第 18 章 干涉與繞射

18.1 建設性和破壞性干涉 自單一波源產生的波，經過不同的路徑後再交會時，即發生干涉現象；而當波繞過障礙物獲通過小孔時，即發生繞射現象。

同調光源與非同調光源 來自於獨立波源的波是非同調的，它們沒有一定的相位關係。若要產生干涉，則必須要有一定相位關係的同調波方可。自太陽、白熾燈及螢光燈所發出的光是非同條的；而雷射光是同調的。

圖18.1　用同調光照射兩個狹縫

兩波的干涉 如果兩波是同相位的，則其干涉是建設性干涉。如果是 180° 反相位的，則是破壞性干涉。

兩個同相同調波，產生建設性干涉 (18-1) 相位差　 振幅　 (18-2) 強度　 (18-3)

兩反相同調波的破壞性干涉 相位差　 (18-4) 振幅　 (18-5) 強度　 (18-6)

不同路徑產生的相位差 由於確實的長度不同或是經過不同的介質，而造成兩波所行路徑長度的差異，因此能改變兩波間的相位關係。

圖18.4　兩個揚聲器輸入相同的電訊號，聲波經由不同的距離到達觀察者。兩波之間的相位差取決於傳送距離的差。在這個例子中，l2 – l1 = 0.5 ，所以兩波到達觀察者時為反相 聲源 1 聲源 2

不同路徑產生的相位差 建設干涉路程差是波長的整數倍 (18-7) 破壞干涉路程差是半波長的奇數倍 (18-8)

18.1 微波束的干涉 一微波發射器 (T) 及接收器 (R) 為並排架設 ( 圖25.5(a))。兩個對微波而言有很好反射效果的金屬平板 (M) 放置於發射器及接收器對面數公尺處。由發射器發出的微波束必須夠寬，要讓兩個金屬平板都能將微波反射。當下方的平板慢慢地向右移動時，接收器所測得的微波功率會在極大和極小值之間振盪 ( 圖25.5(b))。試估算微波波長為多少？

圖18.5 (a) 微波發射器、接收器及反射板；(b) 測得之微波功率為的函數 在 R 處的功率

對策： 當波由兩個平板反射到接收器並形成建設性干涉時，測到的功率為極大，因此當兩個反射鏡位置的路程差為波長的整數倍時，會得到最大功率。 解答： 當下方的平板距離發射器和接收器較遠時，從它反射回來的波在抵達接收器之前額外多傳送了一段距離。若金屬平板離發射器及接受器夠遠，則微波在射向平板和折返時幾乎是沿著同一條直線。因此這額外的傳送距離大約為 2x。 建設性干涉發生在路程差為波長的整數倍時： 從發生建設性干涉的一個位置到鄰近的另一個位置，路程差必須改變一個波長： 極大值出現在 x = 3.9, 5.2 和 6.5 cm，故 Dx = 1.3 cm，因此

CD 如何讀取 CD 載有資訊在它的上面，而利用一些小坑洞的圖樣將此資訊進行編碼。雷射光同時照射在小坑洞及其周圍表面，而形成建設性或破壞性干涉，因此可以允許將資訊進行二進位編碼。

圖18.6　(a) 一片CD的橫截面圖。雷射光束穿過聚碳酸酯塑膠並由鋁金屬層反射；(b) 在一個螺旋軌道上排列了許多坑洞。坑洞周圍是平坦的鋁金屬面，稱為紋間表面。當雷射從坑洞反射時，它同時也會從兩側的紋間表面反射；(c) 馬達帶動CD以200至500 rpm的轉速旋轉，並保持軌道速率固定。來自雷射的光被半透明反射鏡反射至CD；光經由CD反射之後穿過同一片反射鏡到達偵測器。偵測器則產生與反射光強度變化成正比的電訊號

18.2 邁克森干涉儀 邁克森干涉儀是設計用來偵測因地球的運動而造成光速的改變 。一束同調光照射在鍍銀半反射鏡上：一半反射，另一半穿透。這兩束光行經不同的路徑後再交會。如果路徑長度不同，則交會的波有不同的相位關係，可以形成建設性或破壞性干涉。

18.2 測量空氣的折射率 假設一個 30.0 cm 的透明容器置於邁克森干涉儀的一臂，容器內最初裝有 0℃、1 atm 的空氣。採用真空波長為 633 nm 的光，並調整兩個反射鏡，使亮斑出現在屏幕中央。接著將空氣慢慢地從容器中抽出，屏幕中央區域由亮變暗、再由暗變亮，共發生 274 次 ── 也就是說，總共數到了 274 次亮紋 ( 不包括最初那次的亮紋 )。試計算出空氣的折射率。

解答： 假設在 0℃、1 atm 下空氣的折射率為 n，若真空波長 l0 = 633 nm，則空氣中波長為 l = l0/n。起初，穿過容器中的空氣往返一次的波長數為 此處 d = 30.0 cm，為容器的長度。當空氣被移除後，因 n 減小，波長變長，故波長數減少。假定容器最後完全 (或近乎) 被抽真空，則最後的波長數為 行進波長數的變化，N，等於所觀察到的亮紋數：

因 N = 274，我們可以解出 n。 討論： 這裡所測得的空氣折射率比表18.1中所給的 (n = 1.000293) 稍微小了一些，一個原因是容器並非完全的真空。假如能將容器內的壓力降低到零，我們將會數到較多的條紋，結果也會得到較大的 n 值。

18.3 薄　膜 例如油在水面上形成薄膜，其上介面及下介面的反射會產生干涉現象；這是我們看到彩色條紋的原因。薄膜下介面的反射光線比上介面的反射光線，穿過更多含有物質的路徑。但是，這不是相位差的唯一來源。

圖18.8　(a)由反射光觀看肥皂膜 ( 背景是黑的，所以照片中只有反射光；照相機和光源在薄膜的同一側 )；(b) 薄膜的楔形橫截面，厚度由框頂向底部逐漸增加

圖18.9　薄膜的反射和透射光線 入射光線 反射光線 穿透光線

反射引起的相位改變 如果光線被高折射率介質的邊界所反射，則相位反轉；如果光線被低折射率介質的邊界所反射，則相位不反轉。同時考慮相為反轉及路程差，使我們可以得到何種干涉會發生 (也要記得光在不同介質中會有不同的波長) 。

圖18.10 (a) 一個繩上的脈波朝向慢速介質 ( 單位長度的質量較大 ) 邊界前進；反射脈衝會反相。(b) 脈衝從快速介質反射時不會反相 重弦 輕弦 重弦 輕弦 入射脈衝 入射脈衝 反射脈衝發生反轉 透射脈衝 反射脈衝沒有反轉 透射脈衝

圖18.11　反射所造成的相位改變 高的 n 低的 n 反轉 (相位改變180°) 無反轉 (沒有相位改變)

18.３ 肥皂薄膜的外觀 將一層肥皂薄膜垂直置於空氣中，並觀看其反射光 ( 如圖18.8(a))。薄膜折射率 n = 1.36。(a) 說明為何薄膜頂端是黑色的；(b) 從薄膜上某個點垂直反射的光線中並沒有 504 nm 和 630.0 nm 兩個波長，但介於這兩個波長之間的所有波長則均存在。請問該點的薄膜厚度是多少？(c) 還有沒有哪些波長的可見光會消失不見？

對策： 我們首先畫出前兩條反射光線，並標示出薄膜的折射率及厚度 t (圖18.12)。繪圖可以幫助決定是否有因反射所引起的 180° 相對相位差。由於薄膜頂端是黑色的，故所有的可見光波長均為破壞性干涉。再往薄膜下方，反射光中消失不見的是形成破壞性干涉的波長；我們要同時考慮反射以及光線 2 在薄膜中的額外行進路徑所產生的相位差。我們必須記得要用薄膜中的波長，而不是真空中的波長，因為光線 2 是在薄膜中行進額外的距離。 解答： (a) 在薄膜中的光速比在空氣中的慢。因此，從慢速介質 (薄膜) 反射的光線 1 為反相；從快速介質 (空氣) 反射的光線 2 則不會反相。對任何波長而言，這兩道光線都有的相對相位差。因為重力的影響，薄膜的頂端最薄，底端則最厚。光線 2 因為在薄膜中額外行進一段距離，故和光線 1 之間有相位差。只有一種方法能讓所有波長均維持破壞性干涉，就是讓薄頂端的膜厚遠小於可見光的波長；此時光線 2 在薄膜中額外行進所造成的相位改變會小到可以忽略不計。

(b) 對於垂直薄膜反射 (正向入射) 的光線而言，反射光線 2 的額外行進距離比光線 1 多了 2t，這將在兩者之間造成相位差。由於已經有因為反射所造成的 180° 相對相位差，故路程差 2t 必須是波長的整數倍，以維持破壞性干涉： 假定真空中的波長為 l0,m = 630.0 nm，對於特定 m 值而言，其路程差為 ml。因為在兩個波長之間沒有其它波長會消失不見，故對真空波長為 l0,(m+1) = 504 nm 的光而言，它在薄膜中的路徑差必須等於 m+1 乘以薄膜中的波長。為什麼不是 m-1？這是因為 504 nm 小於 630.0 nm，故需要較多的波長數才能符合 2t 的路徑差。 我們可以解出 m：

因此厚度為 (c) 我們已經知道在 m = 4 及 m = 5 時會消失不見的波長。讓我們來看看其它的 m 值。 對於 m = 3， 這是紅外光而不是可見光。沒有必要再檢查 m = 1 或 2 的情況了，因為它們得到的波長會比 840 nm 還大，這些波長距離可見光波段更遠。因此，我們試看看 m = 6： 這個波長通常可以視為可見光。那麼 m = 7 呢？ 360 nm是紫外光。因此，其它會消失不見的可見光波長只有 420 nm。

光的三原色 RGB 經過實驗發現，人類肉眼對這三種波長的感受特別強烈，只要適當調整這三種光線的強度，就可以讓人類感受到『幾乎』所有的顏色。因此電腦裡頭就用RGB三個數值的大小來標示顏色，每個顏色用8bit來記錄，可以有0~255，共256種亮度的變化，三種乘起來就有一千六百多萬種變化，這也是我們常聽到的24 bit全彩。

光的三原色 RGB 因會光線是越加越亮，因此兩兩混合可以得到更亮的中間色：黃(yellow)、青(cyan)、洋紅(magenta)；三種等量相加可得到白色。

空氣薄層 在兩片光學平板玻璃間，或是在一片光學平板玻璃及一個凸面玻璃間，均能產生空氣薄層。 圖18.12　(a) 兩個載玻片之間夾著一層很薄的空氣間隙。當白光照射時，反射光形成干涉條紋

抗反射膜 選擇折射率適當的物質鍍膜在玻璃上，可以大幅降低反射光 (雖然破壞性干涉僅會確切地發生在某一特殊的波長)。

蝴蝶翅膀 在蝴蝶翅膀上或是一些蛾、鳥及魚身上的光彩變幻的顏色，也是光的干涉或是小鱗片反射光的結果。

圖18.15 (a) 在電子顯微鏡下所看到的大閃蝶翅膀；(b) 從連續兩個階梯狀物質反射的光線產生干涉

變色龍

紙鈔防偽

18.4 楊氏雙狹縫實驗 在楊氏雙狹縫實驗中，同調光穿過兩個狹窄的細縫，落在遠處的屏幕上。通常，垂直狹縫方向而落在屏幕上的光，依其所通過不同的狹縫而有不同的路徑長度，產生的干涉即形成亮紋與暗紋，稱作干涉條紋。當光程差為波長的整數倍時，強度為最大值；而光程差為波長的整數倍再加上半波長時，強度為最小值。形成建設性干涉的點稱作反節點，而破壞性干涉的點稱作節點。

圖18.16 楊氏雙狹縫干涉實驗。(a) 狹縫的幾何形狀；(b) 從狹縫出射的圓柱狀波前以及在屏幕上干涉所形成的條紋圖案

圖18.17 雙狹縫干涉。(a) 屏幕的照片；(b) 屏幕上的光強度為位置的函數；(c) 雙狹縫實驗的惠更斯圖示

雙狹縫干涉 路徑差 (18-9) 雙狹縫極大 (18-10) 雙狹縫極小 (18-11)

18.4 兩平行狹縫的干涉 一束雷射光 (l = 690.0 nm) 用來照射兩個平行狹縫。在距離狹縫 3.30 m 的屏幕上觀察干涉條紋。圖案中央處兩亮紋間距為 1.80 cm，請問兩個狹縫間距是多少？ 圖18.20　範例25.4的雙狹縫實驗圖

解答： 中央亮紋 (m = 0) 位於 q0 = 0，下一個亮紋 (m = 1) 的角度可由下式獲得 圖25.20是上述情況的幾何圖示。從狹縫到 m = 0 及 m = 1 兩個極大值連線的夾角為q1。在屏幕上兩極大值間的距離為 x，狹縫到屏幕的距離是 D。我們可以利用三角學由 x 和 D 算出q1 ： 現在我們將q1 代入 m = 1 極大的條件中。

18.5 光 柵 光柵是由很多的平行狹縫所組成，會形成非常狹窄的亮紋。 18.5 光　柵 光柵是由很多的平行狹縫所組成，會形成非常狹窄的亮紋。 圖18.21　從光柵上各狹縫到屏幕上一點的光線。因為屏幕距離很遠，所以每一條光線之間幾乎平行；它們 ( 幾乎 ) 全部都是以相同的角度離開光柵。因為相鄰兩條狹縫之間的距離為d，所以相鄰兩條光線的路徑差為dsinθ

18.5 光　柵

18.5 光柵上的狹縫間距 明亮的白光照射在一個光柵上，從光柵向所有角度 (-90° 到 +90°) 發射的光曝照至一條細長的圓柱形彩色底片 ( 圖25.22(a))。請估計在光柵上每公分有多少狹縫。 圖18.22

解答： 中央極大 (m = 0) 呈現白色，這是因為所有波長的光在這裡都是建設性干涉。位於中央極大兩側的是第一級極大。首先出現的 (角度最小) 是第一級紫光 (波長最短)，紅色則是最後出現。接著是一段沒有極大值出現的間隙。然後則是從紫色開始的第二級極大。這一段展開的譜線顏色並不像先前那麼純正，原因是在第二級極大結束之前，第三級極大就開始出現。第三級譜線並不完整；我們在兩端 (±90°) 看到的是藍綠色。因此，藍綠光的第三級極大發生在 ±90°。 藍綠光的波長大約在 500 nm 附近 (22.4節 )。對第三級極大採用 l = 500 nm 和 m = 3，我們可以解出狹縫間距 d 。 因此每公分的狹縫數目為

光譜學 光譜學是研究物體放射電磁輻射時的光譜。而光柵是可以用來達到此目的的一種裝置。

圖18.23　光柵分光儀俯視圖 可移動的觀察望遠鏡 平臺 狹縫 光柵 光源 準直透鏡

反射光柵 一個光柵可以是反射式光柵而不是穿透式光柵，除了是藉由反射來看光譜外，其餘功能都是相類似的。

18.6 繞射和惠更斯原理 如果平面波遇到一個大小遠大於波長的障礙物時，幾何光學 (使用光線) 可以良好的描述所發生的狀況。但是，如果障礙物大小類似於波長大小，則會發生繞射。惠更斯原理可以用來解決當繞射發生時的情形。若是考慮接近障礙物的波的所有點波源，我們發現波會彎曲繞過障礙物。障礙物愈小，則波會散的愈開。

圖18.25　(a) 平面波到達一個擋板，波前上各點相當於球面子波的波源；(b) 至 (d) 稍後，初始子波會像新的波源一樣向外傳播；波前會沿著擋板邊緣彎曲

繞射模擬

18.6 繞射與光蝕刻 電腦的 CPU 晶片中大約包含了 108 個電晶體、其它大量的電路元件，以及它們之間的電子連線，這一切都在一個非常小的封裝裡面。有一種用來製作這類晶片的製程技術，稱為光蝕刻。光蝕刻是將一片矽晶圓鍍上一層感光材料。然後將紫外光通過光罩後曝照在晶片上，光罩上面有欲移除材料部分的圖案。接著把晶圓拿去蝕刻，在晶圓上沒有曝照到紫外的區域將不會被蝕刻。在紫外曝照過的區域，感光材料及其下方部分的矽會被移除。為什麼這個製程用紫外會比用可見光好呢？

解答和討論： 光蝕刻製程取決於光罩所形成的陰影清晰度。要製造出包含更多電路元件的微小晶片，光罩上的線條必須盡可能作得很細。但其風險是如果線條做得太細，繞射會把通過光罩的光散開來。為了讓繞射效應減到最少，波長應當要比光罩上的開口小。紫外的波長小於可見光，所以光罩上的開口可以作得較小。X 射線蝕刻則將容許更小的開口。

18.7 單狹縫繞射 若是狹縫的寬度不會太大過波長的大小，則當波穿過此一狹縫時，即會產生繞射。沿著狹縫寬度的各個點所產生的波，會有不同的路徑長度 (利用惠更斯原理)。繞射的花樣會讓人聯想到干涉的花樣，但是實際上是不同的。

圖18.28　單狹縫的繞射。(a) 在屏幕上看到的繞射圖案照片；(b) 光強度 ( 相對於中央極大的百分比 )為頂端和底端的光線路徑差所對應之波長數的函數；(c) 前四個側邊極大發生位置

圖18.29 (a) 狹縫上的每一點為惠更斯子波的波源；(b) 從狹縫中央發出的光比狹縫頂端發出的光傳播了更遠的距離才到達屏幕；此額外距離為½asinθ

單狹縫繞射 單狹縫繞射極小 (25-12)

18.7 單狹縫繞射 在屏幕上觀察 0.020 mm 寬的單狹縫形成的繞射圖案。如果屏幕距離狹縫 1.20 m，光波長為 430 nm，則中央極大區的寬度為多少？ 圖18.30

解答： m = 1 極小出現的角度 q 滿足 我們畫一個簡圖 (圖18.33) 來顯示 m = 1時的 q 角，繞射圖案中央至第一極小的距離 x，以及狹縫到屏幕的距離 D。中央極大的寬度為 2x。由圖18.33， 假定 x << D，則 q 為很小的角度。因此，sinq ~ tanq： 比較一下 x 和 D 值，可以驗證我們先前假定 x << D 是正確的。中央極大區的寬度為 2x = 5.2 cm。

雙狹縫干涉極大值處的強度 在雙狹縫干涉中，中央干涉條紋是最亮的；之後則強度依次遞減，而由於繞射的關係，會有一個包絡線。

18.8 繞射和光學儀器的解析度 大部分的光學儀器會讓光透過一個小孔洞，而繞射則限制了儀器能分辨兩個分開物體的能力。(如果因為繞射而使得影像散得太開，則物體會無法分辨) 。如果波長愈長，則繞射會使得情形變得愈嚴重；而若孔洞愈大，則會變得較好。

瑞立判據 此判據是表示當兩波源繞射時，其中一個波源繞射花樣的中央恰落在另一波源繞射花樣的第一極小處；而當更接近時，則兩者就會像是合而為一。 (18-14)

圖18.34 光穿過圓孔後，角間距為的兩個點光源形成重疊的繞射圖案 圖18.34　光穿過圓孔後，角間距為的兩個點光源形成重疊的繞射圖案 在屏幕上看到的強度 圓形孔洞 兩光源 俯視 屏幕

人類眼睛的解析度 人類視覺的解析度是受瞳孔的直徑所限制。

18.9 X 射線繞射 利用波長不是可見光的波亦可以有繞射現象，但是造成繞射的物體大小是不一樣的。X 射線的波長小於可見光，可被晶體所繞射，因此可以用來判別晶體結構。

圖18.36 (a) X射線入射後由原子平面反射；(b) 對於相鄰兩平面的反射光束找出路徑差的幾何作圖 (18-15)

繞射光學元件 Zone plate (波帶板) HUD (抬頭顯示器) 頭盔顯示器 車用抬頭顯示器

Transformers

Transformers 18歲少年無意中發現他祖父遺留下的一副百年老眼鏡， 而上面竟然有雷射蝕刻的藏寶圖和有關能源寶的資訊。 不料這個差點被他網拍賣掉的能源寶竟是崇尚正義和平的博派及殘暴侵略成性的狂派兩派變形金剛爭奪大戰的關鍵寶物。

18.10 全像術 將雷射光照射在物體上，記錄相位及強度的資訊而成全像片。若是藉由同調光照射而產生影像，則相位資訊可以被重建；因此可以有三維的影像。

全像世界大展 奇幻魅影-全像世界大展

全像照相和一般照相的各種不同性質 一般照相技術 全像照相技術 以透鏡成像的光學系統。 藉由物體光合參考光的干涉。 照相底片是記錄光強大小，而物體光的相位在拍攝過程中損失了。 全像底片既記錄干涉條紋的光強和相位分佈，以及振幅和相位等全部訊息。 用非相干光照明。 用相干光照明。 用一般方法觀察照片的圖像。 用相干光照明，才能使物體光波前再現。 二維的平面圖像。 三維圖像，有立體感。 有正片、負片之分。 沒有正負片的差別。

全像片可以視為無數個微小區域光柵的組合，每一微小區域光柵就如同一個畫素，可以獨立調製光的強度、顏色和方向。這和一般的照相原理有很大的不同，可有下列兩圖看出：

全像片之拍攝佈置

圖18.38 朝不同方向傳播的兩個同調平面波曝照在一個照相平板上。在平板上會形成干涉圖案 圖18.38　朝不同方向傳播的兩個同調平面波曝照在一個照相平板上。在平板上會形成干涉圖案 全像片 亮紋是建設性干涉條紋照射在底片上

全像片重建

圖18.39 同調平面波被一個點狀物體散射。物體散射的球面波與平面波干涉後在照相平板上產生一組圓形的干涉條紋 圖18.39　同調平面波被一個點狀物體散射。物體散射的球面波與平面波干涉後在照相平板上產生一組圓形的干涉條紋 點狀物體 平板

常見的全像 第一種為稱為彩虹全像片。 第二種為Lippmann型全像片。 第三為複合式彩虹全像片。 第四種為壓印型全像片，以上三法的攝製過程均甚為耗時費力，不適合用於大量製造，因此市面上所有有關全像的產品均適用此法製造的，其方法與製造CD、VCD的原理類似，先製造一個金屬模板，然後再壓印到熱塑膠片上即可得到全像片。 第五種為CGH ，電腦全像術的發展也越來越大，最大的特色是它不同於一般全像是用拍的，而需要用到電腦計算在加上特殊的顯像技術系統才能產生，所拍攝出來的全像稱之為 CGH (Computer Generated Hologram)。

雷射防偽標籤

CGH FresnelZone