第6课时　一次二元方程及其应用 回 归 教 材 考 点 聚 焦 归 类 探 究

考 点 聚 焦 第6课时┃ 一元二次方程及其应用 考点1 一元二次方程及其应用 考点1　一元二次方程及其应用 　　含有________个未知数，并且未知数的最高次数是________的整式方程． 　　一般形式：____________________． 　　注意：在一元二次方程的一般形式中要注意强调a≠0. 一 2 ax2＋bx＋c＝0(a≠0) 考点聚焦 归类探究 回归教材

第6课时┃ 一元二次方程及其应用 考点2 一元二次方程的四种解法 直接开平方法 考点2　一元二次方程的四种解法 直接开平方法 适合于(x＋a)2＝b(b≥0)或(ax＋b)2＝(cx＋d)2形式的方程 因式分解法 基本思想 把方程化成ab＝0的形式，得a＝0或b＝0 方法规律 常用的方法主要是运用提公因式法、平方差公式、完全平方公式等因式分解 考点聚焦 归类探究 回归教材

第6课时┃ 一元二次方程及其应用 公 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0, 且b2－4ac≥0时，则x1，2＝______________ 式 法 求根公式 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0, 且b2－4ac≥0时，则x1，2＝______________ 公式法解方程的一般步骤 (1)将方程化成ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的形式； (2)确定a，b，c的值； (3)若b2－4ac≥0，则代入求根公式，得x1，x2；若b2－4ac<0，则方程无实数根 考点聚焦 归类探究 回归教材

第6课时┃ 一元二次方程及其应用 配方法 定义 通过配成完全平方的形式解一元二次方程 配方法解方程的步骤 ①化二次项系数为1；②把常数项移到方程的另一边；③在方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把方程整理成(x＋a)2＝b的形式；⑤运用直接开平方法解方程 考点聚焦 归类探究 回归教材

第6课时┃ 一元二次方程及其应用 考点3 一元二次方程的根的判别式 一元二次方程根的判别式 根的判别式定义 考点3　一元二次方程的根的判别式 一元二次方程根的判别式 根的判别式定义 关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式为b2－4ac.也把它记作Δ＝b2－4ac 判别式与根的关系 (1)b2－4ac>0⇔方程有____________的实数根； (2)b2－4ac＝0⇔方程有____________的实数根； (3)b2－4ac<0⇔方程________实数根 防错提醒 在使用根的判别式解决问题时，如果二次项系数中含有字母，要加上二次项系数不为零这个限制条件 两个不相等 两个相等 没有 考点聚焦 归类探究 回归教材

考点4 (选学)一元二次方程的根与系数的关系 第6课时┃ 一元二次方程及其应用 考点4　(选学)一元二次方程的根与系数的关系 　　一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为x1，x2，则x1＋x2＝－　，x1x2＝　. 　　误区警示：利用一元二次方程根与系数的关系时，要注意判别式Δ≥0. 考点聚焦 归类探究 回归教材

第6课时┃ 一元二次方程及其应用 考点5 一元二次方程的应用 应用类型 等量关系 增长率问题 (1)增长率＝增量÷基础量； 考点5　一元二次方程的应用 应用类型 等量关系 增长率问题 (1)增长率＝增量÷基础量； (2)设a为原来的量，m为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量，则a(1＋m)n＝b；当m为平均下降率时，则a(1－m)n＝b 利率问题 (1)本息和＝本金＋利息； (2)利息＝本金×利率×期数 销售利润问题 (1)毛利润＝售出价－进货价； (2)纯利润＝售出价－进货价－其他费用； (3)利润率＝利润÷进货价 考点聚焦 归类探究 回归教材

归 类 探 究 第6课时┃ 一元二次方程及其应用 探究一 一元二次方程的有关概念 命题角度： 1．一元二次方程的概念； 探究一　一元二次方程的有关概念 命题角度： 1．一元二次方程的概念； 2．一元二次方程的一般式； 3．一元二次方程的解的概念． 考点聚焦 归类探究 回归教材

[2013·牡丹江]若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋5＝0(a≠0)的解是x＝1，则2013－a－b的值是( ) 第6课时┃ 一元二次方程及其应用 例1 [2013·牡丹江]若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋5＝0(a≠0)的解是x＝1，则2013－a－b的值是(　　) A．2018　 B．2008　 C．2014　 D．2012 A 解　析　∵x＝1是一元二次方程ax2＋bx＋5＝0的一个根， ∴a·12＋b·1＋5＝0，∴a＋b＝－5， ∴2013－a－b＝2013－(a＋b)＝2013－(－5)＝2018. 考点聚焦 归类探究 回归教材

第6课时┃ 一元二次方程及其应用 探究二 一元二次方程的解法 命题角度： 1．直接开平方法； 2．配方法； 3．公式法； 4．因式分解法． 探究二　一元二次方程的解法 命题角度： 1．直接开平方法； 2．配方法； 3．公式法； 4．因式分解法． 例2　 解方程：2(x-3)＝3x(x-3). 解　析 可用因式分解法或公式法． 考点聚焦 归类探究 回归教材

第6课时┃ 一元二次方程及其应用 考点聚焦 归类探究 回归教材

第6课时┃ 一元二次方程及其应用 方法点析 利用因式分解法解方程时，当等号两边有相同的含未知数的因式(如例2)时，不能随便先约去这个因式，因为如果约去则是默认这个因式不为零，那么如果此因式可以为零，则方程会失去一个根，出现漏根错误．所以应通过移项，提取公因式的方法求解． 考点聚焦 归类探究 回归教材

例3 [2013·北京]已知关于x的一元二次方程x2＋2x＋2k－4＝0有两个不相等的实数根． 第6课时┃ 一元二次方程及其应用 探究三　一元二次方程根的判别式 命题角度： 1．判别一元二次方程根的情况； 2．求一元二次方程字母系数的取值范围． 例3　 [2013·北京]已知关于x的一元二次方程x2＋2x＋2k－4＝0有两个不相等的实数根． 　　(1)求k的取值范围； 　　(2)若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值． 考点聚焦 归类探究 回归教材

第6课时┃ 一元二次方程及其应用 解　析 (1)根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式的值大于0列出关于k的不等式，求出不等式的解集即可得到k的范围； (2)找出k范围中的整数解确定出k的值，经检验即可得到满足题意的k值． 考点聚焦 归类探究 回归教材

(1)判别一元二次方程有无实数根，就是计算判别式Δ＝b2－4ac的值，看它是否大于0.因此，在计算前应先将方程化为一般式． 第6课时┃ 一元二次方程及其应用 方法点析 　　(1)判别一元二次方程有无实数根，就是计算判别式Δ＝b2－4ac的值，看它是否大于0.因此，在计算前应先将方程化为一般式． 　　(2)注意二次项系数不为零这个隐含条件． 考点聚焦 归类探究 回归教材

探究四 (选讲)一元二次方程根与系数的关系 第6课时┃ 一元二次方程及其应用 探究四　(选讲)一元二次方程根与系数的关系 命题角度： 1．利用根与系数的关系计算两根之和与两根之积； 2．利用根与系数的关系求有关两根的代数式的值； 3．利用根与系数的关系求方程中未知系数的值． 例4　 [2013·荆州]已知：关于x的方程kx2－(3k－1)x＋2(k－1)＝0. 　　(1) 求证：无论k为何实数，方程总有实数根； 　　(2)若此方程有两个实数根x1，x2，且|x1－x2|＝2，求k的值． 考点聚焦 归类探究 回归教材

第6课时┃ 一元二次方程及其应用 解 析 (1)确定判别式的范围即可得出结论； 解　析　 (1)确定判别式的范围即可得出结论； (2)根据根与系数的关系表示出x1＋x2，x1x2，继而根据题意可得出方程，解出即可． 　　解：(1)证明：①当k＝0时，方程是一元一次方程，有实数根； 　　②当k≠0时，方程是一元二次方程， 　　∵Δ＝[－(3k－1)]2－4k×2(k－1)＝(k－1)2≥0， 　　∴无论k为何实数，方程总有实数根． 考点聚焦 归类探究 回归教材

第6课时┃ 一元二次方程及其应用 考点聚焦 归类探究 回归教材

第6课时┃ 一元二次方程及其应用 探究五 一元二次方程的应用 命题角度： 1．用一元二次方程解决变化率问题； 探究五　一元二次方程的应用 命题角度： 1．用一元二次方程解决变化率问题； 2．用一元二次方程解决商品销售问题． 例5　 [2013·淮安]小丽为校合唱队购买某种服装时，商店经理给出了如下优惠条件：如果一次性购买不超过10件，单价为80元；如果一次性购买多于10件，那么每增加1件，购买的所有服装的单价降低2元，但单价不得低于50元．按此优惠条件，小丽一次性购买这种服装付了1200元．请问她购买了多少件这种服装． 考点聚焦 归类探究 回归教材

第6课时┃ 一元二次方程及其应用 解　析　 根据一次性购买多于10件，那么每增加1件，购买的所有服装的单价降低2元，表示出每件服装的单价，进而得出方程，解出即可． 解：设购买了x件这种服装，根据题意得出： [80－2(x－10)]x＝1200， 解得x1＝20，x2＝30， 当x＝30时，80－2(30－10)＝40＜50，不合题意，舍去． 答：她购买了20件这种服装． 考点聚焦 归类探究 回归教材

回 归 教 材 第6课时┃ 一元二次方程及其应用 根的判别式作用大 教材母题 　　无论p取何值，方程(x－3)(x－2)－p2＝0总有两个不等的实数根吗？给出答案并说明理由． 解　　 方法一：原方程可化为x2－5x＋6－p2＝0. 　　方程根的判别式为Δ＝(－5)2－4(6－p2)＝1＋4p2， 　　对任何实数值p，有1＋4p2>0， 　　∴方程总有两个实数根x1＝　　　　　， 　　x2＝　　　　　，且两个根不相等． 考点聚焦 归类探究 回归教材

第6课时┃ 一元二次方程及其应用 　　[点析] 解一元二次方程有配方法、公式法和因式分解法，一般来说，公式法对于解任何一元二次方程都适用，是解一元二次方程的主要方法，但在具体解题时，应具体分析方程的特点，选择适当的方法． 考点聚焦 归类探究 回归教材

已知关于x的一元二次方程x2－(2k＋1)x＋k2＋k＝0. (1)求证：方程有两个不相等的实数根； 第6课时┃ 一元二次方程及其应用 中考预测 　　已知关于x的一元二次方程x2－(2k＋1)x＋k2＋k＝0. 　　(1)求证：方程有两个不相等的实数根； 　　(2)若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5，当△ABC是等腰三角形时，求k的值． 解　析　 (1)先计算出Δ＝1，然后根据判别式的意义即可得到结论； (2)先利用公式法求出方程的解为x1＝k，x2＝k＋1，然后分类讨论：设AB＝k，AC＝k＋1，则当AB＝BC或AC＝BC时，△ABC为等腰三角形，然后求出k的值． 考点聚焦 归类探究 回归教材

第6课时┃ 一元二次方程及其应用 解：(1)证明：∵Δ＝(2k＋1)2－4(k2＋k)＝1＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． 　　∴方程有两个不相等的实数根． 　　(2)解一元二次方程x2－(2k＋1)x＋k2＋k＝0，得 　　x1＝k，x2＝k＋1. 　　当AB＝k，AC＝k＋1，且AB＝BC时，△ABC是等腰三角形，则k＝5； 　　当AB＝k，AC＝k＋1，且AC＝BC时，△ABC是等腰三角形，则k＋1＝5，解得k＝4， 　　所以k的值为5或4. 考点聚焦 归类探究 回归教材