数学史概论 主讲： 徐泽林 天津师范大学数学科学学院 http://59.67.71.237:8080/006/index.htm zelinxu@Sohu.com

第一章 数学的起源与早期发展 §1.1 数与形概念的产生 §1.2 河谷文明与早期数学 1.2.1 埃及数学 1.2.2 美索不达米亚数学 第一章 数学的起源与早期发展 §1.1 数与形概念的产生 §1.2 河谷文明与早期数学 1.2.1 埃及数学 1.2.2 美索不达米亚数学 1.2.3 中国数学起源与早期发展 1.2.4 印度数学（别章专论）

§1.1 数与形概念的产生 人类生活与生产实践的需要 有-无 多-少 实物计数 口头计数 数字 记数 算术 自然物形状的意识 审美意识的萌芽 §1.1 数与形概念的产生 对应原则 语言产生 文字产生 记数法 人类生活与生产实践的需要 结绳 书契 掐指 有-无 多-少 实物计数 口头计数 数字 记数 算术 自然物形状的意识 审美意识的萌芽 形的概念形成 思维发展 语言产生 文字产生 自然模似

1.1.1 结绳记事 　　结绳记事是我国原始公社时期的一种计量方法，是原始公社时期社会生产力发展到一定程度，由于社会生活的实际需要而产生的。 　　《周易·系辞下》：“上古结绳而治。”传说结绳记事，始于伏羲时代。西汉时曾经出现伏羲与女娲结绳的画像；在东汉武梁祠的浮雕上还刻有“伏羲仓精，初造王业，画卦结绳，以理海内”的铭文。 　　关于结绳记事的方法，郑玄在《周易正义》中的注解说：“为约，事大，大结其绳；事小，小结其绳。结之多少，随物众寡。”《路史·前纪》罗苹注，对此有所补充：“子夏易传云：上古官职未设，人自为治，记其事，将其命而已，故可以结绳为。九家易云：‘古无文字，其有约誓之事，事大，大其绳；事小，小其绳。结之多少，随物众寡，执以相考。’”这就说明，当时已产生了简单的分组（大事，小事），与简单的分组总量指标（大事件数，小事件数），成为我国统计的萌芽。 结绳记事

1.1.2 书契记数 　　原始公社时期，代结绳记事而起的一种比较进步的计量方法是书契记数。《周易·系辞下》：“上古结绳而治，后世圣人易之以书契。百官以治，万民以察。”“书”指文字，刻字在竹、木或龟甲、兽骨上以记数、记事，称为“书契”。一般认为书契“初以记数为始，后以简册为断。”我们称以数字为主体的经济记录为“书契记数”。 　　中国的原始文字和计量符号，始于仰韶文化时期（约公元前5000年一前3000年），在仰韶文化遗址半坡、姜寨等村出土的陶器上，发现二、三十种各式各样的符号，一般认为是我国原始文字的起源，在当时是一种比较进步的计量、记录方法的运用。到了黄帝、尧舜时代（约公前2491年一前2042年），创制了从一到十的数码字，随着社会生产力的发展，人们在生产实践中，逐渐感到“结绳记事”已不能适应生产发展的需要，于是便开始向“书契记数”的时代迈进。

1.1.3 文字发明与数字的产生 埃及象形文字 中国殷商甲骨文字

中国殷商甲骨文字中的数字

古埃及数字

美索不达米亚数字

玛雅文明中的数字

古希腊数字 古罗马数字

1.1.4 进位制与记数法 数系发展的第一个里程碑：位置制记数法。所谓位置制记数法，就是运用少量的符号，通过它们不同个数的排列，以表示不同的数。引起历史学家、数学史家兴趣的是，在自然环境和社会条件影响下，不同的文明创造了迥然不同的记数方法。如巴比伦的楔形数字系统、埃及象形数字系统、希腊人字母数字系统、玛雅数字系统、印度—阿拉伯数字系统和中国的算筹记数系统。 　　最早发展的一类数系应该是简单分群数系（simple grouping system），如在公元前3400年埃及象形文字中就有实例,它是10进的，但却不是位置的。在公元前3000到2000年之间，巴比伦人发展了60进位的定位数系（positional numeral system），它采用了位置制，却不是10进的。而最重要和最美妙的记数法则是10进位位置制记数法。 　　法国著名数学家拉普拉斯（Laplace,1749 – 1827）曾经写道： 　　用十个记号来表示一切的数，每个记号不但有绝对的值，而且有位置的值，这种巧妙的方法出自印度。这是一个深远而又重要的思想，它今天看来如此简单，以致我们忽视了它的真正伟绩。但恰恰是它的简单性以及对一切计算都提供了极大的方便，才使我们的算术在一切有用的发明中列在首位；而当我们想到它竟逃过了古代最伟大的两位人物阿基米德和阿波罗尼斯的天才思想的关注时，我们更感到这成就的伟大了。

拉普拉斯的这段评论十分精彩，只可惜他张冠李戴，把这项发明归之于印度。现已有充分而确凿的史料证明，10进位位置制记数法最先产生于中国。这一点也为西方的一些数学史家所主张。李约瑟就曾指出“在西方后来所习见的‘印度数字’的背后，位置制已在中国存在了两千年。”不过，10进位位置制记数法的产生不能单纯地归结为天才的智慧。记数法的进步是与计算工具的改进相联系的。研究表明，10进位位置制记数之产生于中国，是与算筹的使用与筹算制度的演进分不开的。 “0”作为记数法中的空位，在位置制记数的文明中是不可缺少的。早期的巴比伦楔形文字和宋代以前的中国筹算记数法，都是留出空位而没有符号。印度人起初也是用空位表示零，后来记成点号“· ”，最后发展为圈号。印度数码在公元8世纪传入阿拉伯国家。13世纪初，意大利的商人斐波那契（Leonado Fibonacci, 1175 - 1250）编著《算经》（Liber Abacci,1202），把包括零号在内完整的印度数码介绍到了欧洲。印度数码和10进位位置制记数法被欧洲人普遍接受后，在欧洲的科学和文明的进步中扮演了重要的角色。

各种记数法 进位制与数基 书写数系与数字 简单分群数系 乘法分群数系 字码数系 定位数系（位值制） b进制----逢 b 进位 数基：b 数字码：0,1,2,3,…, 书写数系与数字 数基：b 数字码：1,b,b2,…,bn 简单分群数系 （埃及、巴比伦、希腊、罗马） b进制 数字码：0,1,2,…,(b-1),b,b2,…, 乘法分群数系 如：二万三千四百五十六 （中国早期） b 进制 数字码：0,1,2,…,(b-1),b,2b,3b, …,(b-1)b , b2,2b2,3b2, …,(b-1)b2 , …, 字码数系 （希腊） b进制 数字码：0,1,2,3,…,(b-1) 表示：N = anbn + an-1bn -1 + … + a2b2 + a1b + a0 如：23456 定位数系（位值制） （中国、印度）

1.1.5 算术的起源 劳动分配 政治管理 产品分配 资料分配 时间与方向 天文学 信仰与祭祀 商品交易

§1.2 河谷文明与早期数学 1.2.1 埃及数学 （1） 埃及文明 §1.2 河谷文明与早期数学 1.2.1 埃及数学 （1） 埃及文明 很少文明能够像古埃及人那样，在历史上留下如此永难消逝的记号。虽然尼罗河谷早在公元前７０００年便有开拓者的踪迹，不过直到传奇名君美尼斯统一了上下埃及后，此地区才开始发展出凝聚力高的文化与身份认同。建都在孟斐斯的第一王朝（公元前２９２５至２７７５年）在接下来的２７００年间又经历了２６个朝代。 埃及分为三个主要时期：古王朝时期 ( 西元前2613-2160)，中王朝时期 (西元前2040-1750)以及新王朝时期( 西元前1550-1086 )。古埃及人建立了一个超过3000年的文明，经过统计，在这段时期中至少曾有过五千万人生活在这块土地上 。

书写是埃及保守的中央集权政府的主要工具，包含两种书法形式，一为神圣碑铭体，一为草写时使用的神圣体（用于纸草上），这些书法形式都是在埃及的王国前时期（大约公元前３０００年）时发展出来的。书写原本主要是为了管理，公元前２６５０年左右，就不再有任何连续的文字记载。在中王国管理，到（公元前１９５０年）之前唯一被遗留下来的文字记录似乎是一些宗教惯例和药方。埃及的另一股强大的力量就是宗教，这是上古世界里维持最久的一种宗教，也使得埃及成为阶级分明的高效率社会。埃及的经济力量支撑起整个祭司阶级，他们是探索人们善良性灵的一群人，并且从事研究宗教、天文学、哲学与数学。祭司也是国家官僚体系的一部份，负责为法老颁布敕令，并且为他处理财政与外交事务。埃及的伟大国家组织与经济力量使其统治者得以进行空前绝后的工程计划。吉沙的大金字塔大约是在第四王朝（公元前２５７５至２４６５年）时完成，至今仍旧是人类最伟大的工程学与古埃及文明的象征。 在公元前１７００年之前，从来没有任何人胆敢染指埃及，直到一支名为希克索斯人的闪族人横扫下埃及时为止。此后，埃及的边界便由善战的利比亚武士以及乘骑在马战车上的菁英战士所防御，这些部队能以其速度攻打敌人的侧翼并且击溃阵式健全的军队。

埃及人最伟大的军事成就就是从马其顿、希腊、努比亚、以及其它邻近民族中征召一批佣兵。埃及人的黄金一直是他们最有价值的军事资产。不过尽管如此，还是无法保证他们能孤立于最富饶的地中海世界外。埃及后来陷落幼汕述人之手，后来又被统治波斯的瑟赛斯朝重创，不过埃及的文化和宗教仍然被保存了下来。公元前３３２年，亚历山大大帝将埃及由波斯人手中解，并且建立了亚历山大城，该城在马其顿的托勒密王朝（公元前３３２至３０年）统治时期是希腊化的埃及的新国都，这也是埃及最后的一个王朝。这个王朝是亚历山大死后他的其中一个部将所建立的，其继位者一直设法延续王朝的寿命。不过此时的埃及仍为最富庶的国家，在往后的３００年中，它也是最大的政治与军事实体。能干的托勒密王朝统治者一直传承着，直到克列奥帕特拉七世在公元前３０年逝世时为止。克列奥帕特拉最有名的事迹就是与凯撒与马克－安东尼私，最后也导致了独立的埃及国的覆亡。她的野心和这两个人一样大，但很不幸她的下场并没有比较好。她的自杀写下了法老王朝的结束，并开启了埃及做为罗马和拜占庭帝国行省的新页。伊斯兰大军在公元６４２年席卷埃及，使它继续受外族统治，阿拉伯人、奥斯曼土耳其人、法国人、以及英国人。直到第一次世界大战时，埃及才因为英国疲于处理众多的海外殖民地冲突而获得独。

阿默斯纸草书 Rhind Papyrus

（2） 莱因德纸草书 《莱因德纸草书》﹝Rhind Papyrus﹞是公元前1650年左右的埃及数学著作，属于世界上最古老的数学著作之一。作者是书记官阿默斯。内容似乎是依据了更早年代﹝1849 B.C. ─1801 B.C.﹞的教科书，是为当时的包括贵族、祭司等知识阶层所作，最早发现于埃及底比斯的废墟中。公元1858年由英国的埃及学者莱因德﹝A. H. Rhind﹞购得，故名。现藏于伦敦大英博物馆。该纸草书全长544厘米，宽33厘米。         纸草书的卷首载录了一组分数分解表，把2/n﹝n为3到101之间的奇数﹞分解为单位分数﹝分子为1的分数﹞之和，如将2/33写为1/22 + 1/66。接着列出了87个问题，每个问题都给出了解答。问题1─6是如上第二个表的应用，如问题3是10个人分6只面包，问各得多少。7─20题是分数的乘法运算。21─23题分别是将一已知分数变为单位1和2/3。问题24─38内容在今天可归为一元一次方程，其解法使用了假位法。其中后半部份﹝35─38﹞是关于量器海克特﹝hekat﹞的使用问题，39-40是关于面包分配的问题，涉及等差数列。如第40题为：「把100只面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使最大的三份之和的1/7是最小的两份之和，问各得多少？」问题41─46是体积问题。48─55题为面积问题，其中有圆、正方形、等腰三角形、等腰梯形等。圆的面积是直径的九分之八的平方，即相当于取圆周率π= 3.16049。56─60题是金字塔问题，从中可看到三角学的初步知识。问题61以后是杂题，涉及许多实际问题，其中69─78题是关于食物中所含原料的比例问题。79题是一个等比数列问题。84题是牲畜饲料的分配问题。其它问题不甚完整。

莱因德纸草书是了解埃及数学的最主要依据。它准确反映了当时埃及的数学知识状况，其中鲜明地体现了埃及数学的实用性。它对我们应该如何看待数学的起源问题有很大的启发。 1858年，英国文物收藏家亨利。兰德在埃及的卢克索城买到一部草片文书。这部书现在是使我们有可能判断古代埃及数学知识情况的主要史料之一。兰德是这部书的第一位欧洲收藏者，现在举世都称为兰德纸草书。从草片文书用僧侣文字写成的原文可以断定，这部书是拉乌斯法老王朝的宫廷文书阿默斯于公元前1800年左右写成的。埃及历史上这一时期称为中王朝。根据书中记载，它的原本可能是属于更早的埃及古王朝时期（公元前2700年左右）的一部更加古老的草片文书。    这部草片文书是一幅长5。25米，宽0。33米的草片纸带。在我们看来，它不象是专题论文，也不是今天所说的教科书，而很可能是一本学生的笔记本，虔诚的学生把老师的讲述给他的所有知识都分毫不差地记在本子上，甚至包括许多错误在内。    除了现在收藏在不列巅博物馆的兰德纸草书之外，还有收藏在普希金图书馆的莫斯科草片文书。 莫斯科草片文书和兰德纸草书一样，也是长条形的，但前者的长度是后者的四倍。另外还有几部数学的草片文书，但这些文书内容都不如上面的两部出名。     通过草片文书，神殿墙壁上的题字和墓志铭，以及各种建筑物的铭文，使我们可以对埃及的数学知识有所了解。

埃及的数学有自己的特点，和现代数学有许多不同，但就当时的水平来说，已经是相当高的了。举个例子说，埃及人已经会解一元一次方程。不过，不要以为就是我们今天的有系数，有符号的方程。当时还没有任何符号系统，没有等号，没有0。之所以称其为方程，是因为它完全用语言叙述的运算序列，如果翻译成今天的语言，正好就是方程。例如，我们研究方程 8 x =19 解出这个方程，得到X=19/8。于是，需要用一个数去除另一个数。埃及人作了这个除法，而且除的相当特别。他们把除数8加倍，以便得到一个小於19，如果再加倍就大于19的一个数，然后逐次二等分，直到得出一个单位数1为止。这样的单位数在我们的例子中是一定能够得到的，因为除数8是2的三次幂。 这可以表示成如下的形式：                     8----1                    16----2                     4----1/2                     2----1/4                     1----1/8     在左边的数中，我们能得到其和为19的数，就是16+2+1=19，将16，2，1所对应的右边的数加在一起，就是解答：                     X=2+1/4+1/8 这样的除法称为双轨程序。

    在除数不是2的幂这种情况下怎么办呢？譬如，33/7，仍然利用双轨程序，把除数7加倍使其尽可能大的倍数小于33，得到33=4X7+5，把5写成2X2+1，推出5/7=2X2/7+1/7，对于2/7这样的数来说，有专门的展开的表。我们至今还不知道古代埃及人是怎样得出这些表的。寻找这些表组成的规律的一切尝试都没有成功。根据这些表，2/7=1/4+1/28，这必须分解为一些分子等于1的分数，这样的分数叫做单位分数。埃及人没有有理数的一般概念，他们把分子为1的分数看作是从中选取相应部分的对象的一种特殊性质。于是：                    5/7=2X（1/4+1/28）+1/7=1/2+1/7+1/14     最后，得到：  33/7=4+1/2+1/7+1/14。 埃及人还会计算圆的面积。他们相当出色地选取了π的近似值：π≈√10=3.1605这是一个巨大的成就，因为他们同时代的巴比伦人取π等于3，这太不精确了。但是，埃及人通过取对边和的一半相乘来求任意四边形的面积，这也是很不精确的。其实，当时巴比伦人和埃及人相差的并不远。     令人感到意外的是，埃及人能够完全精确地计算平截头棱锥体的体积。这是非常令人吃惊的，因为这种计算需要达到的数学水平比埃及人当时的水平还要高。后来的希腊人经过漫长的时间才达到了这个水平。 其实，希腊人自身对埃及的数学知识的影响很深，他们经常到埃及去研究数学，以至于把埃及看作为几何学的诞生地。我们知道，其中埃及人从希腊人那里获得了毕达格拉斯定理的概念，尽管在我们所知道的埃及文献中连埃及人知道这个定理的一点暗示都没有。阿默斯在他的草片文书中的任何地方都没有谈到这一点。

      根据希腊作者的叙述，在埃及专门有一种测量土地的人，在希腊人的说法中，测量土地的工具有“拖绳“或“拉绳“的意思。这些绳子大概是用来做直角的，绳子用结扣分成12等分。如果由这些等分组成一个各边边长分别为3，4，5等分的三角形，那么3等分和4等分的两边所夹的角就是直角（符合毕达格拉斯逆定理：三角形两边的平方和等于第三边的平方，则三角形是直角三角形。）     埃及人运用的所有的数学法则都带有极端的经验主义的性质，这些法则既没有任何定理，也没有任何证明。      但是，尽管埃及数学带有如此原始的性质，它却赋予现代科学后来的发展以极为有益的影响。勤劳的埃及人，在自己千百年的历史中积累了丰富的数学知识，后来的数学如果不利用这些知识就不会取得成就。可以毫不夸张地说，假如没有埃及的数学，就没有后来的希腊的数学。

1.2.2 美索不达米亚数学 （1）楔形文字 　　19世纪前期，在美索不达米亚工作的考古学家们进行了系统的挖掘工作，发现了大约五十万块刻写着文字的黏土书板，仅仅在古代尼普尔旧址就挖掘出五万多块。书板有大有小，小的只有几平方英寸厚。上面密密麻麻地刻有奇怪的符号，有的书板只一面有字，有的两面都有字，往往在其四边上也刻上字。这些符号实际上就是巴比伦人所用的文字，人们称它为“楔形文字”。 　　科学家经过研究发现，泥版上记载的，是巴比伦人已获得的知识。在五十万块书板中，约有400块已被鉴定为载有数字表和一批数学问题的纯数学书板。但是一直到公元1800年前不久，还没有谁对楔形文字作出成功的破译。最终打开这些书板刻写的文字之谜的是一位叫罗林森（Rawlinson，1810-1895）的法国学者。 　　在今天的伊朗的西北部，贝希斯通村附近的大石灰石绝壁上离地面300尺处刻的碑文，是欧洲的旅行者们发现的。1835年，一个偶然的机会，罗林森发现了这个铭文，并制成了拓本。1843年，他译解了其中的古波斯文，然后又将古波斯文与楔形文字对照，终于读通了楔形文字。从此解开了楔形文字之迷。 　　而当考古学家们读懂了挖出的巴比伦书板上的楔形文字后，发现这些书板的内容涉及那个时代的各种行业和生活的不同侧面，并且跨越巴比伦历史的许多时期。 总的说来，保存至今的这批数学原稿可以分为三组： 　第一组大约在公元前2100年苏美尔（Snmer）文化末期。

　第二组数量很大，从汉莫拉比时代（公元前1792-1750）即第一代巴比伦王朝开始，直到大约公元前1600年。 　第三组内容丰富,大约从公元前600年-直到公元300年,包括内布恰德内扎尔（Nebuchadnezzar）的新巴比伦帝国与随后的波斯和塞流西得（Seleucid）时代。 　　第二组和第三组之间出现一段空白,正是巴比伦历史上的一个特殊的动乱时期。 　　考古学家对这些数学书板的内容在1935年以前了解很少；现在已有了一些了解,但更深入的研究和探索还在进行当中。

普林顿322号泥板书

（2）巴比伦文明 　　"巴比伦人"是指曾居住在底格里斯河与幼发拉底河两河之间及其流域上的一些民族，他们创造了文化，也创造了具有本民族特色的数学。 　　大约在公元前二千多年，在两河流域建立了巴比伦王国（Babylonia），首都是巴比伦（Babylon）（今日伊拉克的一部分），位于巴格达南面约100公里。大约在公元前4000年左右，苏默人（Sumerians）开始在两河流域（古代称美索波达米亚，Mesopotamia）定居，大约在公元前3000年创造了自已的文化。 　　在公元前2500年，苏默人受到在北面居住的闪族阿卡德人的政治控制，由于阿卡德人统治力量越来越强大，于是苏默文化就被阿卡德文化所淹没了。公元前1700年左右，在汉穆拉比（Hammurabi）王统治期间，其文化得到了高度发展，并由制定一部法典而垂名后世。 　　汉穆拉比建立了巴比伦的第一王朝。他把自已称为"苏默人和阿卡德人的大王"。他作为最高统治者，非常关心灌溉系统的发展，采取了清理灌溉的措施，制造抽水机，并在全国范围内，划分土地，分配收获的粮食，修建谷仑。向邻近国家输出农产品，同时也带来了高利贷的发展。这些都是使数学得以发展的社会因素。 　　促使巴比伦数学产生、发展的另一个因素是建立了货币制度。开始时，他们把谷物或者银器作为货币单位。国家利用实物或银器征收税务，后来采取用银币代替货物的支付方法，这样进一步完善了货币制度，使单位换算成为必须。 　　尽管巴比伦统治者变动频繁，但数学知识的传播和使用，从古代起至少一直到亚里山大时代，始终连续不断。

（3）古巴比伦的商业数学 在最古老的书板上显示了巴比伦人高水平的计算能力，表明他们很早就有了六十进位制。古巴比伦人最初用石块、绳结记事，后来又用手指计数。一个指头代表1，两个指头代表2，…，到数到10时，就要重新开始。由此巴比伦人产生了“逢十进一”的概念。又因为，一年中月亮有12次圆缺，一只手又有5个手指头，12×5＝60，这样他们就又有了每隔60进一的计数法。在泥版上，巴比伦人用“▼”表示1，用“<”表示10，其他数通过▼和<的组合实现。比如35，就用： 　　　　<<<　▼▼ 　　　　　　▼▼▼  来表示。 　　这种计数方法也影响了后人，我们现在的十进制和六十进制，就是从这里来的。比如，1米＝10分米，1分钟＝60秒。 　　巴比伦人掌握了很多计算方法,许多算术程序是借助各种各样的表来实现的。在400块数学书板中，有一多半是表，有乘法表、倒数表、平方表和立方表，甚至还有指数表。指数表可能是和插值法一起用来解决复利问题的。倒数表则用于把除法化为乘法。 　　在发现的书板中，有许多早期的书板内容是田地转让和处理这些事务的算术计算。这些书板又表明：古代苏美尔人熟悉各种法定的和家务的契约，像帐单和收条、期票、帐目、单利和复利、抵押、卖货单据和保证书等。有一些书板是商号的记录，另一些是说明度量衡的。 　　

巴比伦泥版上有这样一个问题：兄弟10人分5/3米那的银子（米那和后面的赛克尔都是巴比伦人的重量单位，其中1米那＝60赛克尔），相邻的兄弟俩，比如老大和老二、老二和老三，……，所分银子的差相等，而且老八分的银子是6赛克尔，求每人所得的银子数量。从这个例子可以看出，巴比伦人已经知道了"等差数列"这个概念。 　　下述事实证明巴比伦人很早就已使用日历。他们的年是从春分开始的。并且一月是以金牛座命名的，由于在公元前4700年左右春分时太阳在金牛座。因此说巴比伦人远在公元前四、五千年就有了某种历法推算，似乎不无道理。

（4）巴比伦的几何学 这块3800年前的泥板用楔形文字和图案列出了一系列几何练习题，年轻的巴比伦学生被要求计算出正方形内各个不同面积。 在古巴比伦时期常常把几何问题化为代数问题来解决。在他们心目中，几何似乎不占有重要位置。但是，最近有一些考古学家指出，在斯萨出土的巴比伦的楔形文字原典中，含有求正多边形和圆的面积的近似公式，可见巴比伦人对几何问题也有一定兴趣。 　　巴比伦几何学是与实际测量有密切联系的。从许多具体例子可以看到，巴比伦人在公元前2000到1600年，就已熟悉了计算长方形面积、直角三角形和等腰三角形（也许还不知道一般三角形）面积，有一边垂直于平行边的梯形面积、长方形的体积，以及以特殊梯形为底的直棱柱体积的一般规则。 这块3800年前的泥板用楔形文字和图案列出了一系列几何练习题，年轻的巴比伦学生被要求计算出正方形内各个不同面积。

亚述-巴比伦时期的楔形文字 “毕达哥拉斯定理” 他们知道取直径的三倍为圆周，取圆周平方的1/12为圆面积（两者对于 π =3都是正确的），还用底和高相乘的方法求得直圆柱的体积。错误地认为圆锥或方棱锥的平头截体的体积是两底之和的一半与高的乘积。他们也知道，两个相似的直角三角形的对应边成比例，过等腰三角形顶点所作的底边的垂线平分底边，内接于半圆的角是直角。他们还知道毕达哥拉斯定理。在一个最近发现的书板上，是用31/8 作为π的估计值。 亚述-巴比伦时期的楔形文字 “毕达哥拉斯定理”

　　巴比伦几何学的主要特征是它的代数性质。一些比较复杂的问题虽然是以几何术语来表达的，但实质上还是一些特殊的代数问题。有许多问题涉及平行于直角三角形的一条边的横截线，它们就引出二次方程；还有一些问题引出了联立方程组，其中一例就给出了含十个未知数的十个方程。有一块耶鲁书板，大概是公元前1600年的，在那上面有一个一般三次方程，是在讨论棱锥的平截头体的体积时出现的。 　　我们现在把圆周分成360等分，无疑应当归功于古代巴比伦人。 　　为什么选定这个数？有几种解释，但是比较起来还是考古学家O·诺伊格包尔提倡的那种说法似乎更有道理。他认为，在苏美尔文化初期，曾有一种大的距离单位-巴比伦里（Babylonian mile），差不多等于现在的英里的七倍。由于巴比伦里被用来测量较长的距离，很自然，它也成为一种时间单位，即走一巴比伦里所需的时间。 　　后来，在公元前一千年内，当巴比伦天文学达到了保存天象系统记录的阶段时,巴比伦时间-里，就是用来测量时间长短的，因为发现一整天等于12个时间-里，并且一整天等于天空转一周；所以，一个完整的圆周被分为12等分，但是，为了方便起见，把巴比伦里分为30等分。于是我们便把一个完全的圆周分为（12）（30）=360等分。

（5）古巴比伦对数学发展的贡献 　　巴比伦人首先把数学应用到商业。巴比伦位于古代贸易的通道上，适于商品交换，发展经济。他们用简单的算术和代数知识表示长度和重量，兑换钱币和交换商品，计算单利和复利，计算税额以及分配粮食、划分土地和遗产。 　　巴比伦人很早就把数学应用到兴修水利上。巴比伦人应用数学知识计算挖运河、修堤坝所需人数和工作日数。把数学应用到测定谷仓和房屋的容积,修筑时所需用的砖数等 　　巴比伦人也很早就把数学应用于天文研究。在亚述时代（公元前700年左右）开始用数学解决天文学的数学问题，在公元前3世纪之后,用数学知识来计算月球和行星的运动,并通过记录的数据，确定太阳和月球的特定位置和亏蚀时间。 　　巴比伦人从远古时代开始，已经积累了一定的数学知识，并能应用于解决实际问题.从数学本身看，他们的数学知识也只是观察和经验所得，没有综合结论和证明。但也要充分估计他们对数学所做出的贡献。 　　⑴ 巴比伦人能够解一元一次方程和一元二、三次方程，在实际问题中，也能通过算术的方法解二元一次方程组。 　　⑵ 在几何方面，巴比伦人认识到了关于平行线间的比例关系和毕达歌拉斯定理。会求简单几何图形的面积和体积,并建立了在特定情况下的底面是正方形的棱台体积公式。 　　⑶ 在记数法上，有了位值制的观念，但似乎没有表示零的方法。 　　⑷ 在天文学方面，他们已有一系列长期观察记录，并且已经发现许多准确性很高的天文学周期。但这种工作还缺乏一定的科学性。 　　总之，巴比伦人对数学各领域都有一定的贡献。但在圆面积的度量上不及埃及，常取π= 3。但是在古巴比伦，在产生数学各种基本概念的同时，假科学也得到了发展，如宣扬星相术和数的神秘论，阻碍了数学的发展。

1.2.3 中国上古数学 （1）中国古代文明概述     中国是世界文明古国之一，地处亚洲东部，濒太平洋西岸。黄河流域和长江流域是中华民族文化的摇篮，大约在公元前2000年，在黄河中下游产生了第一个奴隶制国家──夏朝（前2033?-前1562?）,共经历十三世、十六王。其后又有奴隶制国家商（前562年？—1066年？,共历十七世三十一王）和西周﹝前1027年?—前771年,共历约二百五十七年，传十一世、十二王﹞。随后出现了中国历史上的第一次全国性大分裂形成的时期──春秋（前770年-前476年）战国（前403年-前221年），春秋后期,中国文明进入封建时代,到公元前221年秦王赢政统一全国,出现了中国历史上第一个封建帝制国家──秦朝（前221年—前206年）,在以后的时间里,中国封建文明在秦帝国的封建体制的基础不断完善地持续发展,经历了统一强盛的西汉（公元前206年—公元8年）帝国、东汉王朝（公元25年—公元220年）、战乱频仍与分裂的三国时期（公元208年-公元280年）、西晋（公元265年—公元316年）与东晋王朝（公元317年—公元420年）、汉民族以外的少数民族统治的南朝（公元420年—公元589年）与北朝（公元386年—公元518年）。到了公元581年，由隋再次统一了全国，建立了大一统的隋朝（公元581—618年），接着经历了强大富庶文化繁荣的大唐王朝（公元618年—907年）、北方少数民族政权辽（公元916年-公元1125年）、经济和文化发达的北宋（公元960年~公元1127年）与南宋（公元1127年-公元1279年）、蒙古族建立的控制范围扩张至整个西亚地区的疆域最大的元朝（公元1271年-1368年）、元朝灭亡后，汉族人在华夏大地上重新建立起来的封建王朝──明朝（公元1368年-公元1644年），明王朝于17世纪中为少数民族女真族（满族）建立的清朝（公元1616年-公元1911年）所代替。清朝是中国最后一个封建帝制国家。自此之后，中国脱离了帝制而转入了现代民主国家。     中国文明与古代埃及、美索不达米亚、印度文明一样，都是古老的农耕文明，但与其他文明截然不同，它其持续发展两千余年之久，在世界文明史上是绝无仅有的。这种文明十分注重社会事务的管理，强调实际与经验，关心人和自然的和谐与人伦社会的秩序，儒家思想作为调解社会矛盾、维系这一文明持续发展的重要思想基础。 

（2）中国数学的起源与早期发展 汉像砖伏羲女娲执规矩图

黄帝时代隶首作数 女娲伏羲执规矩图

中国考古文物上的几何图案

  据《易．系辞》记载：「上古结绳而治，后世圣人易之以书契」。在殷墟出土的甲骨文卜辞中有很多记数的文字。从一到十，及百、千、万是专用的记数文字，共有13个独立符号，记数用合文书写，其中有十进制制的记数法，出现最大的数字为三万。 殷商时代的甲骨文

     算筹是中国古代的计算工具，而这种计算方法称为筹算。算筹的产生年代已不可考，但可以肯定的是筹算在春秋时代已很普遍。 中国出土的古代算筹

一纵十横，百立千僵，千十相望，万百相当。六不积，五不只。 用算筹记数，有纵、横两种方式： 一纵十横，百立千僵，千十相望，万百相当。六不积，五不只。 表示一个多位数字时，采用十进位值制，各位值的数目从左到右排列，纵横相间﹝法则是：一纵十横，百立千僵，千、十相望，万、百相当﹞，并以空位表示零。算筹为加、减、乘、除等运算建立起良好的条件。     筹算直到十五世纪元朝末年才逐渐为珠算所取代，中国古代数学就是在筹算的基础上取得其辉煌成就的。     在几何学方面《史记．夏本记》中说夏禹治水时已使用了规、矩、准、绳等作图和测量工具，并早已发现「勾三股四弦五」这个勾股定理﹝西方称勾股定理﹞的特例。战国时期，齐国人着的《考工记》汇总了当时手工业技术的规范，包含了一些测量的内容，并涉及到一些几何知识，例如角的概念。

战国时期的百家争鸣也促进了数学的发展，一些学派还总结和概括出与数学有关的许多抽象概念。著名的有《墨经》中关于某些几何名词的定义和命题，例如：「圆，一中同长也」、「平，同高也」等等。墨家还给出有穷和无穷的定义。《庄子》记载了惠施等人的名家学说和桓团、公孙龙等辩者提出的论题，强调抽象的数学思想，例如「至大无外谓之大一，至小无内谓之小一」、「一尺之棰，日取其半，万世不竭」等。这些许多几何概念的定义、极限思想和其它数学命题是相当可贵的数学思想，但这种重视抽象性和逻辑严密性的新思想未能得到很好的继承和发展。     此外，讲述阴阳八卦，预言吉凶的《易经》已有了组合数学的萌芽，并反映出二进制的思想。

1.2.4 古代印度数学 （1）古代印度文明概况     古代印度文明是世界主要文明之一，位于亚洲南部次大陆，包括今天印度河与恒河流域的印度、巴基斯坦、孟加拉、尼泊尔、斯里兰卡、不丹、锡金等国。     印度文明最早可以上溯到公元前3500年左右居住在印度河流域的达罗毗荼(dravidians)人的哈拉帕(harappa)青铜文化，大约到了公元前1500年左右，中亚游牧民族雅利安（aryans）人入侵印度，征服了达罗毗荼人。公元前1400至公元前1000年，雅利安人向东扩张，控制了恒河流域。公元前500年前后，恒河下游的摩揭陀国统一印度北方。大约在公元前7世纪形成了婆罗门教，随后在公元前5-6世纪前后有又出现了佛教和蓍那教。公元前518年波斯帝国侵占印度，使印度成为其一个辖区。公元前327年，马其顿王亚历山大大帝在灭波斯帝国后入侵印度河上游地区，建立莫尔雅帝国(maurya empire)，并立即扩张到全印度以及中亚西亚的一些地区。公元前321年旃陀罗笈多（护月王，bc321-bc297）赶走马其顿人，推翻难陀（nanda）王朝，建立孔雀王朝，从而再次统一印度北方，恢复到印度人自己的统治时代。除公元前304年的西亚的塞流西（seleucid）王国入侵并很快媾和外，孔雀王朝国势强盛，至阿育王（aaoka,bc268-232年在位）达到极盛。此时东印度河流域在摩揭陀国的难陀王朝统治下基本统一。至公元前187年，孔雀王朝为巽加(sunga)王朝所取代。     公元前165年前后被匈奴人击败西迁的大月氏人，于公元1世纪在中亚建立贵霜帝国，很快占领印度北部的广大地区。公元320年左右，摩揭陀国的另一旃陀罗笈多一世建立笈多王朝(gupta，320-535)统治北印度，印度进入封建社会时代。

从5世纪始，印度文明又不断受到其它民族的侵占，先是5世纪的白匈奴人入侵，继而阿拉伯人于711年攻占印度河下游的信德；到了10世纪，信奉伊斯兰教的突厥人建立的迦色尼（ghaznavid）王朝和古尔（ghurid）王朝 (阿富汗）先后统治印度，不久印度进入德里苏丹国时期。13、14世纪又遭受蒙古人的侵扰，成吉思汗后裔建立的帖木儿帝国于1398年攻入印度，后于16世纪在印度建立了莫卧儿帝国。18世纪以后，莫卧儿帝国国势危弱，常受波斯、阿富汗等国的侵掠，后来英国人乘虚而入，1757年印度沦为英国殖民地，最终莫卧儿帝国于1857年灭亡。

思考题： 1、数的概念是如何发展起来的，它对于人类文明有何意义？ 2、比较计数系统在不同地区发展的特点？ 3、几何起源在不同文明地区的背景与特点？ 4、埃及文明中有关数学的主要文献是什么？如何评价埃及数学的贡献？ 5、美索不达米亚文明中的数学成就与特点？ 6、查阅有关文献，对普林顿322号泥板书中的数学知识进行述评？

谢谢！