分形几何 ——数学与艺术结合的明珠

海岸线长度问题 二十世纪七十年代，法国数学家曼德尔勃罗特在他的著作中讨论英国海岸线的长度。他发现，这个问题取决于测量所使用的尺度。采用公里做单位，一些几米和几十米的曲折会被忽略，如果采用米做单位，测得的长度会曾加，但厘米以下的量仍然无法反映，测量单位的缩小使测得的长度曾加，由于在自然尺度之间有许多个数量级，这种曾加不会停止，海岸线的长度会趋于无限长。也就是说，长度不是海岸线的定量特征。

数学的不规则图形 实际上，在曼德尔勃朗特的问题提出之前，数学家就曾经构造过多种不规则的几何图形，他们具有和海岸线相似的性质。

Cantor集 Cantor在1883年构造了如下一类集合：取一段欧式长度为l的直线段，将该线段三等分，去掉中间的一段，剩下两段。再将剩下的两段分别三等分，各去掉中间的一段，剩下四段。将这个操作进行下去，直至无穷，可得到一个离散的点集，点数趋于无穷多，而长度趋于零。经无限次操作所得到的离散点集称为Cantor集。

Koch雪花线 瑞典数学家科赫（H.von Koch)在1904年提出了一种曲线，它的生成方法是把一条直线段分成三段，将中间的一段用夹角为60度的两条等长折线来代替，形成一个生成元，然后再把每个直线段用生成元进行代换，经无穷次迭代后就呈现出一条有无穷多弯曲的Koch曲线。

Sierpinski集 首先，将一个等边三角形四等分，得到四个小等边三角形，去掉中间的一个，保留它的边。将剩下的三个小三角形再分别进行四等分，并分别去掉中间的一个，保留它的边。重复操作直至无穷，得到一个面积为零，线的欧式长度趋于无穷大的图形。这个图形被人们称为谢尔宾斯基缕垫。

Sierpinski地毯 其次，将一个正方形九等分，去掉中间的一个，保留四条边，剩下八个小正方形。将这九个小正方形再分别进行九等分，各自去掉中间的一个保留它们的边。重复操作直至无穷。

Sierpinski地毯

Sierpinski海绵 第三，对一个正六面体，将它的每条边进行三等分，即对正六面体进行27等分，去掉体心和面心处的7个小正六面体，剩下20个小正六面体，并保留它们的表面，重复操作直无穷，得到的图形。体积趋于零，而其表面的欧式面积趋于无穷大。

Sierpinski集的共同特点 它们都是经典几何无法描述的图形，是一种“只有皮没有肉”的几何集合。 它们都具有无穷多个自相似的内部结构，任何一个分割后的图形放大后都是原来图形的翻版。

Peano曲线

问题在哪里？ 以上是一些经典几何意义下的“病态”图形，以Koch曲线为例，以一维来度量它，它的长度趋于无穷，而以二维来度量它，它的面积为零，那么，它究竟是几维图形?1维？ 2维？1．？？？？维吗？ 经典的维度定义有问题吗？

经典几何的维度定义 在经典几何下，点被定义成0维的，点没有长度；直线被定义成1维，只有长度，没有面积，平面图形被定义成2维的，有面积，没有体积，立体图形是3维的，有体积。 经典几何讨论的维度都是整数，它们的数值与决定几何形状的变量个数及自由度是一致的，这是一个很自然的想法。

换一个角度看维度 根据相似性来看线段、正方形和立方体的维数。首先把线段、正方形和立方体的边两等分，这样，线段成为长度一半的两条线段，正方形变成边长为原来边长1/2的四个小正方形，而立方体而成为八个小立方体，边长为原来边长的1/2。原来的线段、正方形和立方体分别由2，4，8个把全体分成1/2的相似形组成。而2，4，8可改写成2的1，2，3次方，这里的1，2，3分别与其图形的经验维数相一致。

相似维度的定义 一般地，如果某图形是由把全体缩小为1/a的aD个相似图形构成的，那么此指数D就具有维度的意义。此维数被称为相似维数。 相似维数常用DS表示，按照定义，DS完全没有是整数的必要。如某图形是由全体缩小1/a的b个相似形组成，则 DS=(㏑b)/(㏑a)

我们可以以此计算上述几种图形的相似维度。 Koch曲线：(㏑4)/ (㏑3)=1.2618 Cantor集： (㏑2)/ (㏑3)=0.6309 Sierpinski集：缕垫： (㏑3)/ (㏑2)=1.5850 地毯： (㏑8)/ (㏑3)=1.8927 海绵： (㏑20)/ (㏑3)=2.7268

而Peano曲线的维度是：(㏑4)/ (㏑ 2)=2 Peano曲线能够填满整个正方形也就不足为奇了 从以上图形的生成方式来看，大体上有两种方式：第一种是从初始图形E0按一定原则往下“挖”，得到的新图形的维数小于E0 的欧式维数,常称为降维生成；第二种是在初始图形E0的基础上增加一些线或面，得到的图形E的维数大于E0的欧式维数，这种生成方式常称为升维生成。

相似维数的定义具有很大的局限性，因为只用对具有严格的自相似性的分形，才能使用这个维数，定义适用于包括随机图形在内的任意的维数是很必要的。 波恩大学数学家豪斯道夫1919年从测量的角度引进了Hausdorff维数。

分形的定义 定义1.如果一个集合在欧式空间中的Hausdorff维数DH恒大于其拓扑维数DT，则称该集合为分形集，简称分形。 由Mandelbrot在1982年提出，四年后，他又提出了一个更是实用的定义： 定义2．组成部分以某种方式与整体相似的形体叫分形。

分形理论的应用 生物学：肺（人肺的分形维数约为2.17；血管（血管直径分布的分形维数约为2.3），人脑（人脑表面的皱纹的分形维数约为2.73-2.79）；蛋白质。 地球物理学：海岸线、河流的干流和支流分布、地震研究。 物理学和化学：超导；固体表面；高分子。

天文学，材料科学，计算机图形学，经济学，语言学和情报学

分形的自然观与世界观 递归性，宇宙的创生，生命的生成，思维的生成。 维数与空间，马赫多维原子理论，物理空间的变维性。 变维的中国文化根源。

分形几何的方法论意义

两种数学观