7.2 勻速圓周運動和向心力

預測擲出的球的路徑 運動員循水平圓形路徑舞動鏈球。 若鏈子在舞動時突然斷裂，鏈球會沿哪條路徑移動？ 動畫 它會沿路徑 C 移動。 為甚麼？ (p.311)

1 向心力 向心力：引致向心加速的淨力。 向心力 = 質量  向心加速度 F = 或 F = mr2 總是指向圓心 1 向心力 向心力：引致向心加速的淨力。 向心力 = 質量  向心加速度 F = mv 2 r 或 F = mr2 總是指向圓心 與物體的移動方向互相垂直 (F  s)  不會對物體作功

向心力並不是一種新的力。 舞動鏈球： 由連接球的鏈子的張力所提供 錐擺： 由繩子的張力所提供

將 T 分解為兩個分量。 水平分量：提供向心力 T sin  = mr2 T = m2L 垂直分量：抵銷重量 T cos  = mg

實驗 7a - 證明向心力方程 工作紙 答案 視訊

若鏈子突然斷裂，由張力提供的向心力便消失。 向心力和慣性 若鏈子突然斷裂，由張力提供的向心力便消失。 根據牛頓運動第一定律，球會以相同速率，沿直線路徑繼續移動。  循切向離開原先的圓形路徑（路徑 C ）

視訊 從軌道而來的法向反作用力 N 提供向心力。 球沿圓形路徑移動時， 球離開軌道時，N 便消失。 因慣性而繼續沿直線路徑移動。 球 向心力 半圓形的金屬軌道 塑膠珠 球沿圓形路徑移動時， 從軌道而來的法向反作用力 N 提供向心力。 向心力 球離開軌道時，N 便消失。 因慣性而繼續沿直線路徑移動。

假設： 金屬球在最後一圈時，作平面勻速圓周運動。 例題 3 志祥以 90 km h–1 的速率投擲重 7 kg 的鏈球。 連接金屬球的鏈子長度 = 1.2 m 志祥張開手臂後，手與身體中心相距 1 m。 假設： 金屬球在最後一圈時，作平面勻速圓周運動。 鏈球和把手的質量可忽略不計。

(b) 在最後一圈，張力對金屬球作的功 = ？ (a) 鏈子在剛投出前的張力 = ？ 7  90 3.6 2 1.2 + 1 = = mv 2 r T = 1.99  103 N (b) 在最後一圈，張力對金屬球作的功 = ？ ∵ 張力與球的移動方向互相垂直 對球所作的功是零

一個球從 P 點進入管道。球在 Q 點離開管道後，會沿哪條路徑移動？

國華坐在旋轉餐廳的窗戶旁邊。 他的質量 = 65 kg 他的線速率 = 4.36  10–2 m s–1 他感受到的向心力 = ？ = = 進度評估 2 – Q2 國華坐在旋轉餐廳的窗戶旁邊。 他的質量 = 65 kg 他的線速率 = 4.36  10–2 m s–1 他感受到的向心力 = ？ = 65(4.36  10–2)2 25 = mv 2 r 向心力 = 4.94  10–3 N

3 勻速圓周運動的日常例子 汽車在街角轉彎時，會作圓周運動。 路面和輪胎之間的摩擦力 f = 維持汽車在曲線路徑上行駛 的向心力 f = 3 勻速圓周運動的日常例子 a 汽車在平路轉彎 汽車在街角轉彎時，會作圓周運動。 路面和輪胎之間的摩擦力 f = 維持汽車在曲線路徑上行駛 的向心力 mv 2 r f =

可達到的最大摩擦力 fmax = N ： 數值視乎兩個接觸面的本質 摩擦係數， N： 兩個接觸面之間的法向反作用力 N N

 (乾爽路面 )  10  (濕滑路面) 摩擦力不足  汽車會滑出路面 錄像片段 7.3 翻側與滑行

要讓汽車不滑出路面，汽車就不可超過最大速率： fmax = mvmax2 r mvmax2 r mg = vmax2 = gr  若 v > ，汽車就會滑行

例題 4 在一般乾爽路面的  = 0.9 一輛汽車正轉入曲率半徑為 20 m 的彎角。 (a) 求汽車轉彎時的極限速率。 vmax = = = 13.3 m s–1 (47.9 km h–1)

(b) 路面濕滑時， 是 0.4，試計算新的極限速率。 vmax = = = 8.86 m s–1 (31.9 km h–1)

(c) 如果汽車以 50 km h–1 安全轉彎，上述彎角的曲率半徑須怎樣改變？ 彎角的曲率半徑須大幅增加。  在下雨天或路面濕滑時， (or 防滑鋼沙)

這個設計令作用於汽車的 N 的水平分量，提供部分向心力。 b 汽車在傾斜的路面轉彎 有些道路是傾斜的。 這個設計令作用於汽車的 N 的水平分量，提供部分向心力。  減少對路面和輪胎之間摩擦力的依賴。

在理想情況下，法向反作用力的水平分量能完全提供汽車所需的向心力，而不需要摩擦力輔助。 r 水平分量： N sin  = mv 2 r ..... (1) 垂直分量： N cos  = mg ……… (2) tan  = v 2 gr  理想傾斜角度：

例題 5 某公路的曲率半徑 = 300 m 汽車的平均速率 = 80 km h–1 該段公路的理想傾斜角度 = ? v 2 tan  = 9.81  300 tan  = v 2 gr  = 9.52

汽車在傾斜的路面上轉彎。求在下列情況下，所需摩擦力的方向。 例題 6 汽車在傾斜的路面上轉彎。求在下列情況下，所需摩擦力的方向。 N (a) 汽車速率 < 道路平均車速 f mg (b) 汽車速率 > 道路平均車速 N f mg

列車以某個速率行駛時，外軌不須施加橫向推力予列車車輪的凸緣，也能令列車轉彎。 c 在彎位的列車 在港鐵路軌的彎位處，外軌略高於內軌。  列車會略為傾側 列車以某個速率行駛時，外軌不須施加橫向推力予列車車輪的凸緣，也能令列車轉彎。

港鐵列車在沒有傾斜的路軌上轉彎時， 外軌和凸緣會經常承受很大的壓迫。  容易損壞

取消 單車選手轉彎時， 摩擦力  向心力 取消  對單車產生轉矩  單車翻側 要避免翻側，單車選手便要向內側傾斜。 d 在圓形路徑上的單車選手 (Cyclist around a circular track) 單車選手轉彎時， 取消 摩擦力  向心力 取消  對單車產生轉矩  單車翻側 要避免翻側，單車選手便要向內側傾斜。

取消 垂直方向： N = mg 水平方向： f = 對單車手和單手的重心計算轉矩： fh = Nd = Nh tan  tan  = = mv 2 r 水平方向： 取消 對單車手和單手的重心計算轉矩： fh = Nd = Nh tan  f N v 2 gr tan  = =

(a) 巴士在路上以 50 km h–1 的速率轉彎。 圓弧的半徑 = 50 m 輪胎與路面之間的 s = 0.4 進度評估 3 – Q1 (a) 巴士在路上以 50 km h–1 的速率轉彎。 圓弧的半徑 = 50 m 輪胎與路面之間的 s = 0.4 巴士能否在彎路上行駛而不打滑？ vmax = = = 14.0 m s–1 50 3.6 巴士的速率 = = 13.9 m s–1 < vmax  巴士會保持在路上行駛。

(b) 巴士的質量 = 2000 kg 作用於巴士上的摩擦力最大可達多少？ fmax = N = mg 進度評估 3 – Q1 (b) 巴士的質量 = 2000 kg 作用於巴士上的摩擦力最大可達多少？ fmax = N = mg = 0.4  2000  9.81 = 7848 N

汽車以 75 km h–1 的速率轉彎。 圓形路徑的半徑 = 32 m 求理想傾斜角度 。 tan  = tan  = 進度評估 3 – Q2 汽車以 75 km h–1 的速率轉彎。 圓形路徑的半徑 = 32 m 求理想傾斜角度 。 tan  = v 2 gr tan  = 9.81  32 75 3.6 2  = 54.1

汽車以 90 km h–1 的速率轉彎。 圓形路徑的半徑 = 32 m 求理想傾斜角度 。 tan  = tan  = 進度評估 3 – Q2b 汽車以 90 km h–1 的速率轉彎。 圓形路徑的半徑 = 32 m 求理想傾斜角度 。 tan  = v 2 gr tan  = 9.81  32 90 3.6 2  = 63.3

取消 考慮圖中正在左轉的汽車： 水平方向： f1 + f2 = mv 2 r ..... (3) 垂直方向： N1 + N2 = mg e 汽車在平路翻側 考慮圖中正在左轉的汽車： 水平方向： 取消 f1 + f2 = mv 2 r ..... (3) 垂直方向： N1 + N2 = mg ..... (4)

取消 在平衡狀態，對重心沒有淨轉矩。 順時針轉矩 = 逆時針轉矩 f1h + f2h + N1d = N2d ......... (5) mv 2 r h = (N2 – N1)d 根據 (3)， ..... (6) 解方程 (4) 和 (6)， N1 = m 1 2 N2 = m 1 2 ，

取消 1 N2 總是大於 0  右輪總是接觸路面 2 v 2 = 時，N1 = 0  以右輪為支點翻側 drg h 取消  以右輪為支點翻側 3 要安全轉彎，需 N1 > 0，即 v 2 < drg h 4 若 gr < ， drg h d h 即  < 汽車會滑行，但不會翻側

取消 例題 7 賽車重心距離地面 0.3 m。 兩邊輪胎之間的闊度是 1.5 m。 一級方程式賽車 賽車重心距離地面 0.3 m。 兩邊輪胎之間的闊度是 1.5 m。 取消 (a) F1 賽車有甚麼特徵，令它在賽事中可高速轉彎而不翻側？ 重心低， 輪胎之間的距離闊

取消 例題 7 (b) 曲率半徑 = 100 m 翻側前的 vmax（以 km h–1 表示）= ？ 在翻側發生前，N1 = 0 垂直方向： 一級方程式賽車 (b) 曲率半徑 = 100 m 翻側前的 vmax（以 km h–1 表示）= ？ 在翻側發生前，N1 = 0 取消 垂直方向： N2 = mg ... (1) 水平方向： f1 + f2 = mv 2 r ... (2)

取消 例題 7 以賽車重心為支點計算轉矩： h (f1 + f2) =N2d ...... (3) h = mgd 一級方程式賽車 以賽車重心為支點計算轉矩： h (f1 + f2) =N2d ...... (3) 取消 h = mgd mv 2 r 將 (1) 和 (2) 代入 (3)， = 1.5 2  100  10 0.3 v 2 = drg h v = 50 m s–1 = 180 km h–1

f 飛機轉彎 飛機傾斜後，會在空中轉彎。 傾斜角度大  轉急彎 錄像片段 7.4 傾斜的飛機

飛機飛行時，升力 L 作用於飛機，並與機翼互相垂直。 mg

若要在空中轉彎，飛機就需要傾斜機身。 垂直方向： L cos  = mg ......... (7) 水平方向： .... (8) L sin  = mv 2 r 水平方向： .... (8) tan  = v 2 gr 結合 (7) 和 (8)：

飛機在空中轉彎。 傾斜角度 = 30，速率 = 300 km h–1 急彎的曲率半徑 r = ? 根據 tan  = ， r = = 例題 8 飛機在空中轉彎。 傾斜角度 = 30，速率 = 300 km h–1 急彎的曲率半徑 r = ? 根據 tan  = ， v 2 gr = 9.81 tan 30 300 3.6 2 r = v 2 g tan  = 1226 m

g 遊樂場的「旋轉箱」 「旋轉箱」是一個高速旋轉的巨輪， 視訊 達到全速後，便會收起地板。

水平方向：靠在內壁的乘客的 法向反作用力 N 提供了向心力 mv 2 r

避免乘客墜下所需的最小摩擦力係數 min： 垂直方向：摩擦力與乘客的重量平衡 N =  mv 2 r f = mg  gr v 2    避免乘客墜下所需的最小摩擦力係數 min： min = gr v 2

例題 9 一名男子站在直徑為 4 m 的「旋轉箱」內。 4 m 「旋轉箱」以最小角速度 min 轉動。 假設： = 0.556

(a) 最小角速度 min = ？ 轉子的半徑 r = 2 m   = =  min= = 2.97 rad s–1 = gr v 2   gr (r )2 = = g 2r  min= = = 2.97 rad s–1

(b) 男子的線速率 = ? v = r = 2  2.97 = 5.94 m s–1 (c) 以 g 寫出向心加速度的表達式。 根據 a = r2 和 min= ， a = r = g  = g 0.556 = 1.80g

取消 賽車在傾斜的道路上轉彎，彎位的曲率半徑為 r 。 列出以下情況下所需的方程。 (a) 沿垂直方向的淨力是零。 進度評估 4 – Q1 賽車在傾斜的道路上轉彎，彎位的曲率半徑為 r 。 取消 列出以下情況下所需的方程。 (a) 沿垂直方向的淨力是零。 (N1 + N2) cos  = mg

取消 (b) 沿水平方向的淨力相等於向心力。 (N1+N2) sin  +(f1 +f2) cos  = mv 2 r 進度評估 4 – Q1 取消 (b) 沿水平方向的淨力相等於向心力。 (N1+N2) sin  +(f1 +f2) cos  = mv 2 r

飛機的速率 = 250 m s–1 圓形路徑的半徑 = 1.5 km 機翼與水平之間的傾角 = ? 根據 tan  = ， 進度評估 4 – Q2 飛機的速率 = 250 m s–1 圓形路徑的半徑 = 1.5 km 同一角p.320 ??? 機翼與水平之間的傾角 = ? 根據 tan  = ， v 2 gr tan  = 2502 9.81  1.5  103 = 76.8

(p. 326) 1 T

2 T

3 F tan  = v 2 gr (no m)

習題與思考 7.2 取消題8 11/04/2015 交

完