终值复利公式 　　其含义是：在一个时间序列中，在利率为i的情况下连续在每个计息期的期末支付一笔等额的资金A，求n年后由各年的本利和累计而成的终值F。也即已知A，i，n，求F。 　　其现金流量图如图2.7所示。

各期期末年金A相对于第n期期末的本利和可用表2.2表示。 F=A(1+i)n-1+A(1+i)n-2+A(1+i)n-3+…+A(1+i)+A 　　上式两边同时乘以（1+i）则有： F(1+i)=A(1+i)n+A(1+i)n-1+A(1+i)n-2+A(1+i)n-3+…+A(1+i) 　　后式减前式得： 　　F(1+i)-F=A(1+i)n-A 　　即： 也可以表示为：F=A(F/A,i,n)

【例2.7】某大型工程项目总投资10亿元，5年建成，每年末投资2亿元，年利率为7%，求5年末的实际累计总投资额。 【解】这是一个已知年金求终值的问题，其现金流量图见图2.8所示。 F=A (1+i)n-1/i=11.5(亿元) 此题表示若全部资金是贷款得来，需要支付1.5亿元的利息。

（2）偿债基金公式 　　其含义是：为了筹集未来n年后需要的一笔偿债资金，在利率为i的情况下，求每个计息期末应等额存储的金额。也即已知F，i，n，求A。类似于我们日常商业活动中的分期付款业务。. 其现金流量图如图2.9所示。  其计算公式 又可写为：A=F(A/F,i,n) 

【例2.8】某企业5年后需要一笔50万元的资金用于固定资产的更新改造，如果年利率为5%，问从现在开始该企业每年应存入银行多少钱？ 【解】这是一个已知终值求年金的问题，其现金流量图见图2.10所示。 　　 　　　A=Fi/[(1+i) n-1]=F(A/F,i,n) 　　　　　=50×(A/F,5%,5)=50×0.1810 　　　　　=9.05(万元) 　　即每年末应存入银行9.05万元。

（3）资金回收公式 　其含义是：期初一次投资数额为P，欲在n年内将投资全部收回，则在利率为i的情况下，求每年应等额回收的资金。也即已知P，i，n，求A。其现金流量图如图2.11所示。 　　资金回收公式可根据偿债基金公式和一次支付终值公式来推导，即： 　又可写为： 　　　　A=P(A/P,i,n) 

【例2.9】某项目投资100万元，计划在8年内全部收回投资，若已知年利率为8%，问该项目每年平均净收益至少应达到多少？ 【解】这是一个已知现值求年金的问题，其现金流量图见图2.12所示。 　　 　　　　A=Pi(1+i)n/[(1+i) n-1]=P(A/P,i,n) 　　　　　=100×0.174=17.40（万元） 　　即每年的平均净收益至少应达到17.40万元，才可以保证在8年内将投资全部收回

（4）年金现值公式 　　其含义是：在n年内每年等额收支一笔资金A，则在利率为i的情况下，求此等额年金收支的现值总额。也即已知A，i，n，求P。 其现金流量图如图2.13所示。 其计算公式可表示为： 　　又可写为：　P=A(P/A,i,n)

【例2.10】设立一项基金，计划在从现在开始的10年内，每年年末从基金中提取50万元，若已知年利率为10%，问现在应存入基金多少钱？ 【解】这是一个已知年金求现值的问题，其现金流量图见图2.14所示。 　　 　　　　P=[A (1+i)n-1]/[i(1+i)n]=A(P/A,i,n) 　　　　　=A(P/A,10%,10)=50×6.1446 　　　　　=307.23（万元）

图2.7 年金终值公式现金流量图

表2.2 普通年金复利终值计算表 期数 1 2 3 … n-1 n 每期末年金 A n期末年金终值 A(1+i)n-1 A(1+i)n-2 A(1+i)n-3 A(1+i)

图2.10 已知终值求年金现金流量图

图2.11 资金回收公式现金流量图

图2.12 已知现值求年金现金流量图

图2.13 年金现值公式现金流量图

图2.14 已知年金求现值现金流量图

2.3.3.4 公式应用中应注意的问题 　　(1) 方案的初始投资，假定发生在方案的寿命期初，即“零点”处；方案的经常性支出假定发生在计息期末。 　　(2) P是在计算期初开始发生（零时点），F在当前以后第n年年末发生，A是在考察期间各年年末发生。 　　(3) 利用公式进行资金的等值计算时，要充分利用现金流量图。现金流量图不仅可以清晰、准确地反映现金收支情况，而且有助于准确确定计息期数，使计算不致发生错误。 (4) 在进行等值计算时，如果现金流动期与计息期不同时，就需注意实际利率与名义利率的换算。

【例2.12】某项目采用分期付款的方式，连续5年每年末偿还银行借款150万元，如果银行借款年利率为8%，按季计息，问截至到第5年末，该项目累计还款的本利和是多少？ 【解】该项目还款的现金流量图如图2.16所示。 　　首先求出现金流动期的等效利率，也即实际年利率。根据公式（2.7），有： 　　　i=(1+r/c)c-1=8.24% 　　这样，原问题就转化为年利率为8.24%，年金为150万元，期限为5年，求终值的问题。

　　然后根据等额支付序列年金终值公式有： 　　　F=A(1+i)n-1/i=884.21(万元) 　　即该项目累计还款的本利和是884.21万元。

图2.16 按季计息年度支付的现金流量图

2.3.4 名义利率与实际利率 名义利率 　　所谓名义利率，是指按年计息的利率，即计息周期为一年的利率。它是以一年为计息基础，等于每一计息期的利率与每年的计息期数的乘积。 　　例如，每月存款月利率为3‰，则名义年利率为3.6%，即3‰×12个月/每年=3.6%。

实际利率 实际利率又称为有效利率，是把各种不同计息的利率换算成以年为计息期的利率。 　　实际利率又称为有效利率，是把各种不同计息的利率换算成以年为计息期的利率。 　　例如，每月存款月利率为3‰，则有效年利率为3.66%，即（1+3‰）12-1=3.66%。 　　需要注意的是，在资金的等值计算公式中所使用的利率都是指实际利率。当然，如果计息期为一年，则名义利率就是实际年利率，因此可以说两者之间的差异主要取决于实际计息期与名义计息期的差异。

名义利率与实际利率的应用 设名义利率为r，一年中计息期数为c，则每一个计息期的利率为r/c。若年初借款P元，一年后本利和为： 　　　　F＝P(1+r/c)c 　　其中，本金P的年利息I为 　　　　I＝F-P=P(1+r/c)c-P 　　根据利率定义可知，利率等于利息与本金之比。当名义利率为r时，实际利率为： 　　　　i=I/P=(F-P)/P=[P(1+r/c) c-P]/P 　　所以i=(1+r/c)c-1

【例2.4】某厂向外商订购设备，有两家银行可以提供贷款，甲银行年利率为8%，按月计息；乙银行年利率为9%，按半年计息，均为复利计算。试比较哪家银行贷款条件优越？ 【解】企业应当选择具有较低实际利率的银行贷款。 　　分别计算甲、乙银行的实际利率： 　　　i甲＝(1+r/c)c-1=(1+8%/12)12-1＝0.0830＝8.30% 　　　i乙=(1+r/c)c-1=(1+9%/2)2-1=0.0920=9.20% 由于i甲＜i乙，故企业应选择向甲银行贷款。

　从上例可以看出，名义利率与实际利率存在下列关系： 　　（1）当实际计息周期为1年时，名义利率与实际利率相等；实际计息周期短于1年时，实际利率大于名义利率。 　　（2）名义利率不能完全反映资金的时间价值，实际利率才真实地反映了资金的时间价值。 　　（3）实际计息周期相对越短，实际利率与名义利率的差值就越大。