第13讲　二次函数

1．理解二次函数的有关概念，知道给定不共线三点的坐标可以确定一个二次函数． 2．会用描点法画出二次函数的图象，了解二次函数的性质． 3．会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为y＝a(x－h)2＋k的形式，掌握二次函数图象的顶点坐标，说出图象的开口方向，画出图象的对称轴，并能解决简单实际问题． 4．利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解．

二次函数是中考的重点内容： 1．直接考查二次函数的概念、图象和性质等． 2.实际问题情境中构建二次函数模型，利用二次函数的性质来解释、解决实际问题． 3.在动态的几何图形中构建二次函数模型，常与方程、不等式、几何知识等结合在一起综合考查． 4．体现数形结合思想、转化的思想、方程的思想．

1．(2015·苏州)若二次函数y＝x2＋bx的图象的对称轴是经过点(2，0)且平行于y轴的直线，则关于x的方程x2＋bx＝5的解为( ) A．x1＝0，x2＝4　　　　　　 B．x1＝1，x2＝5 C．x1＝1，x2＝－5 D．x1＝－1，x2＝5 D

B

3．(2015·嘉兴)如图，抛物线y＝－x2＋2x＋m＋1交x轴于点A(a，0)和B(b，0)，交y轴于点C，抛物线的顶点为D 3．(2015·嘉兴)如图，抛物线y＝－x2＋2x＋m＋1交x轴于点A(a，0)和B(b，0)，交y轴于点C，抛物线的顶点为D.下列四个判断：①当x>0时，y>0；②若a＝－1，则b＝4；③抛物线上有两点P(x1，y1)和Q(x2，y2)，若x1<1<x2，且x1＋x2>2，则y1>y2；④点C关于抛物线对称轴的对称点为E，点G，F分别在x轴和y轴上，当m＝2时，四边形EDFG周长的最小值为6，其中正确判断的序号是( ) A．①　　　　B．②　　　　C．③　　　　D．④ C

二次函数的图象性质 D 【解析】结合直观图象，利用二次函数的图象和性质，逐个判断．

2．(2014·新疆)对于二次函数y＝(x－1)2＋2的图象，下列说法正确的是( ) A．开口向下　　　　　 B．对称轴是x＝－1 C．顶点坐标是(1，2) D．与x轴有两个交点 C

利用图象判断a，b，c的符号 3．(2015·安徽)如图，一次函数y1＝x与二次函数y2＝ax2＋bx＋c图象相交于P，Q两点，则函数y＝ax2＋(b－1)x＋c的图象可能是( ) A

4．(2015·深圳)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如下图所示，下列说法正确的个数是( ) ①a＞0；②b＞0；③c＜0；④b2－4ac＞0. A．1个　　　 B．2个　　　 C．3个　　　 D．4个 B

5．(2015·南宁)如图，已知经过原点的抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴是直线x＝－1 5．(2015·南宁)如图，已知经过原点的抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴是直线x＝－1.下列结论中：①ab＞0，②a＋b＋c＞0，③当－2＜x＜0时，y＜0，正确的个数是( ) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 D

6．(2015·泉州)在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2＋bx与y＝bx＋a的图象可能是( ) C

解题时应注意a决定抛物线的开口方向，c决定抛物线与y轴的交点，抛物线的对称轴由a，b共同决定，b2－4ac决定抛物线与x轴的交点情况．当x＝1时，决定a＋b＋c的符号，当x＝－1时，决定a－b＋c的符号，并以此推出其他代数式的符号．

二次函数图象的平移 7．(2015·上海)如果将抛物线y＝x2＋2x－1向上平移，使它经过点A(0，3)，那么所得新抛物线的表达式是__ __． y＝x2＋2x＋3 【解析】先得抛物线方程配方，得y＝(x＋1)2－2，向上平移得y＝(x＋1)2＋c，经过点A(0，3)，代入求c的值．

抛物线的平移：将y＝ax2的图象平移得到y＝a(x＋h)2＋k的图象规则是： ①若h＞0(或h＜0)，则图象______平移______个单位； ②若k＞0(或k＜0)，则图象______平移______个单位．

二次函数图象的平移实际上就是顶点位置的移动，需要先将二次函数解析式转化为顶点式确定其顶点坐标，然后按照“左加右减、上加下减”的规律移动．

确定二次函数的解析式 9．(2014·宁波)如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过A(2，0)，B(0，－1)和C(4，5)三点，求二次函数的解析式． 【解析】待定系数法求二次函数解析式，得出关于a，b，c的三元一次方程组，求得解析式．

二次函数关系式 1．一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)． 2．交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)． 3．顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)．

1．用待定系数法求二次函数解析式，需根据已知条件，灵活选择解析式的形式： (1)若已知图象上三个点的坐标，可设一般式，转化为三元一次方程组； (2)若已知二次函数图象与x轴两个交点的横坐标，可设交点式y＝a(x－x1)(x－x2)； (3)若已知抛物线顶点坐标或对称轴与最大(小)值，可设顶点式y＝a(x－h)2＋k. 2．解题时要充分利用抛物线的轴对称性这一几何性质，有时会带来意想不到的效果．

12．(2015·珠海)已知抛物线y＝ax2＋bx＋3的对称轴是直线x＝1. (1)求证：2a＋b＝0； 二次函数与方程、不等式的联系 12．(2015·珠海)已知抛物线y＝ax2＋bx＋3的对称轴是直线x＝1. (1)求证：2a＋b＝0； (2)若关于x的方程ax2＋bx－8＝0的一个根为4，求方程的另一个根． 【解析】(1)由抛物线y＝ax2＋bx＋3的对称轴是直线x＝1，根据对称轴公式列式化简即可得出结果．(2)根据二次函数与一元二次方程的关系：一元二次方程的两个根是二次函数ax2＋bx－8＝0的图象与x轴交点的横坐标，即两根关于对称轴对称，据此列式求解即可．

二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当y＝0时，就变成了ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，该方程的解是抛物线与x轴交点的________．

13．(2015·宁波)二次函数y＝a(x－4)2－4(a≠0)的图象在2<x<3这一段位于x轴的下方，在6<x<7这一段位于x轴的上方，试求a的值． 解：∵抛物线y＝a(x－4)2－4(a≠0)的对称轴为直线x＝4，而抛物线在6<x<7这一段位于x轴上方，∴抛物线在1<x<2这一段位于x轴上方， 又∵抛物线在2<x<3这一段位于x轴的下方．∴抛物线过点(2，0)，把(2，0)代入抛物线得a＝1

二次函数的应用 14．(2015·安徽)为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤(岸堤足够长)为一边，用总长为80 m的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等．设BC的长度为x m，矩形区域ABCD的面积为y m2. (1)求y与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围； (2)x为何值时，y有最大值？最大值是多少？

【解析】(1)根据三个矩形面积相等，得到矩形AEFD面积是矩形BCFE面积的2倍，可得出AE＝2BE，设BE＝a，则有AE＝2a，表示出a与2a，进而表示出y与x的关系式，并求出x的范围即可；(2)利用二次函数的性质求出y的最大值，以及此时x的值即可．

15．(2015·温州)某农业观光园计划将一块面积为900 m2的园圃分成A，B，C三个区域，分别种植甲、乙、丙三种花卉，且每平方米栽种甲3株或乙6株或丙12株．已知B区域面积是A的2倍，设A区域面积为x(m2)． (1)求该园圃栽种的花卉总株数y关于x的函数表达式； (2)若三种花卉共栽种6 600株，则A，B，C三个区域的面积分别是多少？ (3)已知三种花卉的单价(都是整数)之和为45元，且差价均不超过10元，在(2)的前提下，全部栽种共需84 000元，请写出甲、乙、丙三种花卉中，种植面积最大的花卉总价．

解：(1)∵y＝3x＋12x＋12(900－3x)＝－21x＋10 800，∴该园圃栽种的花卉总株数y关于x的函数表达式为：y＝－21x＋10 800.　 (2)当y＝6 600时，－21x＋10 800＝6 600，解得x＝200.∴2x＝400，900－3x＝300.答：A，B，C三个区域的面积分别是200 m2，400 m2，300 m2.　 (3)种植面积最大的花卉总价为36 000元．  

16．(2014·义乌)受国内外复杂多变的经济环境影响，去年1～7月，原材料价格一路攀升，义乌市某服装厂每件衣服原材料的成本y1(元)与月份x(1≤x≤7，且x为整数)之间的函数关系如下表： 3 4 5 6 7 成本(元/件) 56 58 60 62 64 66 68 8～12月，随着经济环境的好转，原材料价格的涨势趋缓，每件原材料成本y2(元)与月份x的函数关系式为y2＝x＋62(8≤x≤12，且x为整数)．

(1)请观察表格中的数据，用学过的函数相关知识求y1与x的函数关系式； (2)若去年该衣服每件的出厂价为100元，生产每件衣服的其他成本为8元，该衣服在1～7月的销售量p1(万件)与月份x满足关系式p1＝0.1x＋1.1(1≤x≤7，且x为整数); 8～12月的销售量p2(万件)与月份x满足关系式p2＝－0.1x＋3(8≤x≤12，且x为整数)，该厂去年哪个月利润最大？并求出最大利润．

运用二次函数的性质解决生活和实际生产中的最大值和最小值问题的方法： 1．列出二次函数的关系式，要根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围． 2．在自变量取值范围内，运用公式法或配方法求出二次函数的最大值或最小值．