3-7 二元高次方程组 用线性方程组的理论讨论二元高次方程组. 给出两个一元多项式有非常数公因式的条件。 引理:设 3-7 二元高次方程组 用线性方程组的理论讨论二元高次方程组. 给出两个一元多项式有非常数公因式的条件。 引理:设 是数域 P上的两个非零多项式,它的系数an ,bm不全为零,则f(x),g(x)在P[x]中有非常数公因式的充分必要条件是,在P[x]中存在非零的次数小于m的多项式u(x)和次数小于n的多项式v(x),使
即P[x]中存在非零的次数小于m的多项式u(x)和次数小于n的多项式v(x),使 证明:必要性 设d(x)是f(x),g(x)的非常数公因式,则 f(x)=d(x)f1(x) ;g(x)=d(x)g1(x), 其中 (f1(x) )<n; (g1(x))<m, 取u(x)= g1(x); v(x)= f1(x) , 则u(x)f(x)= g1(x) d(x) f1(x)=v(x)g(x) 即P[x]中存在非零的次数小于m的多项式u(x)和次数小于n的多项式v(x),使
*
把（*）看成是关于um-1，um-2，…，u0， vn-1，vn-2，…，v0的线性方程阻,则恰好是含m+n个未知量,m+n个方程式的线性方程组,存在非零解的充分必要条件是其系数行列式等于零,即在P[x]中存在非零的次数小于m的多项式u(x)和非零的次数小于n的多项式v(x),使得 U(x)f(x)=v(x)g(x) 的充分必要条件是系数行列式为零,系数行列式D的转置行列式就是
**
对任意两个多项式 称行列式(**)为它们的结式,记为R(f,g)
定理9 设 是P[x]中两个多项式,m,n>0,它们的结式R(f,g)=0的充分必要条件是f(x)与g(x)在P[x]中有非常数的公因式或它们的首项系数全为零.
当P是复数域时,两个多项式有非常数公因式与有公共根是一致的 当P是复数域时,两个多项式有非常数公因式与有公共根是一致的.因此对复数域上的多项式f(x),g(x),结式R(f,g)=0的充分必要条件是f(x),g(x)在复数域上有公共根或它们的第一个系数全为零. 结式提供了解二元高次方程组的一个一般的方法. 设f(x,y),g(x,y)是两个复数域上的二 元多项式,求方程组
(***) 在复数域上的全部解. 设 其中系数是关于y的多项式,把它们看成x的多项式时,其结式是关于y的复系数多项式.
定理10 如果(x0,y0) 是方程组(***)的一个复数解,y0是结式Rx(f,g)的一个根; 反过来,如果y0是结式Rx(f,g)的一个复根,那么a0(y0)=b0(y0)=0,或者存在一个复数x0使(x0,y0) 是方程组(***)的一个复数解. 解二元高次方程组的一个方法. (1)求高次方程Rx(f,g)=0的全部根(y); (2)每个根带入到方程组再求(x).
例 求方程组 的解.
思考题 R(f,g)与R(g,f)关系是怎样？ 与一元多项式相仿,二元高阶线性方程组的解的个数与多项式的次数也有一点的联系,感兴趣的同学可以继续研究. 作业:P156-24、26