第九章 信道编码 9.1 引言 9.2 信道编码的基本原理 9.3 线性分组码 9.4 循环码 9. 5 卷积码

9.1 引言

在无记忆信道中，噪声独立随机地影响着每个传输码元，因此接收的码元序列中的错误是独立随机出现的，以高斯白噪声为主体的信道属于这类信道。在有记忆信道中，噪声和干扰的影响往往前后相关，错误成串出现。还有些信道既有独立随机差错也有突发性成串差错，称为混合信道。对不同类型的信道，需要设计不同类型的信道编码，才能收到良好效果。按照信道特性和设计的码字类型进行划分，信道编码可以分为纠独立随机差错码、纠突发差错码和纠混合差错码。本章将只讨论纠独立随机差错码。

9.2 信道编码的基本原理 香农的信道编码定理指出：对于一个给定的有扰信道，如果信道容量为C，只要发送端以低于C的信息速率R发送信息，则一定存在一种编码方法，使译码差错概率随着码长的增加，按指数规律下降到任意小的值。这就是说，通过信道编码可以使通信过程不发生差错，或者使差错控制在允许的数值之下。

9.2.1 信道编码的检错和纠错能力 信道编码的检错和纠错能力是通过信息量的冗余度来换取的。为了便于理解，先通过一个简单的例子来说明。例如，要传送A和B两个消息，可以用一个二进制码元来表示一个消息，比如“0” 码代表A， “1”码表示B。在这种情况下，若传输中产生错码，即“0”错成“1”，或“1”错成“0”，接收端将无法检测到差错，因此，这种编码没有检错和纠错能力。

如果用两个二进制码元来表示一个消息，有4种可能的码字，即“00”、 “01”、“10”和“11”。比如规定“00”表示消息A， “11”表示消息B。码字“01”或“10”不允许使用，称为禁用码字，对应地，用来表示消息的码字称为许用码字。如果在传输消息的过程中发生一位错码，则变成禁用码字“01”或“10”，译码器就可判决为有错。这表明在信息码元后面附加一位监督码元以后，当只发生一位错码时，码字具有检错能力。但由于不能判决是哪一位发生了错码，所以没有纠错能力。

编码中的几个定义

信道编码的效用

[例9.2.1]

9.2.2 信道编码的译码方法

一、最大后验概率（MAP）译码

二、最大似然（ML）译码

三、最小汉明距离译码

9.3 线性分组码

图9-3 (n，k）线性分组码为系统码的结构

9.3.1线性分组码的编码 在介绍线性分组码的原理之前，首先我们来看一种简单而又常用的线性分组码——奇偶监督码（也称为奇偶校验码），分为奇数监督码和偶数监督码。无论信息码元有多少，监督码元只有一位。在偶数监督码中，监督码元的加入使得每个码字中“1”的数目为偶数；在奇数监督码中，监督码元的加入使得每个码字中“1”的数目为奇数。

线性分组码的编码原理

生成矩阵和监督矩阵的联系

9.3.2 线性分组码的译码

[例9.3.1]

解：

9.3.3 汉明码

9. 4 循环码 在线性分组码中，有一种重要的码称为循环码。它除了具有线性分组码的一般特点，还具有循环性：若循环码中任一码字的码元循环移位（左移或右移）后仍是该码的一个码字。由于循环码是在严密的现代代数理论的基础上发展起来的，其编码和译码的电路较简单，且它的检、纠错能力较强，目前它已成为研究最深入、理论最成熟、应用最广泛的一类线性分组码。

9.4.1 循环码的码多项式

多项式的按模运算

9.4.2 循环码的生成多项式和生成矩阵

[例9.4.1]

9.4.3 循环码的检错和纠错

9.4.4 循环码的编码和译码电路 循环码最引人注目的特点有两个：一是由于循环码有许多固有的代数结构，从而可以找到各种简单实用的译码方法；二是用反馈线性移位寄存器可以很容易地实现其编码和监督子的计算。

一、循环码的编码电路

图 9-4 （7，4）循环码的编码电路

二、循环码的译码电路

图9-5 （7，4）循环码的译码电路示意图

9.5 卷积码

9.5.1卷积码的解析表示

图9-6 (3， 1， 2)卷积码编码器

一、生成矩阵和监督矩阵

监督矩阵

二、多项式表示

9.5.2卷积码的图形描述 以图9-6所示的（3， 1， 2）卷积码编码器为例来说明其工作过程。假设移位寄存器的起始状态全为零。当第一个输入比特为“0”时，输出的子码为000；若当第一个输入比特为“1”时，输出的子码为111。当输入第二比特时，第一比特右移一位，此时的输出比特显然与当前输入比特和前一输入比特有关。当输入第三比特时，第一比特和第二比特都右移一位，此时的输出比特显然与当前输入比特和前二位输入比特有关。当输入第四比特时，第二比特和第三比特都右移一位，此时的输出比特与当前输入比特和前二个输入比特有关，而这时第一比特已经不再影响当前的输入比特了。编码器在移位过程中可能产生的各种序列，可用树状图来描述。

图9-7给出了卷积码的树状图。由树状图，已知输入信息序列就可以得到输出序列，当输入码元是0时，则由节点出发走上支路；当输入码元是1时，则由节点出发走下支路。例如当输入编码器的信息序列为0110…时，输出的序列为000 111 101 011 … 。

图9-7 卷积码的树状图

9.5.3卷积码的几种译码方法 卷积码有三种主要的译码方法：序列译码、门限译码和最大似然译码。1957年伍成克拉夫(Wozencraft)提出了一种有效的译码方法，即序列译码。1963年梅西(Massey)提出了一种性能稍差，但比较实用的门限译码方法。1967年维特比(Viterbi)提出了最大似然译码法，它又称为维特比译码。门限译码是一种代数译码法，序列译码和维特比最大似然译码都是概率译码。 代数译码利用编码本身得代数结构进行解码，并不考虑信道的统计特性。比如门限译码，它以分组码理论为基础，其主要特点是算法简单，易于实现，但是它的误码性能要比概率译码差。它的译码方法是从线性码的监督子出发，找到一组特殊的能够检查信息位置是否发生错误的方程组，从而实现纠错译码。 概率译码的基本思想是：把已经接收到的序列与所有可能的发送序列相比较，选择其中汉明距离最小的一个序列作为发送序列。维特比译码是目前用得较多的一种译码方法。它是一种最大似然译码，其译码的复杂性均随m按指数增长。最大似然译码对存储器级数较小的卷积码很容易实现，被广泛地应用于现代通信中。随着大规模集成电路技术的发展，对存储器级数较大的卷积码也可以采用最大似然译码。目前维特比译码已经得到了广泛的应用。