4.6 定积分的应用 主要内容: 1.微元法. 2.平面图形的面积.
一、微元法 用定积分解决的实际问题都有一个固定的模式：求与某个区间 [a, b] 上的变量 f (x) 有关的总量 Q 。这个总量Q 可以是面积、体积、弧长、功等。 解决这类实际问题的关键是将实际问题转化为一个定积分。 我们用如下的步骤去确定这个量 Q 。
求总量 Q 的步骤: （1）分割。用分点 将 [a, b] 分为 n 个子区间。 （2）近似。找一个连续函数 f (x)，使得在第 i 个 子区间[xi-1,xi]中的部分量ΔQi 可以用量 来近似。 （3）求和。将所有这些近似量加起来，得总量的近似值 （4）取极限。当分割无限细密时，得出总量
对上面的求积过程可作如下较为简捷的处理： Δxi用dx表示，和号Σ用积分号∫代替，即用 这样做时，第二步的“近似”是关键。我们在具有代表性的任一小区间 [x ,x+dx] 上，以“匀代不匀”找出微分 dQ = f (x) dx 然后从 a 到 b 积分，就可求出量 Q 。这种在微小的局部上进行数量分析的方法叫做微元法。
微元法的步骤： 1、在区间 [ a ,b ] 上任取一个子区间 [ x , x+dx ]，在该子区间上以不变代变求出总量 Q 的微分 dQ = f (x) dx 2、从 a 到 b 积分得总量 已知质点运动的速度为v (t)，计算在时间区间[a ,b]上质点走过的路程 s 。 例如， 任取一小段时间间隔 [t, t+dt]，在这一段时间 dt 内，以匀速代变速，得到路程的微分 解 ds = v (t) dt 对上述微分式从 a 到 b 积分，就得到质点在[a ,b]内走过的路程
二、平面图形的面积 计算直角坐标系中平面图形的面积 1、设连续函数 f (x) 和 g (x) 满足条件 y = f (x) 1、设连续函数 f (x) 和 g (x) 满足条件 O x y x+ dx x b 求曲线 y = f (x)，y = g (x)及直线 x = a，x = b 所围成的平面图形的面积 S（如图）。 a y = g (x) 用微元法求。 第一步 在区间 [a ,b] 上任取一典型小区间[x ,x+dx] ,并考虑它上面的图形面积,这块面积可用以 [ f (x) － g (x) ] 为高,以dx为底的矩形面积近似,于是得面积 S 的微分 dS = [ f (x) － g (x) ] dx 第二步 在区间 [a ,b] 上将 dS 无限求积，得到面积 (﹡)
注意：上述(﹡) 式和(﹡﹡)式在计算平面图形的面积时可以当公式用。 2、由曲线 与直线 y = c, y = d 所围成的平面图形的面积（如图） (﹡﹡) O x y c d x=ψ( y) x=φ( y) S 注意：上述(﹡) 式和(﹡﹡)式在计算平面图形的面积时可以当公式用。 求解面积问题的一般步骤为： （1）作草图，求曲线的交点， 确定积分变量和积分区间； （2）写出积分公式； （3）计算定积分。
例1 计算两条抛物线 所围成平面图形的面积。 解 作草图（如图中的阴影部分） 求的是阴影部分的面积。 解方程组： 1 x y y2x yx 2 得交点（0，0）和（1，1）， 选取 x 为积分变量，则积分区间为 [0, 1] ， 所求的面积为：
例2 解 作草图（如图）， 解方程组 得两曲线的交点坐标为(2,-2), (8,4), 选取y为积分变量， 求由曲线y2=2x与直线y=x－4所围成的平面图形的面积。 解 作草图（如图）， 2 4 6 8 x -2 y 2=2x y=x-4 (8, 4) (2, -2) 解方程组 得两曲线的交点坐标为(2,-2), (8,4), 选取y为积分变量， 积分区间为[-2,4]，所求的面积为： 注意：当平面图形由上、下两条曲线围成时，用公式（﹡）求其面积，此时积分变量为 x ；当平面图形由左、右两条曲线围成时，用公式（﹡﹡）求其面积，此时积分变量为 y 。
（如图）椭圆关于两坐标轴对称，设平面图形 在第一象限的面积为S1，则S4S1．选取积分变量为 x ，积分区间为 [0, a] 例3 求椭圆 所围成平面图形的面积 S. 解 （如图）椭圆关于两坐标轴对称，设平面图形 在第一象限的面积为S1，则S4S1．选取积分变量为 x ，积分区间为 [0, a] y x O S1 a b 所以 椭圆的参数方程为: 根据定积分的换元积分法，得
一般地， 当曲边梯形的曲边 由参数方程 给出， 且 为端点的区间上 则由曲边梯形面积公式及定积分的换元积分法可知，该曲边梯形的面积为 具有连续导数，y = y ( t )连续，
三、小结 1、微元法 微元法是用定积分解决求“与某区间上连续函数有关的总量”问题的基本方法。要掌握好微元法解决问题的两个步骤。 2、平面图形的面积 我们已经根据微元法推出求平面图形面积的两个公式，并已得出求平面图形面积的步骤。 求平面图形面积时可根据图形的具体情形(是由上、下两条曲线围成，还是由左、右两条曲线围成）选择两个公式之一进行计算。
作业：习题4。6