第16章 複迴歸

前言 只用一個預測變項的迴歸方式，稱為簡單迴歸。將多個有用的預測變項納入迴歸方程式內，以增加迴歸的預測力，減少殘差，稱為複迴歸或多元迴歸（multiple regression）。 複迴歸只是簡單迴歸的延伸，不過在解釋上稍微複雜些而已。

第一節 一般線性模式（1） 有p個預測變項X1, …, Xp Yi = b0 + b1Xi1 + b2Xi2 + … +bpXip + ei, ei ~ N(0, s2) b0，b1， … ，bp為參數；ei服從常態分佈，平均數為0，變異數為s2，且誤差之間彼此獨立。 定義Xi0 = 1，則 Yi = b0 Xi0 + b1Xi1 + b2Xi2 + … +bpXip + ei

第一節 一般線性模式（2） E(Yi) = b0 Xi0 + b1Xi1 + b2Xi2 + … +bpXip 假設樣本數為n，則 Y1 = b0 X10 + b1X11 + b2X12 + … +bpX1p + e1 Y2 = b0 X20 + b1X21 + b2X22 + … +bpX2p + e2  Yn = b0 Xn0 + b1Xn1 + b2Xn2 + … +bpXnp + en

第一節 一般線性模式（3）

第一節 一般線性模式（4）

第一節 一般線性模式（5） Y是量的變項，X變項可以是量的變項，也可以是質的變項。 如果所有的X變項都是量的變項，那麼稱為複迴歸分析（multiple regression analysis）。 如果所有的X變項都是質的變項，就是變異數分析結構模式。 如果有的X變項是質的變項，有些是量的變項，就是共變數分析（analysis of covariance）。

第二節 迴歸係數的估計與檢定(1) 點估計 利用最小平方法估計迴歸線的係數b。也就是要找到一組b的估計式，讓Q最小：

第二節 迴歸係數的估計與檢定(2) 令 為b的估計式，得 b是b的不偏估計式，可當作b的點估計。 X-1表示X矩陣的反矩陣（inverse matrix）。矩陣乘上反矩陣會等於單位矩陣：XX-1 = I。

第二節 迴歸係數的估計與檢定(3) 例子1 利用8歲體重X1和17歲體重X2來聯合預測20歲體重Y，現得到10人資料如表1。求迴歸線。

第二節 迴歸係數的估計與檢定(4)

第二節 迴歸係數的估計與檢定(4)

第二節 迴歸係數的估計與檢定(5) 因此， 8歲體重X1每增加1公斤，20歲體重期望值就增加2.027公斤。但是17歲體重X2每增加1公斤，20歲體重期望值反而減少0.099公斤。 17歲體重和20歲體重的相關為0.77。

第二節 迴歸係數的估計與檢定(6) 區間估計與假設檢定 用MSe替代s2

第二節 迴歸係數的估計與檢定(7) 針對某個bk而言， 是自由度為 n-p-1的t分佈。 bk的（1-a）100%信賴區間是

第二節 迴歸係數的估計與檢定(8) 例子2 利用例子1的資料，估計b0、b1、b2的95%信賴區間，並檢定b1和b2是否為0。 作法

第二節 迴歸係數的估計與檢定(9) 截距、8歲、17歲的標準誤為

第二節 迴歸係數的估計與檢定(10) b0、b1、b2的95％信賴區間分別為

第三節 預測效果的變異數分析 (1) 複迴歸也可以進行預測效果的變異數分析，以檢定這條迴歸線是否有用。 自由度：n-1 自由度：p

第三節 預測效果的變異數分析 (2) 當b1= b2 =…= bp = 0， 會服從F分佈，如果計算的 超過臨界值，就拒絕虛無假設。

第三節 預測效果的變異數分析 (2) 例子2 作法 承例子1，進行預測效果的變異數分析，計算R2和 。 計算X1、X2、Y的平均數分別為28.6、64.5、64.4。利用 計算 。計算SSe和SST，分別為496.70和1480.40。

第三節 預測效果的變異數分析 (3) 拒絕虛無假設，而宣稱迴歸線的效果不等於0。 R2 = 983.72/1480.40 = 0.66。

第四節 平均數的估計誤差 (1) 對於Xh而言，效標變項 的點估計為 當母體變異數未知， 的（1-a）100%信賴區間是

第四節 平均數的估計誤差 (2) 例子3 承例子2，對8歲時體重30公斤，17歲體重50公斤的人而言，他們在20歲時的體重平均數為多少？此母體平均數的95%信賴區間是多少？ 作法

第四節 平均數的估計誤差 (3) 例子3 承例子2，對8歲時體重30公斤，17歲體重50公斤的人而言，他們在20歲時的體重平均數為多少？此母體平均數的95%信賴區間是多少？ 作法

第四節 平均數的估計誤差 (4) 這些人體重平均數的95%信賴區間是

第五節 新觀測值的預測 (1) 新觀測值的預測 的（1-a）100%信賴區間是 「m個」特定的個體的平均數的預測

第五節 新觀測值的預測 (2) 例子4 對某一個8歲時體重30公斤，17歲體重50公斤的人而言，他在20歲時的體重為多少？95%信賴區間？對十個8歲時體重30公斤，17歲體重50公斤的人而言，他們在20歲時的體重平均數為多少？此平均數的95%信賴區間？

第五節 新觀測值的預測 (3) 作法 對那樣的人而言，點估計為66.87公斤，估計變異誤為 因此他的體重的95%的信賴區間為 對這樣十人而言，點估計仍為60.27公斤，估計變異誤為 他們體重的平均數的95%信賴區間是

第六節 標準化迴歸係數 (1) 在眾多的預測變項中，難免各自會使用不同的單位。例如用起薪和年資來預測收入，如果迴歸方程式為 要避免單位不同導致迴歸係數無法直接比較的困擾，可以將所有變項標準化，然後進行複迴歸分析，這些迴歸係數就是標準化迴歸係數。 標準化迴歸係數與原先的迴歸係數的關係：

第六節 標準化迴歸係數 (2) 例子5 作法 計算例子1中8歲和17歲體重的標準化迴歸係數。 = 34.93， = 264.28， = 164.49。b1= 2.027，b2 = -0.099。因此

第七節 共線 (1) 在複迴歸分析裡，有些預測變項間可能會有高度的關連，以致造成迴歸方程式可能會與原先的預期不一樣。

第七節 共線 (2) 8歲體重預測20歲： 17歲體重預測20歲： 8和17歲體重預測20歲： 8歲的係數和17歲的係數未達0.05顯著水準，表示17歲體重來估計20歲體重是無用的。

第七節 共線 (3) 用8歲來預測時，8歲迴歸係數標準誤為0.45。 用17歲來預測時，17歲迴歸係數標準誤為0.18。 用8歲和17歲聯合預測時，標準誤分別變為1.67和0.61，為原來標準誤的3.7和3.4倍。 標準誤膨脹的主因是預測變項間有高關連：8歲體重與17歲體重的相關高達0.96。預測變項間的高相關，就是所謂的多元共線(multicollinearity)現象。

第七節 共線 (4) 為了避免（高度）共線的影響： 1. 將兩個相關過高的預測變項，擇一保留即可。例如用8歲體重預測20歲即可，將17歲捨棄。 2. 分別呈現兩條簡單迴歸線。 再看R2，以8歲體重預測，得R2為0.663。加入17歲體重進行聯合預測變為0.664，表示加入17歲並沒有幫助。在 方面，以8歲體重單獨預測時，得為0.621。加入17歲體重進行聯合預測後反而變為0.569。

第七節 共線 (5) 共線的警訊 1. 迴歸係數正負號與理論不吻合， 2. 加入某一個新的預測變項，會使得原先預測變項的迴歸係數的標準誤大幅的改變， 此時應仔細檢測預測變項間的關連。可以用其他所有預測變項來預測某一個預測變項，如果發現R2很大（如大於0.8），則存在著高度共線，可將這一個預測變項刪除。

第七節 共線 (6) 選定適當的預測變項 1. 預測變項要和效標變項的關連越高越好 2. 預測變項間的相關越小越好。

第八節 多項式迴歸方程式 (1) 一個量的變項X來預測Y，且採用多項式迴歸模式（polynomial regression model）： 第八節 多項式迴歸方程式 (1) 一個量的變項X來預測Y，且採用多項式迴歸模式（polynomial regression model）： 通常先將原始分數減去平均數後所形成的離均差， 加以平方或立方等。這樣可以避免各個預測變項（如一次方項、二次方項、三次方項等）的相關過高， 以致產生所謂的共線。經由此離均差所得到的迴歸方程式，必須再還原回原始分數的方程式，以利解釋。

第八節 多項式迴歸方程式 (2) 例子6 作法 以表1的8歲體重來預測20歲體重，進行迴歸分析，迴歸方程式為兩次方： 第八節 多項式迴歸方程式 (2) 例子6 以表1的8歲體重來預測20歲體重，進行迴歸分析，迴歸方程式為兩次方： 作法 8歲體重平均數為28.6。令8歲體重的離均差為x= X-28.6，並計算x2。

第八節 多項式迴歸方程式 (3) 將x看成X1，x2看成X2，求得R2為0.73， 為0.66。參數估計值和標準誤為： 第八節 多項式迴歸方程式 (3) 將x看成X1，x2看成X2，求得R2為0.73， 為0.66。參數估計值和標準誤為： = 61.85 + 1.64x + 0.08x2 x和x2迴歸係數的標準誤為0.43和0.06。一次方的直線迴歸線就夠用了。

第八節 多項式迴歸方程式 (4) 轉換為原始量尺

第八節 多項式迴歸方程式 (5) 如果用原始量尺，求得R2為0.73， 為0.66。這和用離均差的結果一樣。參數估計值為： 第八節 多項式迴歸方程式 (5) 如果用原始量尺，求得R2為0.73， 為0.66。這和用離均差的結果一樣。參數估計值為： = 81.17 – 2.99X + 0.08X2 X係數的標準誤為3.54，X2係數的標準誤為0.06。因此X和X2係數均未達0.05顯著水準。 和離均差量尺的結果相比，可以發現一次方係數的標準誤從原先的0.43變為現在的3.54。這導致原始量尺的X的係數無法拒絕虛無假設。 x和x2的相關為0.22，X和X2的相關為0.99。

第八節 多項式迴歸方程式 (6)

第九節 預測變項的選擇 (1) 選取預測變項 1. 「反向消除法」（backward deletion），納入所有預測變項，逐一刪除沒有預測效果的變項。 2. 「順向選擇法」（forward selection），選一個最重要的預測變項，逐一納入次重要的變項。 3. 「逐步迴歸法」（stepwise regression），跟順向選擇法類似，在加入新變項之前，還要檢驗已經在迴歸方程式中舊變項是否變得不重要。

第九節 預測變項的選擇 (2) 預測效果的假設檢定 1. 該變項的迴歸係數的t檢定 2. R2差異的F檢定。 加入該變項後的模式稱為擴大模式（full model），加入前的模式稱為縮減模式（reduced model）：

第九節 預測變項的選擇 (3) 階層原則（hierarchy principle）：如果保留高次方的變項（如X2），其他低次方的變項（如X和常數項）就要保留。同理，如果要刪除低次方的變項（如X），就要連高次方的變項（如X2和其他更高階的變項）一起刪除。 源於同一個質變項的虛擬變項（dummy variable）必須同進同出

第九節 預測變項的選擇 (4) 例子7 作法 比較二次方的迴歸方程式的預測效果是否顯著的比一次方（簡單線性）迴歸方程式為佳。 用一次方來預測得 = 0.66，r = 1。用二次方得 = 0.73，f = 2。 這兩個模式的預測效果沒有顯著差異。