直 线 系 方 程 1. 直线系方程的定义 2.. 直线系方程的应用 四川江油中学现代技术教研组
直线系方程的定义 直线系： 具有某种共同性质的所有直线的集合
直线系方程的种类1: 1.与直线L：Ax+By+C=0平行的直线系方程为： Ax+By+m=0 （其中m≠C）； y o x
直线系方程的种类1: 2．与直线L：Ax+By+C=0垂直的直线系方程为: Bx-Ay+m=0 （m为待定系数）. y x o
直线系方程的种类2: 3. 过定点P（x0，y0）的直线系方程为： A(x-x0)+B(y-y0)＝0 推导： y 设直线的斜率为 o 设直线的斜率为 A(x-x0)+B(y-y0)＝0
直线系方程的种类2: 4. 若直线L1：A1x+B1y+C1=0与直线L2：A2x+B2y+C2=0 相交，交点为P（x0，y0），则过两直线的交点的 直线系方程为：A1x+B1y+C1＋m( A2x+B2y+C2)=0, 其中m为待定系数. y o x
4. 若直线L1：A1x+B1y+C1=0与直线L2：A2x+B2y+C2=0 相交，交点为P（x0，y0），则过两直线的交点的 直线系方程为：A1x+B1y+C1＋m( A2x+B2y+C2)=0, 其中m为待定系数. 证明： 所以 A1x0+B1y0+C1+m(A2x0+B2y0+C2)=0 直线A1x0+B1y0+C1+m(A2x0+B2y0+C2)=0 经过点（x0，y0）
直线系方程的应用: 例1.求证：无论m取何实数时，直线 (m-1)x-(m+3)y-(m-11)=0恒过定点， 并求出定点的坐标。 解法1： 将方程变为： 解得： 即： 故直线恒过
(m-1)x-(m+3)y-(m-11)=0恒过定点， 并求出定点的坐标。 解法2： 令m=1，m= -3代入方程，得： 解得： 所以直线恒过定点
方法小结： 若证明一条直线恒过定点或求一条直线必 过定点，通常有两种方法： 法一:分离系数法，即将原方程改变成： f(x, y)+mg(x,y)=0的形式，此式的成立与 m的取值无关，故从而解出定点。 法二：从特殊到一般，先由其中的两条特 殊直线求出交点，再证明其余直线均过此 交点。
例2: 求过两直线x-2y+4=0和x+y-2=0的交点， 且满足下列条件的直线L的方程。 (1) 过点(2, 1) 解（1）：设经二直线交点的直线方程为： 代（2，1）入方程，得： 所以直线的方程为： 3x+2y+4=0
例2: 求过两直线x-2y+4=0和x+y-2=0的交点， 且满足下列条件的直线L的方程。 (1) 过点(2, 1) 解（2）：将（1）中所设的方程变为： 解得： 由已知： 故所求得方程是： 4x+3y-6=0
小 结: 本题采用先用直线系方程表示所 求直线方程,然后再列式,求出方程的 待定常数,从而最终求得问题的解. 小 结: 本题采用先用直线系方程表示所 求直线方程,然后再列式,求出方程的 待定常数,从而最终求得问题的解. 这种方法称之为待定系数法,在已知 函数或曲线类型问题中,我们都可以 利用待定系数法来求解.
练 习 1 一. 已知直线分别满足下列条件，求直线的方程： y=x 2x+3y-2=0 4x-3y-6=0 x+2y-11=0
5．若直线方程为(2m+1)x+(3m-2)y-18m+5=0 求证：无论m为何值时，所给直线恒过定点。 解: 将方程化为: 得: 解得: 所以无论m为何值,直线均经过定点(4,9/2)
两条直线方程相乘可以构成一个二元二次方程, 如:L1:x+2y-1=0,L2:x-y=0,相乘后就得: x2 +xy-2y2-x+y=0 那么,反过来,如果已知一个二元二次方程是由 两条直线的方程相乘所得,我们也可以先设出这 两条直线的方程,再利用待定系数法求出它们. 请看下面的例子:
例3:问k为何值时，方程3x2+2xy-y2+7x-5y+k=0 表示两条直线？ 解（待定系数法）：将方程化作： 设： 则 解得： 所以： 即：k= -6 时方程表示两条直线。
练 习 1．方程x2-y2=0表示的图形是：———— 2．直线系6x-4y+m=0中任一条直线与直线 系2x+3y+n=0中的任一条直线的位置关系是 _______. 垂直
3.方程 表示两条直线， 求m的取值范围。 解: 方程应有非负根,故: 所以 2<m 3
完
谢谢使用《直线系方程课件》！ 制作人： 资料： 何志开 编辑： 唐秋明 2000年10月20日