基于R软件的统计模拟 奚 潭 （南京财经大学统计系2006级）

主要内容 1.统计模拟的基本概念 2.赶火车问题 3.R软件的统计模拟功能 4.应用R软件模拟验证大数定律

一、统计模拟的基本概念 （一）统计模拟的定义 统计模拟即是计算机统计模拟，它实质上是计算机建模，而这里的计算机模型就是计算机方法、统计模型(如程序、流程图、算法等)，它是架于计算机理论和实际问题之间的桥梁。它与统计建模的关系如下图。 实际问题 统计、逻辑 模型 计算机模拟（程序、算法） 实际解 统计、计算机解

一、统计模拟的基本概念 （二）统计模拟方法 一般地，统计模拟分类如下： 若按状态变量的变化性质分为连续随机模拟和离散随机模拟。 而按变量是否随时间变化又可分为动态随机模拟和静态随机模拟。 常用的统计模拟方法主要有以下几种： 1.蒙特卡罗法 2.系统模拟方法 3.其它方法：包括Bootstrap(自助法)、MCMC（马氏链蒙特卡罗法）等。

一、统计模拟的基本概念 （三）统计模拟的一般步骤

二、赶火车问题 一列列车从A站开往B站，某人每天赶往B站上车。他已经了解到火车从A站到B站的运行时间是服从均值为30min，标准差为2min的正态随机变量。火车大约下午13：00离开A站，此人大约13:30到达B站。火车离开A站的时刻及概率如表1所示，此人到达B站的时刻及概率如表2所示。问此人能赶上火车的概率有多大？ 表1：火车离开A站的时刻及概率 火车离站时刻 13:00 13:05 13:10 概率 0.7 0.2 0.1 表2：某人到达B站的时刻及概率 人到站时刻 13:28 13:30 13:32 13:34 概率 0.3 0.4 0.2 0.1

二、赶火车问题 ——问题的分析—— 这个问题用概率论的方法求解十分困难，它涉及此人到达时刻、火车离开站的时刻、火车运行时间几个随机变量，而且火车运行时间是服从正态分布的随机变量，没有有效的解析方法来进行概率计算。在这种情况下可以用计算机模拟的方法来解决。

二、赶火车问题 进行计算机统计模拟的基础是抽象现实系统的数学模型 为了便于建模，对模型中使用的变量作出如下假定： ：火车从A站出发的时刻； ：火车从A站到B站的运行时间； ：某人到达B站的时刻； ：随机变量 服从正态分布的均值； ：随机变量 服从正态分布的标准差；

二、赶火车问题 为了分析简化，假定13时为时刻t=0，则变量 、 的分布律为： 5 10 0.7 0.2 0.1 28 30 32 34 0.3 0.4 0.2 0.1 此人能及时赶上火车的充分必要条件为： ，所以此人能赶上火车的概率模型为： 。

二、赶火车问题 R软件求解的总算法： 进入演示 ①借助区间(0,1)分布产生的随机数，对变量 、 概率分布进行统计模拟； 产生随机数 ①借助区间(0,1)分布产生的随机数，对变量 、 概率分布进行统计模拟； 验证模型 ②根据变量 、 、 概率分布及模拟程序、命令产生n 个随机分布数； 关系式 成立 是 否 ③使用随机产生的n 组随机数验证模型中的关系表达式是否成立； 成立次数k=k+1 成立次数不变 ④计算n 次模拟实验中，使得关系表达式成立的次数k ； 试验次数 是否达到n次 否 ⑤当 时，以 作为此人能赶上火车的概率p 的近似估计； 是 计算估计结果 k/n 进入演示

windows(7, 3) prb = replicate(100, { #括号内程序重复100次     x = sample(c(0, 5, 10), 1, prob = c(0.7, 0.2, 0.1))     y = sample(c(28, 30, 32, 34), 1, prob = c(0.3, 0.4, 0.2, 0.1))     plot(0:40, rep(1, 41), type = "n", xlab = "time", ylab = "",         axes = FALSE)     axis(1, 0:40)     r = rnorm(1, 30, 2)     points(x, 1, pch = 15)     i = 0     while (i <= r) {         i = i + 1         segments(x, 1, x + i, 1)         if (x + i >= y)             points(y, 1, pch = 19)         Sys.sleep(0.1)     }     points(y, 1, pch = 19)     title(ifelse(x + r <= y, "poor... missed the train!", "Bingo! catched the train!"))     Sys.sleep(4)     x + r > y }) mean(prb) 进入模拟

三、R软件的统计模拟功能 1、R软件优秀的随机数模拟功能 分布 产生随机数序列命令 参数设置 binomial rbinom() n, size, prob chi-squared rchisq() n, df, ncp exponential exp() n, rate F F() n, df1, df2, ncp normal norm() n,mean,sd Poisson pois() n, lambda Student’s t t() unifom unif() n, min, max

三、R软件的统计模拟功能 2、优良的编程环境和编程语言 R所拥有的好的兼容性、拓展性和强大的内置函数有利于统计模拟的实现。 3、高效率的向量运算功能 使用R拥有的向量运算功能可以大大减少程序运行的时间，提高程序运行的效率。  下面以求解Pi的程序为例加以说明

三、R软件的统计模拟功能 未采用R向量运算功能的程序为： 引入向量运算功能改进后的程序为： mc1<-function(n){ set.seed(1234579) k<-0; x<-runif(n); y<-runif(n); for(i in 1:n){ if(x[i]^2+y[i]^2<1) k<-k+1; } data.frame(Pi=4*k/n) mc1<-function(n){ set.seed(1234579) k<-0; x<-runif(n); y<-runif(n); k <- length(x[x^2+y^2 < 1]) data.frame(Pi=4*k/n) } --> 下面用R软件分别执行两个程序，看看有什么差异 程序1 ...... 程序2

四、应用R软件模拟验证大数定律 1、验证的大数定律有： （1）伯努利大数定理—— 设 是 次独立重复试验中事件 发生的次数。 是事件 在每次试验中发生的概率，则对于任意正数 >0,有 （2）辛钦定理： 设随机变量 相互独立，服从同一分布，且具有数学期望 ， ，则对于任意正数 ，有

四、应用R软件模拟验证大数定律 2、在R软件实现的算法思想： 由大数定律可知，当 ，样本的均值趋向与理论分布的期望，因此利用样本容量 逐渐增大这一趋势来模拟 这一趋势，在这种趋势下，样本的均值与理论分布期望的误差 应该呈现出越来越小的趋势，同时，根据上述思想，分别对五种常用分布下的大数定律进行验证。

四、应用R软件模拟验证大数定律 大数定律模拟算法  进入演示…… ①设置循环的跳跃步长 、 的第一次抽样的样本容量初始值 和上限值 ； ①设置循环的跳跃步长 、 的第一次抽样的样本容量初始值 和上限值 ； 设置参数值 ②利用函数 产生由各模拟样本空间大小组成的m 维序列； 产生m维序列 ③选择随机数 的分布类型，本文中的相关程序仅选择了常用的随机分布：正态分布、指数分布、均匀分布、泊松分布、二项分布、两点分布； 选择分布类型 产生随机数 ④利用R软件产生n个服从同一分布的随机数 ； 计算样本均值y 试验次数 是否达到m次 ⑤计算 （或 ）的值； 否 ⑥若循环次数 i<m ，则回转④，否则转⑦; 是 ⑦以x轴代表样本容量n ，y 轴代表每次抽样所得的样本均值，描绘出整个试验的过程。 绘图  进入演示……

五、应用R软件模拟验证中心极限定理 1、验证的中心极限定理有 （1）独立同分布的中心极限定理： 设随机变量 相互独立，服从同一分布，且具有数学期望和方差： ，则随机变量之和 的标准化变量： 的分布函数对于任意满足：

五、应用R软件模拟验证中心极限定理 （2）De Moivre-Laplace(棣莫弗-拉普拉斯)中心极限定理 设相互独立的随机变量 服从参数为 p 的两点分布，则对于任意实数 x ，有

五、应用R软件模拟验证中心极限定理 中心极限定理模拟算法  进入演示…… ①选择随机变量 的分布类型，主要分布类型有正态分布、指数分布、均匀分布、泊松分布、二项分布和两点分布； 选择分布类型 ②设置模拟试验总次数m 及每次模拟试验中随机变量的个数n 的值; 确定参数m和n 产生随机数 ③利用R软件模拟产生n个服从同一分布的随机数 ； 计算标准化随机变量 ④使用产生的n 个随机数计算标准化随机变量值 设置参数j和step j>m 否 ⑤设置循环变量j 和循环的跳跃步长 ，当 时，重复步骤③、④，直至 ； 是 统计检验和 描述性分析 ⑥对m 个 值进行正态性检验和描述性统计分析，包括直观的QQ图检验、正态性W 检验以及偏度系数、峰度系数、均值和方差。  进入演示……

非常感谢！