第 二讲　 思想方法概述 角度一 专题一 应用角度例析 角度二 角度三 通法归纳领悟 专题专项训练

1．数形结合的含义 (1)数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法． 数形结合思想通过“以形助数，以数辅形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合．

(2)数形结合包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数形之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质．

2．数形结合的途径 (1)通过坐标系“形题数解”： 借助于直角坐标系、复平面，可以将几何问题代数化．这一方法在解析几何中体现的相当充分(在高考中主要也是以解析几何作为知识载体来考查的)．值得强调的是，“形题数解”时，通过辅助角引入三角函数也是常常运用的技巧(这是因为三角公式的使用，可以大大缩短代数推理)．

实现数形结合，常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②函数与图像的对应关系；③曲线与方程的对应关系；④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义．如等式(x－2)2＋(y－1)2＝4，表示坐标平面内以(2,1)为圆心，以2为半径的圆．

(2)通过转化构造“数题形解”： 许多代数结构都有着相应的几何意义，据此，可以将数与形进行巧妙地转化．例如，将a(a>0)与距离互化；将a2与面积互化，将a2＋b2＋ab＝a2＋b2－2|a||b|cos θ(θ＝60°或θ＝120°)与余弦定理沟通；将a≥b≥c>0且b＋c>a中的a、b、c与三角形的三边沟通；将有序实数对(或复数)和点沟通；将二元一次方程与直线、将二元二次方程与相应的圆锥曲线对应等等．这种代数结构向几何结构的转化常常表现为构造一个图形(平面的或立体的)．另外，函数的图像也是实现数形转化的有效工具之一，正是基于此，函数思想和数形结合思想经常相互渗透，演绎出解题捷径．

利用数形结合讨论方程的解或图像交点

图1

图2 [答案]　(1)B　(2)(0,1)∪(1,4)

　 (1)讨论方程的解(或函数的零点)可构造两个函数，使问题转化为讨论两曲线的交点问题，但用此法讨论方程的解一定要注意图像的准确性、全面性，否则会得到错解. (2)正确作出两个函数的图像是解决此类问题的关键，数形结合应以快和准为原则而采用，不要刻意去数形结合.

解析：选 依题意得，函数f(x)是以2为周期的函数，在同一坐标系下画出函数y＝f(x)与函数y＝g(x)的图像，结合图像得，当x∈[－5,5]时，它们的图像的公共点共有8个，即函数h(x)＝f(x)－g(x)在区间[－5,5]内的零点的个数是8. C

利用数形结合解不等式或求参数问题

[解析]　(1)在同一坐标系中，分别作出y＝log2(－x)，y＝x＋1的图像，由图可知，x的取值范围是(－1,0)．

解含参数的不等式时，由于涉及到参数，往往需要讨论，导致运算过程繁琐冗长 解含参数的不等式时，由于涉及到参数，往往需要讨论，导致运算过程繁琐冗长.如果题设与几何图形有联系，那么利用数形结合的方法，问题将会顺利地得到解决.

2．当x∈(1,2)时，不等式(x－1)2<logax恒成立，则a的取值范 围为 (　　) A．(2,3] B．[4，＋∞) C．(1,2] D．[2,4) 解析：选 　设y1＝(x－1)2，y2＝logax，则 y1的图像为如右图所示的抛物线．要使对 一切x∈(1,2)，y1<y2恒成立，显然a>1，并 且只需当x＝2时，logax≥1，所以a≤2， 所以1<a≤2. C

3．(2012·安徽高考)若函数f(x)＝|2x＋a|的单调递增区间是 答案：－6

利用数形结合求最值

[思路点拨]　(1)根据a·b＝0，可化简(a－c)·(b－c)＝ －(a＋b)·c＋1，可根据向量加法的几何意义作图，利用向量a＋b与c的位置关系寻找问题的结论． (2)分式形式的函数的最值问题常考虑构造斜率模型求解，常常是过一个定点和一个动点的直线斜率．

[答案]　(1)D　(2)D

1．应用数形结合的思想应注意以下数与形的转化 (1)集合的运算及韦恩图； (2)函数及其图像； (3)数列通项及求和公式的函数特征及函数图像； (4)方程(多指二元方程)及方程的曲线； (5)对于研究距离、角或面积的问题，直接从几何图形入手进行求解即可； (6)对于研究函数、方程或不等式(最值)的问题，可通过函数的图像求解(函数的零点、顶点是关键点)，做好知识的迁移与综合运用．

2．运用数形结合的思想分析解决问题时，应把握以下三个原则 (1)等价性原则： 在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞，有时，由于图形的局限性，不能完整的表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明，但它同时也是抽象而严格证明的诱导． (2)双向性原则： 在数形结合时，既要进行几何直观的分析，又要进行代数抽象的探索，两方面相辅相成，仅对代数问题进行几何分析(或仅对几何问题进行代数分析)在许多时候是很难行得通的．

例如，在解析几何中，我们主要是运用代数的方法来研究几何问题，但是在许多时候，若能充分地挖掘利用图形的几何特征，将会使得复杂的问题简单化． (3)简单性原则： 就是找到解题思路之后，至于用几何方法还是用代数方法或者兼用两种方法来叙述解题过程，则取决于哪种方法更为简单，而不是去刻意追求代数问题运用几何方法，几何问题运用代数方法．

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