第十組 直線方程式與線性規劃 網頁教學規劃書 數學系99乙 陳囿丞 495402031 盧彥霖 495402055 彭瑋翔 495402110 www.themegallery.com

目 錄 一、數學單元主題教材內容分析 1.直線方程式教材內容與例題 2.線性規劃教材內容與例題 二、學生學習切入點分析與學習規劃 目 錄 一、數學單元主題教材內容分析 1.直線方程式教材內容與例題 2.線性規劃教材內容與例題 二、學生學習切入點分析與學習規劃 三、教學網頁教學目標 四、教學網頁設計理念 五、教學網頁規劃流程 六、參考資料 www.themegallery.com

在直線方程式的部份，我們將循序漸進的引導學生學習 從點斜式到直線方程式的應用，慢慢的了解其中的內涵 直線方程式 教材內容與例題 在直線方程式的部份，我們將循序漸進的引導學生學習 從點斜式到直線方程式的應用，慢慢的了解其中的內涵 www.themegallery.com

直線方程式教材內容 ●教學重點： 1.直線方程式的表現式(基本式、點斜式)及其應用 2.兩線關係之幾何與代數意涵 3.兩線關係物理方面之應用 www.themegallery.com

一.直線方程式的表現式 ●標準式： 1.ax＋by＝c，其中a、b不全為0。斜率為﹣a/b。 2.Ex： 3x＋5y＝9、x＝1 ●點斜式： 1.若已知直線L通過一點(a,b)且斜率為m，則此直線方 程式為(y－b) ＝m(x－a)。 A(a,b) P(x,y) L www.themegallery.com

例題 點斜式之應用一：斜截式 ●Ex1：設L過點(4,5)且斜率為6，則L的方程式為何？ Sol：利用點斜式可知方程式為 (y－5) ＝6(x－4) 移項整理後可得 6x－y＝19 ●Ex2：設L的斜率為m及y軸的截距為b，則L的方程式為何？ Sol：由y軸的截距為b可知此直線通過點(0,b) 利用點斜式可知方程式為 (y－b) ＝m(x－0) 移項整理後可得 y＝mx＋b 點斜式之應用一：斜截式 www.themegallery.com

例題- cont. ●Ex3：設L通過A(a,b)及B(c,d)兩點，則L的方程式為何？ 點斜式之應用二：兩點式 ●Ex3：設L通過A(a,b)及B(c,d)兩點，則L的方程式為何？ Sol：因為L過AB兩點，所以此直線之斜率為(b－d)/(a－c) 利用點斜式可知方程式為(y－b)＝{(b－d)/(a－c)}(x－a) ●Ex4：設L過x、y軸的截距分別為a、b且ab≠0，則L的方程式？ Sol：由x、y軸的截距分別為a、b可知L過點(a,0)及(0,b) 所以此直線斜率為－b/a 利用點斜式可知方程式為y－0＝ (－b/a)(x－a) 移項整理後可得(x/a)＋(y/b) ＝1 點斜式之應用三：斜截式 www.themegallery.com

二.兩線關係之意涵 ●幾何─在坐標平面上，兩直線L1(斜率m1)及L2(斜率m2)有 以下三種關係： ┌ 1.相交於一點┬互相垂直：1.記為L1⊥L2 │ │ 2.若L1⊥L2，則m1m2 ＝－1 │ └不互相垂直 ├ 2.互相平行：1.記為L1 //L2 │ 2.若L1 //L2，則m1＝m2 └ 3.重合：L1＝L2 → m1＝m2 ※注意！此等式有一特例不滿足： 當兩直線分別為鉛直線(斜率不存在) 和水平線(斜率＝0)時。 www.themegallery.com

例題 ●Ex1：設L1：3x＋4y＝－2及L2：4x－3y＝5。則L1及L2的關係為 何？ Sol：L1的斜率＝－3/4；L2的斜率＝4/3又(－3/4)(4/3)＝－1 所以L1垂直於L2 (L1⊥L2)。 ●Ex2：設L1：x＋y＝8及L2：x＋y＝9。則L1及L2的關係為何？ Sol：L1的斜率＝－1；L2的斜率＝－1又－1＝－1 所以L1平行於L2 (L1//L2)。 www.themegallery.com

兩線關係之意涵- cont. ●代數─由於直線方程式L1及L2均為二元一次式，因此兩直線 的關係可等同於探討聯立方程組的解。 ●聯立方程組的解有以下三種情形：┌ L1：a1x＋b1y＝c1 └ L2：a2x＋b2y＝c2 恰有一組解 L1與L2交於一點 a1/b1≠ a2/b2 L1與L2斜率不相等 無解 L1 //L2 a1/b1＝a2/b2≠c1/c2 無限多解 L1與L2重合 a1/b1＝a2/b2＝c1/c2 www.themegallery.com

例題 ●Ex1：設┌L1：3x＋4y＝4。試判斷L1及L2的關係？ └L2：4x－3y＝3 Sol：(1)因為3/4≠－4/3 ≠4/3，所以L1與L2交於一點。 (2)解聯立可得x＝24/25、y＝7/25(一組解)，所以L1與 L2交於一點。 ●Ex2：設┌L1：x＋y＝8。試判斷L1及L2的關係？ └L2：x＋y＝9 Sol：(1)因為1/1＝1/1≠8/9，所以L1與L2平行。 (2)解聯立可得0＝1(無解)，所以L1與L2平行。 www.themegallery.com

三.兩線關係物理方面之應用 ●求△ABC的內、外、重、垂四心： 1.內心I：為三角形三內角平分線的交點。 求法：利用內角平分線定理-求出(線段BD)：(線段DC)的比 利用分點公式-求出D點坐標 利用點斜式-求出直線AD的直線方程式--3 重覆以上步驟可再求得直線BE或CF的直線方程式--4 將3及4式解聯立即得所求！ www.themegallery.com

兩線關係物理方面之應用- cont. 2.外心O：為三角形三邊之垂直平分線的交點。 求法：利用分點公式-求出D點坐標(線段BC之中點) 重覆以上步驟可再求得另外兩條直線方程式--4 將3及4式解聯立即得所求！ www.themegallery.com

兩線關係物理方面之應用- cont. 3.重心G：為三角形三中線的交點。 求法：利用分點公式-求出D點坐標(線段BC之中點) 利用點斜式-求出過A及D點的直線方程式--3 重覆以上步驟可再求得線段BE或CF的直線方程式--4 將3及4式解聯立即得所求！ www.themegallery.com

兩線關係物理方面之應用- cont. 4.垂心H：為三角形三邊高的交點。 求法：利用點斜式-求出過A且垂直線段BC的直線方程式--3 重覆以上步驟可再求得線段BE或CF的直線方程式--4 將3及4式解聯立即得所求！ www.themegallery.com

兩線關係物理方面之應用- cont. ●反射： 1.目標：利用入射角＝反射角解題。 2.Ex：設有一球從A(2,3)丟出，撞上地面後反彈至B(10,5)。 試求球撞擊地面時的坐標(即求P點坐標)。 Sol：因為入射角＝反射角，所以可知 線段AP斜率＝－線段BP斜率 設P(x,0)，則3/(x－2)＝5/(10－x) Ans：(5,0) A B P C O www.themegallery.com

兩線關係物理方面之應用- cont. ●鏡射： 1.目標：求出對稱點之坐標。 2.Ex：有一人站於一面傾斜的鏡子前。試求出鏡子中自己頭的 Sol：設所求坐標為B(a,b) 利用點斜式-求出過A且垂直L的直線方程式M 將L及M解聯立可得兩線之交點C 利用分點公式-求出B點坐標(線段AC之中點) Ans：(41/25,62/25) L：4x+3y=12 O A(1,2) www.themegallery.com

線性規劃的部份，我們會先讓學生們親手代入各種可能 最後，再以我們所提出的解法，讓學生知道該怎麼計算 線性規劃 教材內容與例題 線性規劃的部份，我們會先讓學生們親手代入各種可能 最後，再以我們所提出的解法，讓學生知道該怎麼計算 www.themegallery.com

線性規劃教學重點 線性規劃計算題 1.線性推演 2.代入端點 3.進階應用 線性規劃應用題 1.標準步驟 2.整數解限制 3.特殊限制 www.themegallery.com

線性規劃 1.線性推演 給予不等式組的限制下，在坐標平面上繪出圖形，進而在這“可行解區域”中，欲求目標函數P = ax + by + c的最大值或最小值，可依下列步驟： (1)令目標函數P = ax + by + c = 0 =>繪出基準直線 (2)令目標函數P = ax + by + c = k =>可得一群平行直線 (3)在“可行解區域”中定出最大值點與最小值點。 www.themegallery.com

1.線性推演 Example1 在 的條件下，x+2y的最大值為何？ Sol1： 因此，x+2y的最大值為6 www.themegallery.com

線性規劃 2.代入端點 在線性規劃計算題中，我們發現由一次不等式方成組所決定的可行解區域都是一個多邊形區域。進而一次目標函數P = ax+by+c經過線性推演判定其最大值點及最小值點必發生在此多邊形區域的端點處。 因此我們可以採取代入各端點比大小直接找到最大值與最小值。 www.themegallery.com

2.代入端點 Example2(比較Example1) 在 的條件下，x+2y的最大值為何？ Sol2：代入端點比大小 www.themegallery.com

3.進階應用 Example3： 在 的條件下，試求 目標函數的最大值與最小值？ Sol： www.themegallery.com

線性規劃應用題 解題步驟 (1)列出限制式(不等式組) (2)繪圖 (3)代端點比大小 www.themegallery.com

1.標準步驟 Example4： 南北生技農場今年生產一種植物共1萬公斤，該植物每200公斤可提煉1公斤的中草藥，每5公斤可製成1公斤的健康食品。中草藥每公斤可獲利5000元，健康食品每公斤可獲利100元；根據市場調查每年中草藥最大需求量為30公斤，健康食品最大需求量是1800公斤。如果南北生技農場決定提煉中草藥x公斤，並製成健康食品y公斤，設P為其可獲利潤。 (1)試以x、y表示P。 (2)如果想獲得最大利潤，則x、y的值為何？ www.themegallery.com

1.標準步驟 Sol： (i)列出限制式(不等式組) (ii)繪圖 所以目標函數(獲利)為P = 5000x+100y www.themegallery.com

1.標準步驟 (iii)代端點比大小 因此Ans：(1)P = 5000x+100y (2)(30 , 800) www.themegallery.com

2.整數解限制 Example5： 在面積為72000平方公尺的建築用地上，以不超過六千九百萬元的建築費，建A、B兩種住宅。A種住宅每戶160平方公尺，造價24萬元；B種住宅每戶240平方公尺，造價15萬元。試問A、B各建幾戶時總戶數為最多？ Sol：由線性推演得知 最大值點在 因此，A住戶171戶，B住戶186戶， 最多總戶數為357戶。 www.themegallery.com

3.特殊限制 Example6： 一五金商有二工廠，第一工廠有產品40單位，第二廠有產品50單位，該商人自甲乙兩鎮接獲訂單，甲鎮申購產品30單位，乙鎮申購產品40單位，今假定第一廠產品運用甲鎮每單位運費為10元，運到乙鎮每單位運費為14元，第二廠產品運到每單位運費12元，運到乙鎮每單位運費15元，則第一廠取產品 單位運往甲鎮 單位運往乙鎮較為經濟(即運費多少)？ <心得小語> 條件糾結在一起，但是線性規劃的問題， 通常只能假設兩個變量。 www.themegallery.com

3.特殊限制 Sol：設第一廠運往甲 x 單位，運往乙 y 單位 則第二廠運往乙30-x單位，運往乙40-y單位 (i)列出限制式(不等式組) (ii)繪圖 所以目標函數(運費)為 P = 10x + 14y + 12(30-x) + 15(40-y) = 960 - 2x - y www.themegallery.com

3.特殊限制 (iii)代端點比大小 因此Ans：(30,10)，運費=890元為最少。 www.themegallery.com

學生學習切入點 &學習規劃分析 www.themegallery.com

學生學習切入點分析 在數學這個科目的教學中，如果可以與學生生活有所結合的話，將會有很好的效果，所以製作教學網頁時，除了純粹介紹直線方程式與線性規劃的性質與算法以外，更重要的是，得要讓數學和學生有興趣的東西結合，才能幫助學生思考，所以我們製作網頁時，將從以下幾點切入： www.themegallery.com

1.以學生喜歡的東西，引導學生了解直線的性質，藉以幫助學習。 學生學習切入點分析 1.以學生喜歡的東西，引導學生了解直線的性質，藉以幫助學習。 2.對於一些直線方程式的求法，應讓學生從慢慢“找出”直線方程式的解開始，逐漸的讓學生知道一條直線方程式的求法。 3.關於線性規劃部份，我們鼓勵學生能夠親手操作，代入每一個限制區域裡的點，慢慢歸納出線性規劃的性質。 www.themegallery.com

學習規劃 我們的教學網頁，將從學生日常生活中的各種“有興趣的事物”，來帶領學生進入直線方程式與線性規劃的主題。所以關於學習規劃部分，會在網頁中分成幾個部份，讓學生們先嘗試自己做得出的問題，然後再解決後面一些困難的題目，藉以了解線性規劃的方式。 教學主要放在學生們有興趣的東西^o^ www.themegallery.com

網頁教學目標 www.themegallery.com

網頁教學目標 我們的教學目標有以下幾項： 1.讓學生們了解直線方程式的求法與相關性質。 2.關於線性規劃部份，我們要求學生能運用線性規劃的方法解決日常生活中能看到的問題。 3.希望學生在完成我們網頁的教學後，能更加喜歡數學！ www.themegallery.com

網頁設計理念 www.themegallery.com

數學真好玩 網頁設計理念 1.讓學生們能夠更了解數學！ 2.讓學生們能更加喜歡數學！ 3.讓學生們能主動的玩數學！ www.themegallery.com

教學網頁規劃流程 www.themegallery.com

教學網頁規劃流程 初步規劃，我們主要把教學網頁分成以下幾個小區域 1.獵人協會史： (表現方式：網頁) 讓學生們了解數學的一些歷史 1.獵人協會史： (表現方式：網頁) 讓學生們了解數學的一些歷史 2.獵人指南： (表現方式：網頁) 主要說明直線方程式與線性規劃的定理與性質 3.獵人試驗： (表現方式：flash & 網頁) 利用故事的方式，讓學生們一步一步的解決難題 4.獵人協會留言板 (表現方式：網頁) 讓學生們可以在裡面發問，增加互動性 www.themegallery.com

教學網頁規劃流程 關於上頁教學網頁的規劃，是希望學生不管“有看過”或是“沒看過”直線方程式的課程，都能慢慢的循序漸進，藉以更加了解數學，所以我們會在各種不同地方說明：若是學過此部分的課程，可以跳到後面看較艱深的內容。 除此之外，若學生已經完全學會了這部份的內容，也可以藉由最終測驗來更加了解自己的能力，使自己的功力能夠更上一層樓。 www.themegallery.com

參考資料 www.themegallery.com

參考資料 建國中學數學科學習資料 (活用)高中數學總複習 國立教育資料館歷年考題庫 www.themegallery.com

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