7 巨人的杰作——微积分的创立

解析几何是代数与几何相结合的产物，它把变量引入数学，使得人们借助于数学对运动变化的规律进行定量的分析成为可能，同时也为微积分的创立奠定了基础．微积分的创立是17世纪数学最重要的成就之一，也是科学技术发展史上最重大的事件之一

7.1 微积分产生的背景 事实上，“无限细分，无限求和”的微积分思想，在古代的西方和中国早就已经开始萌芽． 7.1 微积分产生的背景 事实上，“无限细分，无限求和”的微积分思想，在古代的西方和中国早就已经开始萌芽． 两千多年以前的古希腊时代，地中海沿岸的奴隶们在繁重的生产劳动中，早就认识到搬运重东西时利用滚动要比滑动省力，因而在运输中广泛应用装有圆轮和圆轴的车子；那时也已经出现水轮机，利用流水的冲力推动水轮转动，轮又经过齿轮的作用带动碾磨．

为了精密地制造这些工件，就需要对圆形有精确的认识，在深人地研究圆形的过程中，出现了“无限细分、无限求和”的微积分思想的萌芽． 古希腊科学家阿基米德在解决许多实际问题的同时，研究了圆的周长和面积的计算问题，他利用圆的内接正多边形和外切正多边形来推算，边数越多，圆和多边形就越接近．从圆心到多边形顶点的半径把多边形分成一个个三角形．也同时把圆分成一个个扇形．多边形的边数越多，三角形就越接近扇形，三角形的底边（即多边形的一条边）便近似于扇形的圆弧；三角形的面积便近似于扇形的面积；

各个三角形底边之和便近似于圆的周长；各个三角形面积之和就近似于圆的面积，而且随着边数的增多，这种近似就变得越来越精确．阿基米德从最简单的六边形一直做到96边形，得出圆周长和圆的直径的比值（圆周率 ）是 之间的数在这个计算工作中，已 包含了“．无限细分，无限求和”的微积分思 想，多边形不断增多边数，这就是对于圆周“无限细分”，由许多三角形的总和来求圆周长及圆面积，这就是“无限求和”．

我国古代，也早就有了微积分思想的萌芽．西汉刘散在《西京杂记》中提到的“记里车”，东汉张衡制造的“浑天仪”，蜀汉诸葛亮使用并改进的“木牛流马”，都要设计制造圆形的物件，从而产生’了魏晋时刘徽提出的“割圆术”．他从圆内接正六边形做起，令边数成倍地增加，逐步推求圆内接正12边形，正24边形，……，直到正3 072边形，用这个正3 072边形面积来逼近圆面积，就得到的较精确的值3. 1416,"割之弥细，所失弥少；割之又割，以至于不可割， 则与圆周合体而无所失矣．”这就包含着微积分中“无限细分，无限求和”的思想方法．

又如隋代建造的赵州桥，这座跨度达37米的大石拱桥，系用一条条长方形条石砌成，一段段直的条石却砌成了一整条弧形曲线的拱圈，这就是微积分中“以直代曲”的基本思想的生动原形． 到了16世纪前后，社会生产实践活动进入了一个新的时期．开普勒根据长期的天文观测资料，总结出行星运动的三大定律；伽利略发现了自由落体的运动规律，这个规律可表示成著名的公式

笛卡儿关于几何学的工及费马对极值问题的研究，特别是他们关于解析几何的工作，开始有了变数概念，并把描述运动的函数关系和几何中曲线问题的研究统一起来了．1637年，笛卡儿发表《几何学》一书，把几何和代数统一起来，创建了解析几何理论，开始用运动的观点研究几何轨迹，即将变数引进数学．点的运动就表现为两个位置变数x和y的依存关系，当x（表示动点的横坐标）变化时y（表示动点的纵坐标）也随之变化，从而描绘出点的运动状况一个变数y对另一个变数x的依存关系，即函数关系，表示它们之间的变化规律．

正如恩格斯所说，“数学中的转折点是笛卡儿的变数．有了变数，运动进人了数学；有了变数，辩证法进人了数学；有了变数，微分和积分也就立刻成为必要的了，而它们也就立刻产生．” 为了对微积分所研究的问题和方法先有一个大致的了解，下面对两个初等数学难以解决的问题作一些初步分析．

问题1：求自由落体在下落后1秒钟这个时刻的瞬时速度？ 这是求一个作变速运动的物体在某一时刻的瞬时速度问题．根据物理实验总结出自由落体的运动规律为 其中S是下落的路 程（m）, g是重力加速度（9. 8 m/s'） , t是下落的时间（s）．这一公式给出了自由落体下落的路程与时间的关系．对于匀速运动，速度＝路程／时间，现在自由落体运动是变速运动，上述公式不再适用。

我们知道，当t=1(s)时 当 ( ) 时， 虽然现 在无法用上述求速度的公式来求t=1 s时的速度，但可以用它求得在t=1到 这段时间内的平均速度，

这个值是随着 ，的变化而变化的．因为速度是逐渐地变化的，在很短的时间内，速度的变化很小，因此只要我们把 取得很接近于1，那就可以把求得的 作为t=1 s时速度v的近似值，而且 愈是接近于1， 就愈接近于v，例如若取 =1. 1(s)，则 =4.9(1.1+1)=10.29(m/s)．若取 =1.01 (s)，则 =4.9(1.01+1)=9. 849 (m/s).因为1.01比1. 1更接近于1，所以用 =1.01算得的 比用 =1. 1算得的 更接近于v，但不管 多么接近于1，作为平均速度的 毕竟是v的近似值，而不是v的精确值．那么如何把近似转化为精确呢？

我们必须用运动的观点去考察,当 无限地接近于1时 变化的情况，才能最后确定v的精确值． 问题2：求一个曲边三角形的面积． 在初等数学中，我们已学过三角形、矩形、梯形等面积的计算，但如何计算曲边三角形的面积呢？古代的“割圆术”和古代劳动人民用一块块石头砌成拱形的桥洞给了我们启示，从整体看是曲的东西，在局部却可以“以直代曲”． 我们把曲边三角形的底边OC分成n等份，每一份的长度为1/n，分点的坐标为

再过这些分点引平行于y轴的直线，那么曲边三角形就分成了n个狭窄的曲边梯形（即有一腰是曲线的梯形）．对于每个窄的曲边梯形，我们看到曲边上的点到x轴的距离是不均匀地变化的，但是只要n取得相当大，高度的变化就很小，就可以用矩形的面积近似地代替曲边梯形的面积．这些矩形的面积分别为

把它们加起来就得到台阶形的面积 即曲边三角形的面积A的近似值．容易看出，n愈大， 就愈接近于A．但不管n多么大，作为台阶形面积的 毕竟是A的近似值，而不是A的精确值．为了把近似转化为精确，我们就要考察n无限变大的过程中 变化的情况，才能确定A的值．

上面提出的两个问题在形式上虽然很不相同，但解决这些问题的基本思想却是一样的，前者属于微分学问题，后者属于积分学问题．用微积分解决问题的基本思想是先在局部“以不变代变”或“以直代曲”，求得所求量的近似值，然后在无限变化的过程中实现近似转化为精确．

7.2先驱们的探索 17世纪以前，人类关于数学的知识基本上还停留在初等数学的水平上，即常量数学的阶段．从17世纪中叶到18世纪末，欧洲工业革命的兴起，广泛地采用了机器，为了设计和制造机器，就需要掌握机械运动的规律；水运的改进要求了解物体在液体中的运动规律；船只稳定性的研究促进了质点力学的发展；为了适应对外扩张和争霸的需要，战争中广泛使用枪炮，这就要研究抛射体的运动，所有这些生产和技术中出现的问题迫切要求力学、天文学等基础学科的发展，但这些学科都是离不开数学的，因而也就推动了数学的发展．

17世纪上半叶，随着函数观念的建立和对机械运动规律的探求，许多实际问题摆到了数学家们的面前．几乎所有的科学大师都把自己的注意力集中到寻求解决这些难题的新的数学工具上来．他们在解决问题的过程中，逐步形成了微积分学的一些基本方法．这些问题可以分为以下四类： 第一类是已知物体移动的距离表示为时间的函数，求物体在任意时刻的速度和加速度；反之，已知物体的加速度表示为时间的函数，求速度和距离．不久人们就发现，这一问题是计算一个变量对另一个变量的变化率问题以及它的逆问题的特例．

第二类是求曲线的切线．在进行光学的研究中涉及曲线的切线，另一个涉及曲线的切线问题出现在运动的研究中，运动物体在它的轨迹上任一点处的运动方向，就是轨迹的切线方向．笛卡儿认为切线是当两个交点重合时的割线．他在《几何学》中提出了求切线的所谓“圆法”，其方法是：首先确定曲线y= f (x)在点P(x,f(x))”处的法线与x轴的交点C的位置，然后作该法线的过点P的垂线，便可得到所求的切线．如图7一1所示，过C点作半径为r=CP的圆，因为CP是曲线y=f(x)在P点处的法线，那么点P应是该曲线与圆

的“重交点”（一般情况下所作圆与曲线还会在P点附近相交）．如果 是多项式，有“重交点”就相当于方程 重根．但具有重根x=e的多项式的形式必为 ,笛卡儿给出上述方程有重根的条件是

然后用比较系数法求得v与e。的关系，代人e=x，就得到用x表示的v，这样就得到过点P的曲线的斜率为(v-x)/f(x) 然后用比较系数法求得v与e。的关系，代人e=x，就得到用x表示的v，这样就得到过点P的曲线的斜率为(v-x)/f(x). 显然，笛卡儿的方法本质上是一种代数方法，这一方法在微积分的早期具有重要的影响，牛顿就是受笛卡儿方法的启发而研究微积分的．英国著名数学家巴罗也给出了一种求曲线切线的方法，他应用的是几何法．如图7-2,设有曲线f(x)=0，欲求其上一点P处的切线，他考虑一段“任意小的弧”PQ，它是由增量QR =e引起的，PQR就是所谓的微分三角形．当这个三角形越来越小时，它与△TPM应趋近于相似，故应有PM/TM=PR/QR,即y/t=a/e，因Q, P在曲线上

故应有.f（x-e,y-a） =f（x，y）=0在上式中消去一切包含有e,a的幂或二者乘积的项，从所得方程中解出a/e,即得到切线的斜率，从而作出切线．巴罗的方法实质上是把切线看作是当a和。即得到切线的趋于零时割线PＱ的极限位置，并利用忽略高阶无穷小来取极限．巴罗的符号a。e相当于现在的dy/dx巴罗的方法和现在微积分的差异仅仅在于符号的不同，因此，有些学者甚至断言巴罗是微分学的真正发明人．此外，巴罗还求得相当于 一类的积分式．

第三类是求函数的最大值与最小值，例如抛射体获得最大射程时的发射角，行星离开太阳的最远和最近距离等问题，这方面的工作是由开普勒的观测开始的．他对酒桶的形状感兴趣，在他的《测量酒桶体积的新科学》一书中，证明了所有内接于球面的正平行六面体中，正方体的容积最大．费马在他的《求最大值和最小值的方法》一书中，也给出了他的研究方法．按照他的方法，设函数f(x)在点a处取极值，用x+e代替原来的未知数a，并使f (a+ e)与f (a)逼近，即f(a+e) ~f (a)消去公共项后用e除两边，再令e消失，即

由此方程求得的a就是f (x)的极值点．容易看出，费马的方法几乎与现在微积分学中所用的方法完全相同，只是以符号e代替了增量△x. 第四类是求曲线的长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心以及一个体积相当大的物体（例如行星）作用于另一物体上的引力等．开普勒在《测量酒桶体积的新科学》一书中，论述了求圆锥曲线围绕其所在平面上某直线旋转而成的立体体积的积分法．其主要思想是用无数个同维的无限小元素之和来确定曲边形的面积及旋转体的体积．例如，他认为球的体积是无数个小圆锥的体积之和，这些圆锥的顶点在球心，底面则是球面的一部分

而把圆锥看成是极薄的圆盘之和，并由此计算出的它们的体积，进而进一步证明球的体积是半径乘以球表面积的三分之一意大利数学家卡瓦列利（B 而把圆锥看成是极薄的圆盘之和，并由此计算出的它们的体积，进而进一步证明球的体积是半径乘以球表面积的三分之一意大利数学家卡瓦列利（B. Cavalieri,1598-1647）则在其著作《用新方法促进的连续不可分量的几何学》中发展了系统的不可分量方法，提出了著名的“卡瓦列利原理”：两个等高的立体，如果它们的平行于底面且离开底面有相等距离的截面面积之间总有给定的比，那么这两个立体的体积之间也有同样的比．依据这一原理，他不仅计算出了许多立体图形的体积，而且还建立了等价于下列积分

的基本结果，使早期积分学成为一般的算法．他首先考虑一个平行四边形内线段的幂和与组成它的三角形内线段的幂和之间的关系，如图7一3，在平行四边形ACDF中，AF=a, 其内任一平行于AF的截线GE被对角线分成两部分GH= x, HE= y．先考虑一次幂和的关系：因为x+ y= a,故

按照卡瓦列利的不可分量的观点， 应为 △CAF的面积， 则为平行四边形ACDF 的面积。取正方形情形，就得到 ， 也即 用类似的方法，卡瓦列利 一直推 导出了公式 并利用这一结 果，计 算出在单位区间［0,1］上，曲线y= 下的图

形的面积为 ，以及这一图形绕x 轴旋转所得的旋转体的体积 这 显然更接近普通的积分学．由此可以看出，在牛顿和莱布尼茨之前，微积分的大量知识已经积累起来了．但微积分的真正建立还应该归功于牛顿和莱布尼茨．

7.3 科学的巨人—牛顿 牛顿（Isaac Newton, 1642-1727）诞生于英格兰林肯郡的小镇乌尔斯索普的一个农民家庭．在他出生之前，他的父亲已去世．3年后，他的母亲迫于贫苦再嫁给一位牧师，把牛顿留给他祖母抚养．8年之后，牧师病故，牛顿的母亲带着和后夫所生的一子二女又回到乌尔斯普．牛顿自幼沉默寡言，性格倔强，这种习性可能来自他的家庭处境．

牛顿12岁时才进入离家不远的格兰瑟姆中学习．牛顿的母亲原希望他成为一个农民，赡养家庭，但牛顿本人却酷爱读书，以致经常忘了干活．随着年岁增大，牛顿越发爱好读书，喜欢沉思，做科学小试验．他在格兰瑟姆中学读书时，曾寄寓在一位药剂师家里，使他受到化学实验的熏陶．牛顿在中学时代学习成绩并不出众，只是爱好读书，对自然现象有好奇心，例如颜色、日影四季的移动，尤好几何学、哥白尼的日心说等等．他还分门别类地记读书心得笔记，又喜欢别出心裁地做些小工具、小技巧刁、发明、小试验·当时英国社会

渗入基督教新教思想，牛顿家里有两位都以神父为职业的亲戚，这可能影响牛顿晚年的宗教生活． 从这些平凡的环境和活动中，看不出幼年的牛顿是一个才能出众异于常人的儿童．然而格兰瑟姆中学的校长J．斯托克斯，还有牛顿的一位当神父的叔父W.艾斯库别具慧眼，鼓励牛顿上大学读书．在他们的鼓励下，牛顿于1661年以减费生的身份进入剑桥大学三一学院，1664年成为奖学金获得者，1665年获学士学位．

17世纪中叶，剑桥大学的教育制度还浸透着浓厚的中世纪经院哲学的气味．当牛顿进入剑桥大学时，那里还在传授一些经院式课程，如逻辑、古文、语法、古代史、神学等等．两年之后三一学院出现了新气象．H．卢卡斯创设了一个独辟蹊径的讲座，规定讲授自然科学知识如地理、物理、天文和数学课程．讲座的第一任教授就是巴罗．在巴罗的指导下，牛顿掌握了算术、三角，学习了欧几里得的《几何原理》．并阅读了开普勒的《光学》、笛卡儿的《几何学》和《哲学原理》、伽利略的《关于托勒密与哥白尼两大世界体系的对话》

R．胡克的《显微图集》和华莱士（(J. Wallis,1616-1703)的《无穷算术》等著作，特别是笛卡儿的《几何学》和华莱士的《无穷算术》对他数学思想的形成尤为重要． 1665年8月，剑桥大学因为瘟疫流行而停课放假，牛顿回到故乡乌尔斯索普．在家乡躲避瘟疫的这两年间，牛顿思考了自然科学领域中的一些前人从未思考过的问题，踏进前人没有涉及的领域，创建前所未有的惊人业绩．1665年初他创立了级数近似法以及把任何幂的二项式化为一个级数的规则。同年11月，创立了正流数法（微分）；次年1月，研究颜色理论；5月，开始研究反流数法（积分）．

这一年内，牛顿还开始研究重力问题，并试图把重力理论推广到月球的运行轨道上去．他还从开普勒定律中推导出使行星保持在它们轨道上的力必定与它们到旋转中心的距离平方成反比．牛顿见苹果落地而悟出地球引力的传说，说的也是在此时发生的轶事．总之，在家乡居住的这两年中，是牛顿科学生涯的黄金岁月，他一生中的许多重大科学思想和创造都是在这短短两年期间孕育、萌发和形成的。 1667年牛顿重返剑桥大学，10月1日被选为三一学院的仲院侣，次年3月16日选为正院侣．巴罗对牛顿的才能非常赏识， 1669年10月27日巴罗便让年仅26岁的牛顿接替他担任卢

卡斯讲座的教授．1672年起他被接纳为皇家学会会员，1703年被选为皇家学会主席直到逝世．其间牛顿和国内外科学家通信最多的有R 卡斯讲座的教授．1672年起他被接纳为皇家学会会员，1703年被选为皇家学会主席直到逝世．其间牛顿和国内外科学家通信最多的有R.玻意耳、J．柯林斯、J．夫拉姆斯蒂德、D．格雷果理、E．哈雷、胡克、C．惠更斯、G. W. F.von莱布尼茨和J．沃利斯等．牛顿在写作《自然哲学之数学原理》之后，厌倦了大学教授的生活，他得到在大学学生时代结识的一位贵族后裔C. 蒙塔古的帮助，于1696年谋得造币厂监督职位，1699年升任厂长，1701年辞去剑桥大学工作．当时英国币制混乱，牛顿运用他的冶金知识，制造新币．因改革币制有功，1705年受封为爵士．晚年研究宗教，著有《圣经里两大错讹的历史考证》等文．牛顿于1797年3月31日在伦敦郊区肯辛顿寓中逝世，以国葬礼于伦敦威斯敏斯特教堂．

牛顿关于微积分问题的研究起始于１６６４年秋，当时他认真研究了笛卡儿的《几何学》，对笛卡儿求曲线的切线方法产生了浓厚的兴趣并试图寻找更好、更一般的方法． 1666年10月，牛顿写出了第一篇关于微积分的论文《流数短论》，在该文中首次提出了流数的概念，所谓流数就是速度，在变速运动中速度是路程对时间的微商．至于速度的变化状况就要用速度的微商来反映，即加速度是速度的微商．

1669年，牛顿又完成了关于微积分的第二篇论文《运用无穷多项方程的分析学》．在这篇论文中，牛顿假定一条曲线且在该曲线下的面积为Ｚ，已知 其中m为正整数或分数，他称x的无限小增量为x的瞬．如图7-5，牛顿将由曲线、x轴、y轴和在x+0处垂直于x轴的直线所围成的面积用Z+0y表示，其中0y是面积的瞬． 因此有 (7. 2)式的右边用二项式定理展开（当m为分数时，是一个无穷级数），由（7. 2） ,(7. 1)，再用0除以两端，并略去含有0的项，则有

因此，面积Z+0y在任意点x处的变化率为 反之曲线 下面的面积为Z+0y. 由此可见，牛顿在这里不仅给出了求一个变量对于另一个变量的瞬时变化率的一般方法，而且还证明了面积可以由求变化率的逆过程得到．这一事实实际上已经初步给出了微积分基本定理．不过也可以明显看出，牛顿在这里回避了运动变化的观点而将无限小增量“瞬”看作是静止的无限小量，并在某些情况下直接令其为0，这就带有了浓厚的不可分量的色彩．

由此可见，牛顿在这里不仅给出了求一个变量对于另一个变量的瞬时变化率的一般方法，而且还证明了面积可以由求变化率的逆过程得到．这一事实实际上已经初步给出了微积分基本定理．不过也可以明显看出，牛顿在这里回避了运动变化的观点而将无限小增量“瞬”看作是静止的无限小量，并在某些情况下直接令其为0，这就带有了浓厚的不可分量的色彩． 1671年，牛顿关于微积分的第3本论著《流数术和无穷级数》写成（1736年出版）．在这部著作中，他恢复了在《流数短论》中采用的运动观点，对以物体运动为背景提出的流数概念作了进一步的论述，并清楚地陈述了流数术

所提出的中心问题是： (1)已知流量间的关系，求流数关系（即微分法）； (2)已知表示量的流数间的关系的方程，求流量间的关系（即积分法）．1676年，牛顿完成了他的第4篇论文《曲线求积论》(1704年发表)，这是他最成熟的一部微积分论著．在这部著作中，他改变了过去那种“略去所有含瞬的项”的做法，认为“数学的量不是由非常小的部分组成的，而是用连续的运动来描述的．”为此他引入了最初比和最后比的概念，并借助于几何解释把流数理解为增量消逝时的最后比，例如，为了求得y = 的流数，他设x变

为x+0，则流量随着变为 由此得到增量变化的最初比 然后令“增量0消逝，它们的最后比就是 这就是x的流数与y= 的流数之比．这就是所谓“首末比方法”，显然，这相当于求一个函数自变量与因变量变化之比的极限．另外，在这篇论文中，他以清晰的形式叙述了微积分基本定理，并系统地引进了他所创造的独特的记法和概念．他称变量为流，称变量的变化率为

流数，并用在字母上面加一点，叫做“记标字母”来表示．这样一来，假定x和y为流量，则它们的流数是x和 y．他甚至还给出了二次流数和三次流数的概念和记法． 牛顿的流数术，除了他的少数朋友之外，长久没有人知道，上述论著也都是在写出很长一段时间后才正式发表的．牛顿微积分学说最早的公开表述是在1687年出版的巨著《自然哲学之数学原理》中，这本书也是在他的朋友哈雷的鼓励和敦促下出版的，这是他一生主要工作的总结，也是科学史上的一件大事．在这部著作中，牛顿以几何的语言介绍了他的“首末比方法”，并对此作出解释：“量在其中消逝的

最后比，严格地说，不是最后量的比，而是无限减少的这些量的比所趋近的极限．它与这个极限虽然比任何给出的差更小，但这些量在无限缩小以前既不能越过也不能达到这个极限．”表现出了牛顿曾经试图以极限方法作为微积分基础的强烈倾向．但牛顿并没有完全放弃无限小的观念，他在创导首末比的同时也保留了无限小瞬即不可分量的思想，尽管这种做法被有些人认为自相矛盾，但客观上也反映了牛顿曾试图对微积分的基础给出不同的解释，这正表明了他对如何建立严格的微积分基础进行了谨慎的思考．

除了对微积分的重要贡献之外，牛顿还在函数理论、无穷级数、微分方程、变分法、代数和解析几何等领域都有杰出贡献．许多人对他由衷的敬佩，连与他同时代的莱布尼茨也对牛顿倍加赞誉：“在从世界开始到牛顿生活的年代的全部数学中，牛顿的工作超过了一半．”拉格朗日更是不吝言辞地说到：“他是历史上最有才能的人，也是最幸运的人—因为这个宇宙体系只能被发现一次．”然而就是这样一位科学巨人，却是十分谦虚的，他曾经说过：“我不知道世人把我看成什么样的人．但是，对于我自己来说，就像一个在海边玩耍的孩子，有时找到一块比较平滑或格外漂亮的贝壳，感到高兴，而在我面前的却是完全没有被发现的真理的海洋”．并称：“如果我比别人看得更远，那只是因为我站在了巨人的肩上”．

7.4 多才多艺的数学大师莱布尼茨 与牛顿分享微积分创立的荣誉的德国数学家莱布尼茨．(Gottfrid WilhelmLeibniz,1646-1716)出生于德国莱比锡，是微积分的另一个奠基者，他的学识包括哲学、历史、生物学、机械、物理、数学、神学等等．莱布尼茨于1661年（15岁）考入莱比锡大学学习法律，同时努力学好各门功课．那时德国大学水平是很低的，欧几里得几何学的教师讲解含糊不清，除了莱布尼茨外，便没有人能听懂．高等数学是完全没有的．1666年莱布尼茨发表了一篇关于数理逻辑的论文，虽然是极不成熟的作品，但已显示出他的数学才能．

1672年，他在巴黎见到了惠更斯，在惠更斯的鼓励下，开始深入研究数学．在1673年访问伦敦时，他会见了许多数学家，学到了不少关于无穷级数的知识，获得了一本巴罗的《几何讲义》，还知道了牛顿的一些工作．回巴黎后，他研究了卡瓦列利、伽利略、帕斯卡、笛卡儿等人的数学著作．他在求积问题的研究中的第一批成果之一是求出一个单位圆的面积是无穷级数1-1/3+1/5-1/7+…的四倍，即于4/=11-1/3+1/5-1/7+…在他以后的研究中，主致力于切线问题以及求积问题，并根据巴罗的“微分三角形”，终于在1684年

（牛顿《自然哲学之数学原理》出版前3年）发表了他的第一篇微分学论文，这是世界上最早的微积分文献．这篇论文有一个很长而古怪的标题：“一种求极大极小和切线的新方法，它也适用于分式和无理量，以及这种新方法的奇妙类型的计算．”这篇仅6页纸、内容并不丰富、说理也颇含混的文章，却具有划时代的意义．它已含有现代的微分符号和基本微分法则：

导数记作dx:dy，在1675年的手稿中记作 dx/dy,，年记作 ,后来在1693年的另一篇 论文中用 表示2阶导数．1684年的论文还给出极值的条件是dy=0，拐点的条件是 莱布尼茨断定一个事实：作为求和过程的积分是微分的逆．这种想法已出现在巴罗和牛顿的著作中，他们用反微分求得面积，但莱布尼茨第一次表达出了求和与微分之间的关系．这一关系的现代表述就是众所周知的牛顿一莱布尼茨公式：

设f (x)是[a,b]上连续，且当 x [a,b] 时，F‘(x)= f (x)，则 这一结论出现在莱布尼茨1677年的一篇手稿中．但在当时，除了这个直率的断言以外，莱布尼茨看不清楚怎样从这样一个粗糙的式子 去得到面积，即怎样从一组矩形得到曲线下的面积．当然，这个困难不仅困扰了牛顿和莱布尼茨，也困扰了17世纪所有的数学家，这主要是因为没有清楚的极限概念．

1686年，莱布尼茨在《学艺》上发表了题为《深奥的几何与不可分量及无限的分析》的第一篇积分论文。在这篇论文中，他初步论述了求积（积分）问题与切线（微分）问题的互逆关系。 莱布尼茨还是历史上最大的符号学者之一，他所创设的微积分符号，远远优于牛顿的符号，这对微积分的发展有极大的影响．他煞费苦心地研究，要把记号选得最好．当然，他的dx,dy，和dx/dy仍然是标准的.对于n阶微分引进 ，甚至对 与n重积分别引进

莱布尼茨在数学方面的成就是巨大的，他的研究及成果渗透到高等数学的许多领域．他的一系列重要数学理论的提出，为后来的数学理论奠定了基础．莱布尼茨曾讨论过负数和复数的性质，得出复数的对数并不存在，共扼复数的和是实数等结论．在后来的研究中，莱布尼茨证明了自己结论是正确的．他还对线性方程组进行研究，对消元法从理论上进行了探讨，并首先引入了行列式的概念，提出行列式的某些理论。此外，莱布尼茨还创立了符号逻辑学的基本概念。1673年莱布尼茨特地到巴黎去制造了一个能进行加、减、乘、除及开方运算的计算机。这是继帕斯卡加法机后，计算工具的又一进步。他还系统地阐述了二进制计数法，并把它和中国的八卦联系起来，为计算机的现代发展奠定了坚实的基础。

莱布尼茨的物理学成就也是非凡的．1671年，莱布尼茨发表了《物理学新假说》一文，提出了具体运动原理和抽象运动原理，认为运动着的物体，不论多么渺小，它将带着处于完全静止状态的物体的部分一起运动．他还对笛卡儿提出的动量守恒原理进行了认真的探讨，提出了能量守恒原理的雏形，并在《教师学报》上发表了《关于笛卡儿和其他人在自然定律方面的显著错误的简短证明》，提出了运动的量的问题，证明了动量不能作为运动的度量单位，并引人动能概念，第一次认为动能守恒是一个普通的物理原理．

他还证明了“永动机是不可能”的观点．他也反对牛顿的绝对时空观，认为“没有物质也就没有空间，空间本身不是绝对的实在性”，“空间和物质的区别就像时间和运动的区别一样，可是这些东西虽有区别，却是不可分离的”．这一思想后来引起了马赫、爱因斯坦等人的关注． 1684年，莱布尼茨在《固体受力的新分析证明》一文中指出，纤维可以延伸，其张力与伸长成正比，因此他提出将胡克定律应用于单根纤维．这一假说后来在材料力学中被称为马里奥特一莱布尼茨理论．

在光学方面，莱布尼茨也有所建树，他利用微积分中的求极值方法，推导出了折射定律，并尝试用求极值的方法解释光学基本定律．可以说莱布尼茨的物理学研究一直是朝着为物理学建立一个类似欧氏几何公理系统的目标前进的． 另外，莱布尼茨对中国的科学、文化和哲学思想十分关注，他是最早研究中国文化和中国哲学的德国人．他向耶稣会来华传教士格里马尔迪了解到了许多有关中国的情况，包括养蚕纺织、造纸印染、冶金矿产、天文地理、数学文字等等，并将这些资料编辑成册出版．他认为中西相互之间应建立一种交流认识的新型关系．

在《中国近况》一书的绪论中，莱布尼茨写到：“全人类最伟大的文化和最发达的文明仿佛今天汇集在我们大陆的两端，即汇集在欧洲和位于地球另一端的东方的欧洲—中国．”“中国这一文明古国与欧洲相比，面积相当，但人口数量则已超过”．“在日常生活以及经验地应付自然的技能方面，我们是不分伯仲的．我们双方各自都具备AA fn2i:交A使对方受益的技能．在思考的填密和理性的思辨方面，显然我们要略胜一筹”，但“在时间哲学，即在生活与人类实际方面的伦理以及治国学说方面，我们实在是相形见绌了”

莱布尼茨和牛顿将积分和微分真正沟通起来，明确地找到了两者内在的直接联系：微分和积分是互逆的两种运算，而这是微积分建立的关键所在．只有确立了这一基本关系，才能在此基础上构建系统的微积分学，并从对各种函数的微分和求积公式中，总结出共同的算法程序，使微积分方法普遍化，发展成用符号表示的微积分运算法则．因此，微积分“是牛顿和莱布尼茨大体上完成的，但不是由他们发明的”． 然而关于微积分创立的优先仅，在数学史上曾掀起了一场激烈的争论。实际上，牛顿在微积分方面的研究虽早于莱布尼茨，但莱布尼茨成果的发表则早于牛顿。

剖析牛顿和莱布尼茨创立微积分的过程，可以看到，对于微积分这门新的学科而言，还有许多概念有待澄清。例如，对于无穷小的概念，牛顿曾经作出了三种解释。虽然他自己认为其中以最初比和最终比的观点最为严密，但就这仍被当时的很多数学家认为是不可靠的。莱布尼茨也是一样，虽然他自始至终用了无穷小量方法，但对微分的态度仍是摇摆不定的，时而看做不确定量，时而看做定性的零，有时又看做辅助变量。可以说牛顿和莱布尼茨都没有清楚地理解也没有严密地定义他们的基本概念。这就给今后微积分的进一步发展留下了许多课题，使得18世纪几乎成为分析的时代。

本章问题研究： （1）在古代的数学成果中，有哪些成就可以看做是微积分思想方法的早期萌芽？为什么在那个时代不能导致微积分的一般方法形成？ （2）17世纪对哪些问题的研究导致了微积分的诞生？这一时期的这些数学家是如何解决这些问题的？ （3）牛顿的微积分工作大致可以分为四个时期，在各个时期他的代表作是什么？他对微积分思想方法的认识过程又是怎样的？

（4）除了微积分外，牛顿的数学贡献还有哪些？请查阅相关资料进行整理。 （5）莱布尼茨微积分工作的特点主要是什么？他对微积分发明的主要贡献又有哪些？ （6）莱布尼茨发明微积分以后，在欧洲大陆和英伦三岛之间曾经爆发了一场有关优先权的争论。请收集相关资料，对这场争论给予阐述与评论。 （7）牛顿和莱布尼茨的工作各有什么缺陷，他们给后来的数学家还留下了哪些问题？