Chapter 4 Games in Normal Form I (策略型賽局 I)

賽局理論（Game theory）， 有時也稱為對局論，或者博弈理論，為應用數學的一個分支． 1944年馮·諾曼 (John von Neumann) 與奧斯卡·摩根斯特恩 (Oskar Morgenstern) 合著《賽局理論與經濟行為》，標誌著現代系統博弈理論的的初步形成賽局論． 賽局論主要是對決策者間互動進行分析．

分類 依據賽局者之間的關係可分成合作賽局 (coorperative game) 及不合作賽局 (noncoorperative game)． 合作賽局基本上討論的是群體利益如何實現，而參與不合作賽局的局中人則是以達到個人利益最大化為目的． 本門課主要是以討論不合作賽局論為主．

不合作賽局論依其決策方式又可分成策略型/常規型賽局 (normal form game) 及展開型賽局 (extensive form game)． 在四、五、六三章我們要談的是策略型賽局． 七、八兩章則是展開型賽局．

策略型賽局 Definition 4.1: An n-player normal form game (n 位參賽者的策略型賽局) Γ is a pair Γ = (S, u), where (1)S = S1 × S2 × ⋯ × Sn is a Cartesian product (卡氏積) to the set Si of strategies (策略) of all players i = 1,2,...,n. (2) u = (u1, u2, . . . , un) : S ⟶ Rn is the utility/payoff function, 亦即每個 player 有個 payoff function ui : S ⟶ R.

觀察上面的定義,我們知道所有的 normal form game 必有三個要素: (i) players (賽局者); (ii) strategies (策略); (iii) payoff function/utility function (獲利函數/效用函數). 注意一下,normal form game 並沒有 information 不同的問題,而且和決定策略先 後順序並無關．而依其 preference 的 numerical representation 我們將策略型賽局分 成兩大類:with ordinal preference 及 with von Neumann Morgenstern preference． 這一章我們在介紹的是 with ordinal preference 的情況,with von Neumann Morgenstern preference 的 case 將於下一章介紹．

4.1 Strategic game with ordinal preference

Strategic game with ordinal preferences Definition 4.2: A strategic game with ordinal preferences (or called game strategic form, game in normal form with ordinal payoff) consists of (1) a set of players; (2) for each player, a set of actions; (3) for each player, preferences over the set of action profiles.

由 Chapter 3 的結果，Definition 4 由 Chapter 3 的結果，Definition 4.2 (3) 中的 players’ preferences 可用一般的效用函數 (utility function/payoff function) 來替代． 時間因素並不在我們這裡考慮的範圍內，各個 players 可同時決定，或先後決定策略．但重點是，沒有任何一個 player 有任何的資訊，所以任何人都不知道其他人會做什麼選擇． 底下我們介紹幾個賽局的例子，並將其 players, actions, preference (或 utility functions 均列出來)．至於結果，留待下一節討論．

實例 (Example 4.3 (1)) 這是最有名的賽局問題． 問題陳述：警察抓到兩名竊盜現行犯，懷疑他們和某一銀行搶案有關，現在將兩個嫌疑犯分開偵訊．若兩名犯嫌都承認犯下銀行搶案的話，都求處八年的徒刑；若一人承認，一人否認的話，本著坦白從寬，抗拒從嚴的概念，承認的那個人無罪釋放，不承認的那個人則判 12 年徒刑．如果個人都不承認的話，則依竊盜罪判刑一年．請問這兩個嫌疑犯應如何對應？ 在這裡我們先不看結果如何，我們將整個問題轉換成賽局論的形式：

(C,D) ≻ (D,D) ≻ (C,C) ≻ (D,C); players: 兩個嫌疑犯; actions: 承認 (coorperate; C)或否認 (defect; D); preference: 對第一位嫌疑犯來講, preference 為 (C,D) ≻ (D,D) ≻ (C,C) ≻ (D,C); 第二位嫌疑犯的 preference 為 (D,C) ≻ (D,D) ≻ (C,C) ≻ (C,D)． 若用 utility function 來看的話: 依據判刑時間我們可令 u1(C, D) = 0, u1(D, D) = − 1, u1(C, C ) = − 8, u1(D, C ) = − 12; u2(D, C ) = 0, u2(D, D) = − 1, u2(C, C ) = − 8, u2(C, D) = − 12.

常見的賽局論表格的表示法

另兩種表示法

實例 (Example 4.3 (2)) (Working on a joint project) 問題陳述：大雄和小夫合作寫一份報告，每個人有兩種態度對待：用功 (work hard, WH) 或偷懶 (goof off, GO)．對每個人來講，當然是自己能偷懶，別人用功寫這份報告是最好的，再來是兩人都用功寫報告次之，第三好的狀況為兩個人都偷懶．最差的情形是自己用功，另一個人卻偷懶．請問這兩人應當做怎樣的決定？

players: 大雄及小夫； actions: 用功 (work hard, WH) 或偷懶 (goof off, GO)； preference: 對大雄而言， (GO,WH) ≻ (WH,WH) ≻ (GO,GO) ≻ (WH,GO); 對小夫而言， (WH,GO) ≻ (WH,WH) ≻ (GO,GO) ≻ (GO,WH)． 大雄及小夫的 utility functions 的函數值可依 preference order 的大小隨便令，我們可將兩人的 utility functions 令成任意數，只要大小符合 preference 的順序即可．

實例 (Example 4.3 (3)) (Duopoly) 兩間公司擁有幾乎全部的市場 (例如，拍賣網站、百貨公司)，為了競爭市場的佔有率，他們有兩個選擇：降價 (L) 或維持原價 (H)．最好的狀況是自己降價，對方維持原價，畢竟如此可吸引較多的顧客；再來是兩者都維持原價，兩邊都不佔便宜，不吃虧，而且賺的錢會比較多；第三好的情況是兩邊都降價；最差的狀況則是對方降價，但自己這方則維持原價．我們將此種現象寫成賽局形式．

(L,H) ≻ (H,H) ≻ (L,L) ≻ (H,L); 第二間公司的 preference 為 players: 兩間公司; actions: 降價 (L) 或維持原價 (H); preference: 依題意,第一間公司的 preference 為 (L,H) ≻ (H,H) ≻ (L,L) ≻ (H,L); 第二間公司的 preference 為 (H,L) ≻ (H,H) ≻ (L,L) ≻ (L,H)． Utility functions 的令法可用公司預計損益的金額來代表;例如, u1(L, H ) = 1200, u1(H, H ) = 1000, u1(L, L) = 600, u1(H, L) = − 200; u2(H, L) = 1200, u2(H, H ) = 1000, u2(L, L) = 600, u2(L, H ) = − 200.

賽局可以寫成下列的形式

實例 (Example 4.3 (4)) (Matching pennies) 索隆和喬巴玩擲銅板的遊戲．每個人丟擲一枚銅板，若兩人擲出的結果相同的話 (都是正面或都是反面)，喬巴必須給索隆 1000 貝里，如果兩人丟出的結果是不同的話，索隆必須給喬巴 1000 貝里．其賽局形式為． players: 索隆 (player 1) 及喬巴 (player 2); actions: 正面 (H)、反面 (T); preference: 索隆的偏好: (H,H) ∼ (T,T) ≻ (H,T) ∼ (T,H). 喬巴的偏好: (H,T) ∼ (T,H) ≻ (H,H) ∼ (T,T). 依據兩人賺或賠的錢,這兩人的 utility 會比較好寫．

賽局可以寫成下列的形式