微積分 精華版 Essential Calculus 第 4 章 積分

4.1 反導數和不定積分 4.2 面積 4.3 黎曼和與定積分 4.4 微積分基本定理 4.5 變數代換法求不定積分 4.6 數值積分 4.7 自然對數函數：積分 4.8 反三角函數：積分

F1(x) = x3，F2(x) = x3 – 5 和 F3(x) = x3 + 97 4.1 反導數和不定積分 反導數的定義 如果在區間 I 上，F'(x) = f (x) 恆成立，我們就稱函數 F 是函 數 f 在 I 上的一個反導數（antiderivative）。 注意 F 只是 f 諸多反導數中的一個，而非全體，所以我們 不說 F 是 f 的反導數，而要說 F 是 f 的反導數之一。為何如 此呢？因為 F1(x) = x3，F2(x) = x3 – 5 和 F3(x) = x3 + 97 都是 f (x) = 3x2 的反導數。實際上，對任何的一個常數 C， F(x) = x3 + C 都是 f 的反導數。 p.165

G(x) = F(x) + C 在 I 上恆成立，式中 C 是一個常數 定理 4.1 反導數的表示法 如果 F 是區間 I 上函數 f 的一個反導數，那麼函數 G 也是I 上 f 的一個反導數的充要條件是 G(x) = F(x) + C 在 I 上恆成立，式中 C 是一個常數 利用定理 4.1，我們可以將任意常數加到一個已知的反導數來得到所有可能的反導數。 一個 x 和 y 的微分方程（differential equation）是一個牽涉 到變量 x，y 和 y 的導函數的方程式。 p.165

例 1 解微分方程 求微分方程 y' = 2 的通解。 解 先找一個導函數是 2 的函數，一個可能是 y = 2x 2x 是 2 的反導數 例 1 解微分方程 求微分方程 y' = 2 的通解。 解 先找一個導函數是 2 的函數，一個可能是 y = 2x 2x 是 2 的反導數 再利用定理 4.1 得知微分方程的通解是 y = 2x + C 通解 圖 4.1 給出三個 y = 2x + C 的函數圖形。 p.166

在不同的常數 C 時，函數 y = 2x + C 的圖形。 圖 4.1 在不同的常數 C 時，函數 y = 2x + C 的圖形。 p.166

在解形如 dy/dx = f(x) 的微分方程時，習慣上會把它改寫為 dy = f (x)dx。求出上式所有解的運算方法稱為反微分 反導數的記號 在解形如 dy/dx = f(x) 的微分方程時，習慣上會把它改寫為 dy = f (x)dx。求出上式所有解的運算方法稱為反微分 （antidifferentiation）或不定積分（indefinite integration）， 並以積分記號∫表示。 式子∫f (x)dx 讀作 f 對 x 的反導數。式中，微分 dx 用來確認 積分變數是 x，不定積分（indefinite integral）一詞則是反導 數的同義字。 p.166

從積分與微分互逆的本質，可以重寫不定積分的定義如下： 並且，如果∫f (x)dx = F(x) + C，當然有 p.167

p.167

p.168

例 2 應用基本積分規則 試求 3x 的反導數。 解　 因此，3x 的反導數是　　　　，其中 C 是任意常數。 p.168

例 3 進行積分之前的改寫工作 p.168

例 4 多項式函數的不定積分 p.169

例 5 積分之前先行改寫 p.169

例 6 積分之前先行改寫 p.170

初始條件和特解 在積分的應用中，通常會根據足夠的訊息來決定一個特解（particular solution）。其實，也只需要知道 y = F(x) 在一特定 x 的值（此訊息稱為初始條件（initial condition）。 p.170

滿足初始條件 F(2) = 4 的特解是 F(x) = x3 – x – 2。 圖 4.2 滿足初始條件 F(2) = 4 的特解是 F(x) = x3 – x – 2。 p.170

例 7 求一個特解 求 F'(x) = ex 的通解，並求滿足初始條件 F(0) = 3 的特解。 解 先以積分求得通解 例 7 求一個特解 求 F'(x) = ex 的通解，並求滿足初始條件 F(0) = 3 的特解。 解 先以積分求得通解 以初始條件 F(0) = 3 ，解 C 如下 F(0) = e0 + C 3 = 1 + C → 2 = C 如圖 4.3 所示，特解是 p.170

滿足初始條件 F(0) = 3 的特解是 F(x) = ex + 2。 圖 4.3 滿足初始條件 F(0) = 3 的特解是 F(x) = ex + 2。 p.171

例 8 解鉛直運動 以初速 64 呎∕秒從高度 80 呎處將一球向上擲出（圖4.4）。 a. 求時間 t 時的高度函數。 b. 球何時落地？ 例 8 解鉛直運動 以初速 64 呎∕秒從高度 80 呎處將一球向上擲出（圖4.4）。 a. 求時間 t 時的高度函數。 b. 球何時落地？ 解 a. 以 t = 0 表初始時間，兩個初始條件分別是 以重力加速度 –32 呎∕秒2，寫下 p.171

再以初始速度代入，得到 s'(0) = 64 = –32(0) + C1，亦即 C1 = 64，然後，再積分 s' (t) 得出 代入初始高度 80 呎，得出 s(0) = 80 = –16(02) + 64(0) + C2 因此 C2 = 80。所以，高度函數是 p.171

圖 4.4 球在 t 時刻的高度。 p.171

b.由 (a) 的結果，令 s(t) = 0 來解球落地的時間。 s(t) = –16t2 + 64t + 80 = 0 p.171

4.2 面積 Σ符號 a1，a2，a3，…，an，n 項的和記成 4.2 面積 Σ符號 a1，a2，a3，…，an，n 項的和記成 其中 i 是求和時一般項的序號（index of summation），ai 是 求和的第 i 項（ith term），1 和 n 分別是求和的頭、尾項序 號（upper and lower bounds of summation）。 p.174

例 1 使用Σ符號舉例 (a) 和(b) 顯示同一個和可以Σ符號作不同的表示。 p.174

定理 4.2 求和公式 p.174

例 2 求和 對 n = 10，100，1000 和 10,000，求 。 解 利用定理 4.2，得出 例 2 求和 對 n = 10，100，1000 和 10,000，求 。 解　利用定理 4.2，得出 再將 n 的值分別代入，答案如下表所示。 p.175

p.175

面積 在歐幾里德幾何學中，最簡單的平面區域是長方形。雖然一般都說長方形的面積公式是長乘以寬 A = bh（圖 4.5），而實際上這個公式應該稱為長方形面積（area of a rectangle）的定義。 從這個定義出發，我們可以得到許多其他平面區域的面積。 譬如，三角形的面積可以從長方形面積之半得出（圖4.6）。 一旦得出三角形的面積公式，任意多邊形的面積就可藉著 分割成三角形來求得（圖 4.7）。 p.175

圖 4.5 長方形：A = bh。 p.175

圖 4.6 三角形：A = ½ bh。 p.175

圖 4.7 p.175

圖 4.8 以窮盡法求圓域的面積。 p.176

例 3 平面區域面積的近似值 圖 4.9(a) 和 (b) 分別以兩組長方形來近似介於 f (x) = –x2 + 5 例 3 平面區域面積的近似值 圖 4.9(a) 和 (b) 分別以兩組長方形來近似介於 f (x) = –x2 + 5 圖形之下、x 軸之上，從 x = 0 到 x = 2 的面積。 解　 a. 五個小區間右邊的端點分別是 2/5 i，i = 1，2，3，4，5。每一個長方形底的寬度都是 2/5，高度由 f 在每一個小區間右邊的端點代值決定。 p.176

因為每一個長方形都落在拋物線區域的內部，可知拋物線區 域的面積一定大於 6.48。 這五個長方形的面積和是 因為每一個長方形都落在拋物線區域的內部，可知拋物線區 域的面積一定大於 6.48。 p.176

圖 4.9 p.176

因為拋物線區域落在五個長方形區域的聯集中，可知拋物線 區域的面積一定小於 8.08。 結論：6.48 ＜ 拋物線區域面積＜ 8.08。 b. 五個小區間左邊的端點是 2/5(i – 1)，i = 1，2，3，4，5。每一個長方形底的寬度都是 2/5，高度由 f 在每一個小區間左邊的端點代值決定。 因為拋物線區域落在五個長方形區域的聯集中，可知拋物線 區域的面積一定小於 8.08。 結論：6.48 ＜ 拋物線區域面積＜ 8.08。 p.177

因為 f 連續，極值定理保證 f (x) 在每一個子區間上都有極小值和極大值。 上和與下和 有一個平面上的區域以 x 軸為下界，以一個非負連續的函數 y = f (x) 的圖形為上界，左、右兩邊則以鉛直線 x = a 和 x = b 為界。 先將區間(a, b) 等分為 n 個子區間，每一個子區間的寬度都是 Δx = (b – a)/n，現在要求此區域面積的近似值。這些子區間的端點分別是 因為 f 連續，極值定理保證 f (x) 在每一個子區間上都有極小值和極大值。 p.177

圖 4.10 曲線下方的區域。 p.177

將區間 [a, b] 等分為 n 個子區間，寬度是 。 圖 4.11 將區間 [a, b] 等分為 n 個子區間，寬度是 。 p.177

f (mi) = f (x) 在第 i 個子區間上的極小值 f (Mi) = f (x) 在第 i 個子區間上的極大值 我們稱一個落在第 i 個子區域中的長方形為內接長方形（inscribed rectangle），而稱一個完全覆蓋第 i 個子區域的長方形為外接長方形（circumscribed rectangle）。將第 i 個內接長方形的高度取成 f (mi)，而將第 i 個外接長方形的高度取成 f (Mi)，我們有下列的不等式關係 上述 n 個內接長方形的面積和稱為一個下和（lower sum）， 上述 n 個外接長方形的面積和稱為一個上和（upper sum）。 p.177

圖 4.12 p.178

例 4 求區域的上和與下和 求下方以 x 軸，上方以 f (x) = x2 的圖形，左右以 x = 0 和 x = 例 4 求區域的上和與下和 求下方以 x 軸，上方以 f (x) = x2 的圖形，左右以 x = 0 和 x = 2 為界的區域的上和與下和。 解 先將 [0, 2] 等分割為 n 個子區間，每一個取的寬度是 圖 4.13 顯示出一些子區間的端點和一些內接、外接的長方 形。因為 f 在 [0, 2] 上遞增，所以在每一個子區間上的極小 值一定發生在左端點，極大值一定發生在右端點。 p.178

以左端點取值為內接長方形的高，得到下和 p.178

圖 4.13 p.178

以右端點取值為外接長方形的高，得到上和 p.179

定理 4.3 下和與上和的極限 假設 f 非負並且在區間 [a, b] 上連續。則當 n →∞時，下和與上和的極限各自都會存在並且彼此相等，也就是說 式中Δx = (b – a)/n，f (mi) 和 f (Mi) 分別是 f 在子區間上的 極小值和極大值。 p.179

反曲點的定義 假設 f 是一個非負並且在 [a, b] 上連續的函數，則以 f 的圖 形、x 軸、鉛直線 x = a 和 x = b 為界的區域面積是 式中 Δx = (b – a)/n（圖 4.14）。 p.180

第 i 個子區間的寬度是Δx = xi – xi – 1。 圖 4.14 第 i 個子區間的寬度是Δx = xi – xi – 1。 p.180

例 5 以極限的方式定義面積並計算答案 求以 f (x) = x3 的圖形為上界，x 軸為下界，左、右以鉛直線 例 5 以極限的方式定義面積並計算答案 求以 f (x) = x3 的圖形為上界，x 軸為下界，左、右以鉛直線 x = 0 和 x = 1 為界的區域面積（圖 4.15）。 解 注意到 f 是在區間 [0, 1] 上非負並且連續的函數，現將 區間 [0, 1] 分割成 n 個子區間，每一個子區間的寬度是Δx = 1/ n。照面積定義，可在第 i 個子區間上選擇任意的 x 值。 在此例裡，為方便起見不妨選擇 ci = i/n。 p.180

由此可知，區域的面積是 ¼。 p.180

以 f 的圖形、x 軸、x = 0 和 x = 1 為界的區域面積是 ¼。 圖 4.15 以 f 的圖形、x 軸、x = 0 和 x = 1 為界的區域面積是 ¼。 p.180

例 6 以極限的方式定義面積並計算答案 求以 f (x) = 4 – x2 的圖形，x 軸，鉛直線 x = 1 和 x = 2 為界的 例 6 以極限的方式定義面積並計算答案 求以 f (x) = 4 – x2 的圖形，x 軸，鉛直線 x = 1 和 x = 2 為界的 區域面積（圖 4.16）。 解　函數 f 在區間 [1, 2] 上非負並且連續，現將區間分割成 n 個子區間，每一個的長度都是Δx = 1/n，選擇每一個子區間 的右端點 根據面積求和公式，得出 p.180

故區域的面積是 5/3。 p.180

以 f 的圖形、x 軸、x = 1 和 x = 2 為界的區域面積是 5/3。 圖 4.16 以 f 的圖形、x 軸、x = 1 和 x = 2 為界的區域面積是 5/3。 p.180

例 7 以 y 軸為界的例子 求以 f (y) = y2 圖形和 y 軸為界的區域面積，y 的範圍限制在 方法，先把 [0, 1] 分割成 n 個子區間，每一個子區間的寬度 都是Δy = 1/n，然後，取第 i 個子區間上端的端點 ci = i/n， 得到 p.181

故區域的面積是 1/3。 p.181

以 f 的圖形、y 軸為界，y 的範圍限制在 0 ≤ y ≤ 1 的區域面積是 1/3。 圖 4.17 以 f 的圖形、y 軸為界，y 的範圍限制在 0 ≤ y ≤ 1 的區域面積是 1/3。 p.181

4.3 黎曼和與定積分 黎曼和的定義 f 是一個定義在閉區間 [a, b] 上的函數，Δ是 [a, b] 的一個分 4.3 黎曼和與定積分 黎曼和的定義 f 是一個定義在閉區間 [a, b] 上的函數，Δ是 [a, b] 的一個分 割，相應的端點是 a = x0 < x1 < x2…< xn – 1 < xn = b，Δxi 是第 i 個子區間的寬度，如果 ci 是第 i 個子區上的任一點，則稱 下面的和 為 f 對應於分割的一個黎曼和（Riemann sum）。 p.183

例 1 分割成寬度不等的子區間 在圖 4.18 中，有一區域介於 的圖形和 x 軸之間， 0 ≤ x ≤ 1，計算極限 例 1 分割成寬度不等的子區間 在圖 4.18 中，有一區域介於 的圖形和 x 軸之間， 0 ≤ x ≤ 1，計算極限 式中 ci 代表分割子區間右邊的端點 ci = i2/n2，而Δxi 是指該 子區間的寬度。 解 第 i 個子區間的寬度是 p.183

所以極限是 p.183

圖 4.18 子區間的寬度不等。 p.183

介於 x = y2 圖形和 y 軸之間，0 ≤ y ≤ 1 區域的面積 是 1/3。 圖 4.19 介於 x = y2 圖形和 y 軸之間，0 ≤ y ≤ 1 區域的面積 是 1/3。 p.183

分割Δ中，諸子區間中最大的寬度稱為分割Δ的範數（norm），以 ||Δ|| 表示。如果每一個子區間都等寬，我們就稱它是一個正規（regular）分割，此時範數就是 p.184

圖 4.20 n → ∞不能推得 ||Δ|| → 0。 p.184

定積分的定義 如果 f 是定義在閉區間 [a, b] 上的函數，並且極限 存在，則稱 f 在 [a, b] 上可積（分）（integrable）。我們將 上述極限記成 此一極限稱為從 a 到 b，f 的定積分（definite integral）。a 稱 為積分的下限（lower limit），b 稱為積分的上限（upper limit）。 p.184

定理 4.4 連續性可以推得可積性 如果 f 在閉區間 [a, b] 上連續，則 f 在 [a, b] 上可積分。 p.185

例 2 以求極限的方式來計算定積分 計算定積分 。 解 因為函數 f (x) = 2x 在區間 [–2, 1] 上連續，所以 f (x) 在 例 2 以求極限的方式來計算定積分 計算定積分 。 解　因為函數 f (x) = 2x 在區間 [–2, 1] 上連續，所以 f (x) 在 區間 [–2, 1] 上可積，由此可進一步瞭解到在可積分的定義中 要求任一組範數趨近於 0 的分割都可以用來決定極限。為了 計算方便，將Δ定為分割 [–2, 1] 成 n 個等寬度的子區間。 選取每一個子區間的右端點為 ci，得到 p.185

計算定積分如下 p.185

圖 4.21 負的定積分不能代表上述區域的面積。 p.185

定理 4.5 定積分和區域的面積 假設函數 f 在閉區間 [a, b] 上是非負並且連續，則以 f 的圖形，x 軸，鉛直線 x = a 和 x = b 為界的區域面積是 p.185

f 的圖形之下，x 軸之上，x = a 和 x = b 之間的區 域面積可由定積分求出。 圖 4.22 f 的圖形之下，x 軸之上，x = a 和 x = b 之間的區 域面積可由定積分求出。 p.186

圖 4.23 p.186

例 3 常見幾何圖形的面積 請畫出各個定積分所對應的區域，並以幾何公式求定積分。 解 圖 4.24 畫出各個區域。 例 3 常見幾何圖形的面積 請畫出各個定積分所對應的區域，並以幾何公式求定積分。 解　圖 4.24 畫出各個區域。 a. 區域是一個寬為 2，高為 4 的長方形。 b. 區域是一個高為 3，上底為 2，下底為 5 的梯形。梯形的面積公式是 ½h (b1 + b2)。 p.186

c. 區域是一個半徑為 2 的半圓形，其面積等於 ½πr2。 圖 4.24 p.186

定義兩類特殊的定積分 p.187

例 4 計算定積分 a. 因為正弦函數在 x =π有定義，因此我們有 b. 積分 與例 3(b) 的不同只是上、下限顛倒。由 於 所以我們有 例 4 計算定積分 a. 因為正弦函數在 x =π有定義，因此我們有 b. 積分 與例 3(b) 的不同只是上、下限顛倒。由 於 所以我們有 在圖 4.25 中，大的區域可以在 c 點分成左、右兩個部分區 域，其交集只是一條線段。由於線段的面積為 0，因此大區 域的面積會等於兩個部分區域面積之和。 p.187

圖 4.25 p.187

定理 4.6 區間可加性 如果 f 在三個被端點 a，b，c 所決定的閉區間上可積，則 p.187

例 5 區間可加性的應用 p.187

定理 4.7 定積分的性質 如果 f 和 g 在 [a, b] 上可積，k 是一個常數，則 k f 和 f ± g 在 [a, b] 上也同樣可積，並且有 p.188

例 6 計算定積分 p.188

圖 4.26 p.188

定理 4.8 不等關係的保留 1. 如果 f 在閉區間 [a, b] 上非負並且可積，則 定理 4.8 不等關係的保留 1. 如果 f 在閉區間 [a, b] 上非負並且可積，則 2. 如果 f 和 g 在閉區間 [a, b] 上可積，並且 f (x) ≤ g(x) 在 [a, b] 上處處成立，則 p.188

4.4 微積分基本定理 微積分基本定理（Fundamental Theorem of Calculus）說明微分和積分這兩個操作是互逆的，就好像除法和乘法是互逆的運算一樣。當我們定義切線的斜率時，用了Δy /Δx 這樣的商（代表割線的斜率）。同樣的，當我們定義曲線下所覆蓋的面積時，用了Δy /Δx 這樣的積（長方形的面積），至於在一個初步近似的層面看來，微分和定積分的操作有如除法和乘法一般互逆的關係。微積分基本定理說明在極限過程之中，依然保持互逆的關係。 p.190

圖 4.27 微分和定積分有互逆的關係。 p.190

定理 4.9 微積分基本定理 如果 f 在閉區間 [a, b] 上連續，並設 F 是 f 在區間 [a, b] 上的反導數，則 p.190

1. 如果知道 f 的反導數，就可以避開求和的極限而直接計算定積分。 2. 使用微積分基本定理的時候，下列符號相當方便。 應用微積分基本定理的指導原則 1. 如果知道 f 的反導數，就可以避開求和的極限而直接計算定積分。 2. 使用微積分基本定理的時候，下列符號相當方便。 例如，在計算 的時候，可以寫成 3. 不須寫出不定積分的常數 C，因為它會自動消去。 p.191

例 1 計算定積分 計算下列各定積分。 解 p.191

例 2 帶絕對值函數的定積分 計算 。 解 由圖 4.28 和絕對值的定義，先將 |2x – 1| 重寫如下。 因此，可以將積分寫成兩項。 例 2 帶絕對值函數的定積分 計算 。 解　由圖 4.28 和絕對值的定義，先將 |2x – 1| 重寫如下。 因此，可以將積分寫成兩項。 p.192

圖 4.28 在 [0, 2] 上 y 的定積分是 5/2。 p.192

例 3 利用微積分基本定理求面積 求以 y = 1/x 的圖形、x 軸、x = 1 和 x = e 為界區域的面積 （圖 4.29）。 例 3 利用微積分基本定理求面積 求以 y = 1/x 的圖形、x 軸、x = 1 和 x = e 為界區域的面積 （圖 4.29）。 解　因為 y 在區間 [1, e] 上為正，因此 p.192

以圖形 y = 1/x、x 軸、x = 1 和 x = e 為界區域的面積是 1。 圖 4.29 以圖形 y = 1/x、x 軸、x = 1 和 x = e 為界區域的面積是 1。 p.192

定理 4.10 積分的均值定理 如果 f 在閉區間 [a, b] 上連續，則在 [a, b] 中必存在一點 c 使得 定理 4.10 積分的均值定理 如果 f 在閉區間 [a, b] 上連續，則在 [a, b] 中必存在一點 c 使得 注意 定理 4.10 只是保證在區間中至少存在一點 c 合於所 求，但是並沒有說明如何求出 c 來。 p.193

圖 4.30 均值長方形： p.193

圖 4.31 p.193

區間上函數平均值的定義 如果 f 在閉區間 [a, b] 上可積分，則定 f 在 [a, b] 上的平均值 （average value）為 （見圖 4.32）。 注意 在圖 4.32 中，圖形 f 所覆蓋的面積與高度是 f 平均值 的長方形面積相等。 p.194

圖 4.32 平均值 = p.194

例 4 求函數的平均值 求 f (x) = 3x2 – 2x 在區間 [1, 4] 上的平均值。 解 p.194

圖 4.33 p.194 第 1 章 極限及其性質

例 5 聲速 在不同高度的大氣層中，聲音傳播速率亦不同。若以 x 表高 度（單位公里），則音速 s(x) 的公式如下（單位公尺∕秒） 例 5 聲速 在不同高度的大氣層中，聲音傳播速率亦不同。若以 x 表高 度（單位公里），則音速 s(x) 的公式如下（單位公尺∕秒） 請問在高度區間 [0, 80] 的平均音速為何？ 解　將 s(x) 在 [0, 80] 上積分，由於 s(x) 的特殊表示，積分要 分成五個部分。 p.194

把五個答案加起來再除以 80 得到 p.195

圖 4.34 p.195

例 6 將定積分看成函數 計算函數 解 雖然可以就五個上限各計算一次定積分，但是，如果暫 例 6 將定積分看成函數 計算函數 解　雖然可以就五個上限各計算一次定積分，但是，如果暫 時把 x 想成是一個常數，直接對 x 計算，計算後再將 x 代值 會比較簡單。應用微積分基本定理，得到 如圖 4.35 所示，將 x 分別代以 0，π/6，π/4，π/3 和π/2 來計算 F(x) 的值，就得到五個相關的定積分。 p.196

是從 0 到 x 曲線 f(x) = cos t 之下所覆蓋的面積。 圖 4.35 是從 0 到 x 曲線 f(x) = cos t 之下所覆蓋的面積。 p.196

定理 4.11 微積分基本定理第二式 如果 f 在一個含 a 的開區間上連續，則對任意區間中的 x，恆有 p.197

圖 4.36 p.197

例 7 應用微積分基本定理第二式 計算 。 解　注意 處處連續。應用微積分基本定理第 二式，可得 p.197

例 8 應用微積分基本定理第二式 求 。 解　令 u = x3，使用微積分基本定理第二式和連鎖規則如下。 p.198

4.5 變數代換法求不定積分 定理 4.12 合成函數的反微分 4.5 變數代換法求不定積分 定理 4.12 合成函數的反微分 假設函數 g 的值域在區間 I 中，而 f 在 I 上連續。如果 g 可微，設 F 是 f 在 I 上的一個反導數，則 令 u = g(x)，則 du = g'(x) dx 並且 p.200

例 1 察覺 f (g(x))g'(x) 的樣式 求 。 解 令 g(x) = x2 + 1，得到 求 。 解 令 g(x) = x2 + 1，得到 g'(x) = 2x 和 f (g(x)) = f (x2 + 1) = (x2 + 1)2 因此積分函數符合 f (g(x))g'(x) 的樣式，應用積分的指數規則 和定理 4.12，得出 請以連鎖規則驗算 的導函數是原積分中的被積 函數 (x2 + 1)2(2x)。 p.201

例 2 察覺 f (g(x))g'(x) 的樣式 求 。 解 令 g(x) = 5x，得到 求 。 解 令 g(x) = 5x，得到 g'(x) = 5 和 f (g(x)) = f (5x) = e5x 因此積分符合 f (g(x))g'(x) 的樣式。應用積分的指數函數公式 和定理 4.12，得出 請以連鎖規則驗算 e5x + C 的導函數是原積分中的被積函數 5 e5x。 p.201

例 3 乘以和除以一個常數 求 。 解 本題與例 1 類似，只是差一個 2，仍然令 g(x) = x2 + 1， 例 3 乘以和除以一個常數 求 。 解　本題與例 1 類似，只是差一個 2，仍然令 g(x) = x2 + 1， 但是提供 g'(x) = 2x 如下 p.202

變數變換（change of variables）的技巧使用 Leibniz 記號， 正式進行變數變換時，要將原積分式以 u 和 du 完全改寫。雖然使用起來會比例 1 到例 3 的察覺樣式要寫下更多的步驟，但是比較容易處理複雜的積分函數。 變數變換（change of variables）的技巧使用 Leibniz 記號， u = g(x)，則 du = g'(x)dx，而將定理 4.12 中的積分寫成 p.202

例 4 變數變換 求 。 解 先令 u 為根號中的函數，u = 2x – 1，再計算 du = 2dx。 例 4 變數變換 求　　　　 。 解 先令 u 為根號中的函數，u = 2x – 1，再計算 du = 2dx。 以 和 dx = du/2 代入，得到 p.203

例 5 變數變換 求 。 解 如前例，令 u = 2x – 1 得到 dx = du/2 ，再以 u 來表 x。 例 5 變數變換 求　　　　　　。 解 如前例，令 u = 2x – 1 得到 dx = du/2 ，再以 u 來表 x。 u = 2x – 1 → x = (u + 1)/2 以 u 表 x 代入得到 p.203

例 6 變數變換 求 。 解 因為 sin2 3x = (sin 3x)2，可以令 u = sin 3x，因此 例 6 變數變換 求 　 。　　　　　　 解 因為 sin2 3x = (sin 3x)2，可以令 u = sin 3x，因此 du = (cos 3x)(3) dx 又因 cos 3x dx 是積分一部分，可從 du 寫下 du/3 = cos 3x dx 把 u 和 du/3 代入到積分之中得到 再以微分驗算 p.203

1. 選一個代換 u = g(x)，常會選一個合成函數的內部函數。例如指數表示中整個作為底的函數。 變數變換的指導原則 1. 選一個代換 u = g(x)，常會選一個合成函數的內部函數。例如指數表示中整個作為底的函數。 2. 計算 du = g'(x) dx。 3. 把要積分的函數以 u 寫出。 4. 以 u 為變數作不定積分。 5. 將 u 以 g(x) 代回。 6. 以微分驗算。 p.204

定理 4.13 積分的廣義指數規則 如果 g 是 x 的一個可微函數，則 換句話說，如果 u = g(x)，則 p.204

例 7 變數變換和廣義指數規則 p.205

p.205

定理 4.14 變數變換求定積分 如果 u = g(x) 在閉區間 [a, b] 上的導函數連續，並且 f 在 g 的值域上也連續，則 定理 4.14 變數變換求定積分 如果 u = g(x) 在閉區間 [a, b] 上的導函數連續，並且 f 在 g 的值域上也連續，則 p.205

例 8 變數變換 計算 。 解 令 u = x2 + 1 則 du = 2x dx。 先決定積分在新的變數 u 之下的上限和下限。 例 8 變數變換 計算 。 解 令 u = x2 + 1 則 du = 2x dx。 先決定積分在新的變數 u 之下的上限和下限。 然後以 u 代入 p.206

再試試把反導數 ½(u4/4) 以 x 代回，並以 x 的上、下限代 入，算出結果答案是一樣的。 p.206

例 9 變數變換 計算 。 解 令 ，因此 在代入之前，先決定新的積分上、下限。 p.206

然後，代入 和 u du = dx 得到 p.206

圖 4.37 代入前的面積為 16/3。 p.207

圖 4.38 代入後的面積為 16/3。 p.207

4.6 數值積分 定理 4.15 梯形法 f 在 [a, b] 上連續，以梯形法求定積分 近似值的公式是 4.6 數值積分 定理 4.15 梯形法 f 在 [a, b] 上連續，以梯形法求定積分 近似值的公式是 當 n → ∞ 時，右邊會趨近 。 p.208

圖 4.39 以四個梯形近似區域的面積。 p.209

圖 4.40 第一個梯形的面積是 p.209

例 1 梯形法求近似值 以梯形法求 的近似值，比較 n = 4 和 n = 8 的結果 （圖 4.41）。 例 1 梯形法求近似值 以梯形法求 的近似值，比較 n = 4 和 n = 8 的結果 （圖 4.41）。 解 當 n = 4，Δx =π/4，得到 p.210

因為∫sin x dx = –cos x，可以利用微積分基本定理求出準確 值是 2。 p.210

圖 4.41 梯形法近似。 p.210

定理 4.16 p(x) = Ax2 + Bx + C 的積分是 p.211

圖 4.42 p.211

水平漸近線的定義 如果 或 我們就稱直線 y = L 是 f 圖形的水平漸近線（horizontal asymptote）。 p.145

定理 4.17 辛浦森法（n 偶數） f 在 [a, b] 上連續。辛浦森法求定積分 近似值的公式是 當n → ∞ 時，右邊會趨近 。 p.212

例 2 辛浦森法求近似值 以辛浦森法求 的近似值，比較 n = 4 和 n = 8 的結 果。 解 當 n = 4 時，我們有 例 2 辛浦森法求近似值 以辛浦森法求 的近似值，比較 n = 4 和 n = 8 的結 果。 解　當 n = 4 時，我們有 當 n = 8，得到 。 p.212

定理 4.18 梯形法和辛浦森法的誤差 如果 f 在 [a, b] 上的二階導函數連續，則以梯形法求 近似值的誤差是 定理 4.18 梯形法和辛浦森法的誤差 如果 f 在 [a, b] 上的二階導函數連續，則以梯形法求 近似值的誤差是 如果 f 在 [a, b] 上的四階導函數連續，則以辛浦森法求 p.212

f ''(x) = (1 + x2)–3/2 和 f '(x) = x(1 + x2)–1/2 例 3 梯形法的近似值誤差 希望以梯形法求 的近似值時，誤差小於 0.01， 請問 n 要取成多少？ 解　先求 的二階導函數 f ''(x) = (1 + x2)–3/2 和 f '(x) = x(1 + x2)–1/2 | f ''(x)| 在 [0, 1] 上的最大值是 | f ''(0)| = 1，因此，由定理 4.18，誤差不等式是 p.213

如果希望 E 小於 0.01，只要取 n 使得 1/(12n2) ≤ 1/100，也就 是說 由於誤差 ≤ 0.01，所以 p.213

圖 4.43 p.213

4.7 自然對數函數：積分 定理 4.19 積分的對數規則 假設 u 是 x 的可微分函數，則 4.7 自然對數函數：積分 定理 4.19 積分的對數規則 假設 u 是 x 的可微分函數，則 由於 du = u' dx，上述第二個公式又可寫成 p.214

例 1 應用積分的對數規則 求 時，令 u = 2x，則 du = 2dx。 p.214

例 2 對數規則和變數變換 求 時，令 u = 4x – 1，則 du = 4dx。 p.215

例 3 以對數規則求面積 求以函數圖形 x 軸和以直線 x = 3 為界的區域面積。 解 從圖 4.44 可以看出區域的面積是定積分 例 3 以對數規則求面積 求以函數圖形 x 軸和以直線 x = 3 為界的區域面積。 解　從圖 4.44 可以看出區域的面積是定積分 如果令 u = x2 + 1，則 u' = 2x，因此先乘以 2 再除以 2，以對 數規則計算如下 p.215

p.215

圖形 y 與 x 軸，和 x = 3 之間所圍出區域的面積是 1/2 ln 10。 圖 4.44 圖形 y 與 x 軸，和 x = 3 之間所圍出區域的面積是 1/2 ln 10。 p.215

例 4 適用對數規則的有理函數的特定形式 p.215

例 5 先作長除法再求積分 求 。 解　先以長除法重寫求積分的函數。 然後，進行積分 p.216

例 6 變數變換進行對數規則的積分 求 。 解　令 u = x + 1，du = dx 和 x = u – 1 代入。 p.217

2. 找一條公式看起來與被積分函數符合或部分符合，然後試著選一個 u 進行代換，讓被積分的函數符合公式。 學習積分的指導原則 1. 熟練基本積分公式。 2. 找一條公式看起來與被積分函數符合或部分符合，然後試著選一個 u 進行代換，讓被積分的函數符合公式。 3. 如果找不到恰當的 u 來代換，試著調整被積分函數，比方說，可以試一試三角恆等式，乘一式再除一式，加一式再減一式，要有點想像力。 4. 不妨也試一試以電腦軟體進行。 p.217

例 7 切線近似 解微分方程式 。 解 答案可以寫成一個不定積分。 由於被積分函數是一個商，分母中有 x，不妨試試對數規 例 7 切線近似 解微分方程式　　　　　。 解　答案可以寫成一個不定積分。 由於被積分函數是一個商，分母中有 x，不妨試試對數規 則，u 的選擇基本上有三種可能。u = x 和 u = x ln x 都無法配 合對數規則所要求的形式 u'/u。如果考慮第三種，令 u = ln x 會得到 u' = 1/x。因此可以進行如下： p.218

因此，答案是 。 p.218

例 8 利用三角恆等式 求 。 解 這個積分無法以基本表格中的公式回答，但是先以三角 恆等式改寫為 例 8 利用三角恆等式 求 。 解　這個積分無法以基本表格中的公式回答，但是先以三角 恆等式改寫為 已知 Dx[cos x] = –sin x，因此令 u = cos x 進行如下 p.218

u = sec x + tan x  u' = sec x tan x + sec2 x 例 9 正割函數的積分 求 。 解　考慮下面的步驟 令 u 為分母，得到 u = sec x + tan x  u' = sec x tan x + sec2 x p.219

因此得出 p.219

六個基本三角函數的積分 p.219

例 10 三角函數的積分 計算 。 解　由 1 + tan2x = sec2x，得出 p.219

例 11 求平均值 求 f (x) = tan x 在區間 [0, π/4] 上的平均值。 解　 p.220

圖 4.45 p.220

4.8 反三角函數：積分 定理 4.20 與反三角函數有關的積分 假設 u 是 x 的可微函數，並且 a > 0 則有 p.222

例 1 以反三角函數求積分 p.222

例 2 積分換變數 求 　　　　 。 解　初看，積分與反三角函數公式無關，但是以 u = ex 代入 得到 代入後，積分如下 p.222

例 3 拆成兩式分別積分 求 。 解　將積分拆成兩式，分別處理 p.223

x2 – 4x + 7 = (x2 – 4x + 4) – 4 + 7 = (x – 2)2 + 3 = u2 + a2 例 4 配方 求 。 解　將分母配方之後改寫成平方和如下： x2 – 4x + 7 = (x2 – 4x + 4) – 4 + 7 = (x – 2)2 + 3 = u2 + a2 令 u = x – 2， p.223

例 5 首項係數為負時的配方 求以圖形 ，x 軸、直線 和直線 為界的區域面積。 解 如圖 4.46 所示，所求面積為 例 5 首項係數為負時的配方 求以圖形 ，x 軸、直線　　　和直線 為界的區域面積。 解　如圖 4.46 所示，所求面積為 將分母根號之內的式子配方，積分如下： p.224

p.224

以 f 的圖形、x 軸、x = 3/2 和 x = 9/4 為界的區域面 積是 π/6。 圖 4.46 以 f 的圖形、x 軸、x = 3/2 和 x = 9/4 為界的區域面 積是 π/6。 p.224

基本積分規則（a > 0） p.225

p.225

例 6 幾個積分問題的比較 以目前已經學過的公式和技巧求下列各式的積分。 解 a. 可以公式處理（反正割規則） 例 6 幾個積分問題的比較 以目前已經學過的公式和技巧求下列各式的積分。 解 a. 可以公式處理（反正割規則） b. 可以指數規則處理（以 x2 為 u） c. 到本節為止，還無法解決。 p.226

例 7 幾個積分問題的比較 以目前已經學過的公式和技巧求下列各式的積分。 解 a. 可以公式處理（對數規則）。 例 7 幾個積分問題的比較 以目前已經學過的公式和技巧求下列各式的積分。 解　 a. 可以公式處理（對數規則）。 b. 可以指數規則處理（以 ln x 為 u）。 c. 到本節為止還無法解決。 p.226