第1讲　统计与概率的基本问题

高考定位 1. 对于随机抽样、样本的数字特征、统计图表、回归直线方程、独立性检验、正态分布的考查几乎每年都有一道选择或填空题，属于简单题；2 高考定位　1.对于随机抽样、样本的数字特征、统计图表、回归直线方程、独立性检验、正态分布的考查几乎每年都有一道选择或填空题，属于简单题；2.对于排列组合、古典概型、几何概型的考查也会以选择或填空的形式命题，属于中档以下题目．

[真题感悟] 1．(2014·湖南卷)对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p1，p2，p3，则 (　　)． A．p1＝p2＜p3 B.p2＝p3＜p1 C．p1＝p3＜p2 D.p1＝p2＝p3

解析　由抽样的知识知，三种抽样中，每个个体被抽到的概率都相等，故选D.

2．(2014·山东卷)为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验．所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为[12,13)，[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，……，第五组．如图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为 (　　)．

A．6 B.8 C．12 D.18

答案　C

答案　D

4．(2014·天津卷)某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查．已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4∶5∶5∶6，则应从一年级本科生中抽取________名学生． 答案　60

热点一　统计中的命题热点 [微题型1]　抽样方法 【例1－1】 (1)(2014·潍坊模拟)高三某班有学生56人，现将所有同学随机编号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知5号、33号、47号学生在样本中，则样本中还有一个学生的编号为 (　　)．　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．13 B.17 C．19 D.21

(2)为了研究雾霾天气的治理，某课题组对部分城市进行空气质量调查，按地域特点把这些城市分成甲、乙、丙三组，已知三组城市的个数分别为4，y，z，依次构成等差数列，且4，y，z＋4成等比数列，若用分层抽样抽取6个城市，则乙组中应抽取的城市个数为______________． 解析　(1)从56名学生中抽取4人，用系统抽样方法，则分段间隔为14，若第一段抽出的号码为5，则其它段抽取的号码应为：19,33,47.

答案　(1)C　(2)2

[微题型2]　用样本估计总体 【例1－2】 (2014·青岛质量检测)如图是一容量为100的样本的重量的频率分布直方图，则由图可估计样本重量的中位数为 (　　)． A．11 B.11.5 C．12 D.12.5

解析　设中位数a，则x＝a将频率分布直方图分成两个面积相等的部分，则有0.3＋(a－10)×0.1＝0.5，所以a＝12. 答案　C 探究提高　由频率分布直方图求中位数，可利用中位数是把频率分布直方图分成两个面积相等部分的平行于纵轴的直线的横坐标这一结论求解．

[微题型3]　线性回归方程 【例1－3】 (2014·咸阳模拟)某产品在某零售摊位上的零售价x(元)与每天的销售量y(个)统计如下表： x 16 17 18 19 y 50 34 41 31

答案　B

[微题型4]　独立性检验 【例1－4】 某新闻媒体为了了解观众对央视《开门大吉》节目的喜爱与性别是否有关系，随机调查了观看该节目的观众110名，得到如下的列联表： 女 男 总计 喜爱 40 20 60 不喜爱 30 50 110

答案　99%

答案　C

热点二　排列组合与概率 [微题型1]　排列、组合 【例2－1】 (2014·北京顺义区统练)将4名学生分配到甲、乙、丙3个实验室准备实验，每个实验室至少分配1名学生的不同分配方案共有 (　　)． A．12种 B.24种 C．36种 D.48种

答案　C 规律方法　求解排列组合问题，应按元素的性质或题意要求进行分类，对事件发生的过程进行分步，做到分类标准明确，分步层次清楚，才能保证不“重”、不“漏”．

答案　D 规律方法　(1)解答有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数，常用到计数原理与排列、组合的相关知识．(2)在求基本事件的个数时，要准确理解基本事件的构成，这样才能保证所求事件所包含的基本事件数的求法与基本事件总数的求法的一致性．

答案　D

规律方法　几何概型的概率求解，一般要将问题转化为长度、面积或体积等几何问题．在转化中，面积问题的求解常常用到线性规划知识，也就是用二元一次不等式(或其他简单不等式)组表示区域．几何概型的试验中事件A的概率P(A)只与其所表示的区域的几何度量(长度、面积或体积)有关，而与区域的位置和形状无关．

【训练2－1】 (2014·安徽卷)从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°的共有 (　　)． A．24对 B.30对 C．48对 D.60对

答案　C

答案　C

1．虽然由任何一组不完全相同的数据都可以求出回归直线方程，但只有具有线性相关关系的一组数据才能得到有意义的回归直线方程，求出的方程才具有实际价值；线性相关系数可以是正、是负或是零，线性相关系数为正时表示正相关，为负时表示负相关，反之也成立． 2．区分某一问题是排列问题还是组合问题，关键看选出的元素与顺序是否有关，若交换某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题；若交换任意两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题．也就是说排列问题与选取元素的顺序有关，组合问题与选取元素的顺序无关．

3．排列、组合综合应用问题的常见解法：①特殊元素(特殊位置)优先安排法；②合理分类与准确分步；③排列、组合混合问题先选后排法；④相邻问题捆绑法；⑤不相邻问题插空法；⑥定序问题倍缩法；⑦多排问题一排法；⑧“小集团”问题先整体后局部法；⑨构造模型法；⑩正难则反、等价转化法．

4．几何概型与古典概型的异同：几何概型与古典概型是经常用的两种概率模型，二者的共同点是基本事件是等可能的；不同点是几何概型的基本事件数是无限的，古典概型的基本事件数是有限的． 5．当某事件的概率不易直接求解，但其对立事件的概率易求解时，可运用对立事件的概率公式(若事件A与事件B为对立事件，则P(A)＋P(B)＝1)，即用间接法求概率．