整体地把握高中数学课程 首都师范大学 王尚志

从初高中衔接说起 几个例子： 集合教学 立体几何初步的第一节课 弧度 二项式定理

整体理解新课程的几个角度 关键词——整体理解 整体把握课程目标 整体把握数学素养和能力 整体把握数学内容——知识和技能 数学学习的习惯

一、整体把握课程——目标 三维目标： 过程与方法的目标 情感、态度、价值的目标 三维目标是一个整体：例如， 知识技能目标 养成好的学习习惯 　知识技能目标　 　过程与方法的目标 　情感、态度、价值的目标 　三维目标是一个整体：例如， 　　　养成好的学习习惯 　三维目标应该贯穿在数学教育的始终

数学课程标准的目标 数学课程的目标 获得必要的数学基础知识和基本技能，理解基本的数学概念、数学结论的本质，了解概念、结论等产生的背景、应用，体会其中所蕴涵的数学思想和方法，以及它们在后续学习中的作用。通过不同形式的自主学习、探究活动体验数学发现和创造的历程。 提高空间想像、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理等基本能力。 提高数学地提出、分析和解决问题（包括实际应用问题）的能力，数学表达和交流的能力，发展独立获取数学知识的能力。

数学课程标准的目标 数学课程的目标 发展数学应用意识和创新意识，力求对现实世界中蕴涵的一些数学模式进行思考和做出判断。 提高学习数学的兴趣，树立学好数学的信心，形成锲而不舍的钻研精神和科学态度。 具有一定的数学视野，逐步认识数学的应用价值、科学价值和文化价值，形成批判性的思维习惯，崇尚数学的理性精神，体会数学的美学意义，从而进一步树立辩证唯物主义和历史唯物主义世界观。

目标变化的意义 打好基础 强调五个基本能力 主动学习和创新能力 情感、态度、价值观与数学课程的结合

目标变化的意义 打好基础 整体地把握数学课程 知识结构框图 抓住课程的基本脉络（主线） 理解数学本质

目标变化的意义 强调五个基本能力 计算能力 逻辑推理能力 空间想象能力 抽象概括能力 数据处理能力

目标变化的意义 抽象概括能力 我们不仅仅需要同学们掌握数学知识和技能本身，还应该帮助同学们了解知识、技能、结论形成的过程，产生的过程，能够从特殊到一般，从具体到抽象，能够从一些现象中，通过类比、归纳、猜想，通过合情推理，总结数学规律，发现数学规律。这也是数学的一种重要的思维方式，非常重要的创造性思维方式。许多数学家反复建议，我们不仅要重视培养同学们的演绎推理能力，同样，也要重视培养同学们的抽象概括能力。这种能力的培养也应该渗透到数学学习的各个环节中。

目标变化的意义 数据处理的能力 随着社会发展，人们对于数据、信息的关注越来越大，处理数据，已经成为百姓生活不可回避的问题。生活中的很多数据都是“杂乱”的，但并非“无章”，如何发现其中的规律，如何利用这些规律提高生活质量。数据处理能力成为现代人的基本能力。在高中学习中，有必要掌握基本数据处理能力：收集数据，整理数据，分析数据，从数据中提取信息，利用信息说明问题等等。

目标变化的意义 主动学习和创新能力 接受、记忆、模仿和练习是同学们重要的数学学习活动，但是，不应只限于此，高中数学课程还应倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习数学的方式。这些方式有助于发挥同学们学习的主动性，使同学们的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程。“通过不同形式的自主学习、探究活动体验数学发现和创造的历程。”

目标变化的意义 主动学习和创新能力 创新的最好体现应反映在：培养学生的问题意识。鼓励学生提出问题；鼓励学生从多种角度寻求解决问题的方法；课程应具有一定的开放性，给学生思考的空间；为学生营造一个积极思考、探索创新的氛围，等等。

目标变化的意义 关于情感、态度和价值观与数学课程的结合 兴趣 视野 学习习惯

目标变化的意义 兴 趣 “兴趣”的培养在某种程度上被忽视了。 兴 趣 “兴趣”的培养在某种程度上被忽视了。 对于学生而言，能够引起他们兴趣的东西很多，数学是其中之一，数学是很有意思的，她有极大的魅力，引人入胜，作为数学和数学教育工作者，我们应该尽力吸引更多的学生喜欢数学，使他们从数学中得到对将来发展有用的东西，并能把这些东西用到他们的工作中。当然，对一些对数学有兴趣的有才华的学生，我们希望他们投身到数学和数学应用的事业中，展示他们的才华，为数学发展作贡献。 培养学生对数学的兴趣，是数学教育面临的一个巨大的挑战，在很多国家，不喜欢数学，甚至讨厌数学的比例在增加，这应该引起数学和数学教育工作者的高度重视。

目标变化的意义 视 野 《标准》要求学生形成“具有一定的数学视野”。“知识”是重要的，“见识”更为重要。选修3、4课程目的之一，就是为学生奠定基础、开阔视野，这只是开始，数学和数学教育工作者应该不断开发更多新的选修课程。前面，我们用了很大篇幅从不同的角度理解什么是数学，也是希望教师和学生对数学有一个比较全面的认识。

目标变化的意义 学 习 习 惯 不同的同学有不同的学习习惯。养成一个适合自身的，好的学习习惯，会提高学习的效率，会自然地保持下去终生受益。 数学学习有自身的特点，例如，很多人在讲解数学时，喜欢画图，总会用最直观、形象的语言来解释本质的内容；有些人在讲解抽象数学概念时，总喜欢选择一些大家非常熟悉的例子，一下子就会把抽象概念很清晰地表示出来；有些人在教授数学时，总让人有一种整体的感觉，来源、过程、结果、应用等，哪一部分都是不可缺少的，十分自然。用直观的图像来表述抽象的概念；用具体的事例来理解一般的事物；不断地形成整体知识框架；等等。这些都是非常好的“习惯”。 这些好习惯的形成需要长时间的积累，希望同学们自觉、主动的在学习中，成为有心人，形成一些适合自身条件、行之有效的好习惯，改变一些不好的习惯，提高学习效率。

一、整体把握课程——目标 新课程新在哪？ 从跑道到跑的过程：传统与变革 课程不再是跑道，而成为跑的过程自身。学习则成为知识创造过程之中的“探险”。 背景：知识就是力量—— 运用知识创造新的知识、运用知识去解决问题。

一、整体把握课程——目标 传统 与 变革（课程） 名词 　　 动词 表述 实现 概念 　　　意义 说明 展开 结论 　　　过程 达到　　　　　　　　提高 　 认识 　　　本领 　　 书本 人本

二、整体把握课程——素养和能力 Jan de Lange –OECD program Mathematical literacy --ability to use mathematics to solve problems for everyday living and for work and for further study --involves wide range of key competencies (reasoning,communication,modeling,reproduction,connections) In this respect ,mathematical thinking is an important goal of schooling ,to support science ,technology ,economic life and development

二、整体把握课程——素养和能力 数学素养 运用数学解决日常生活、工作、进一步学习中的问题的能力 包括一系列重要的能力： 　　　运用数学解决日常生活、工作、进一步学习中的问题的能力 包括一系列重要的能力： 　 推理、交流、建模、知识重构、联系 在这一方面,数学思考是教育的重要目标之一.为科技,经济和社会的发展提供支持和帮助. ＊还包括：发现和提出问题、阅读、整体理解

二、整体把握课程——素养和能力 推理：演绎推理、归纳推理（合情推理） 交流：会用数学的基本语言进行交流，自　　　　　　　然语言、符号语言、图形语言、图表语言等。 建模：会把实际问题（或某些数学问题）转化为数学模型，会讨论数学的结果是否符合实际。

二、整体把握课程——素养和能力 知识重构：帮助、引导学生结合自己学习和生活的经验，经历某些数学知识产生、形成、应用的过程。 联系：数学知识之间的联系，数学与其他学科知识之间的联系，数学与日常生活之间的联系。 发现和提出问题：“问题”是数学的灵魂，“问题”是创造的前提，培养学生的“问题意识”，是培养学生创新能力的基础。

二、整体把握课程——素养和能力 阅读：阅读能力是学生自主学习的基础，也是提高学生学习能力的主要载体，提高学生的数学阅读能力应是数学教育中的一项基本任务。 整体理解：学习数学不仅要深入地理解每一个知识，掌握每一种技能，还需要理解所学数学内容的体系、结构和基本脉络。

二、整体把握课程——素养和能力 从素养、能力到数学方法、技能—— 通性通法 例如： 模型——待定系数法 变量替换——换元法 降幂——配方法 　例如： 　模型——待定系数法 　变量替换——换元法 　降幂——配方法 　消元——加减、代入消元 　等等，这些都是贯穿初高中课程的方法

三、整体把握数学课程——内容 高中数学课程内容的基本脉络 ——主线 高中数学课程内容的基本结构

（一）高中数学课程内容主线 函 数 几 何 运 算 算 法 统 计 概 率 应 用

高中数学课程内容主线——函数

高中数学课程内容主线——函数 20世纪初，在英国数学家贝利和德国数学家克莱因等人的大力倡导和推动下，函数进入了中学数学。克莱因提出了一个重要的思想——以函数概念和思想统一数学教育的内容，他认为：“函数概念，应该成为数学教育的灵魂。以函数概念为中心，将全部数学教材集中在它周围，进行充分地综合。”

高中数学课程内容主线——函数 高中数学课程设计中，把函数作为贯穿整个高中数学课程始终的主线，这条线将延续到大学的数学中，我们知道，大学几乎所有的专业都开设了高等数学，有文科的高等数学，有工科的高等数学，在数学系中，有数学与应用数学专业、信息与计算专业、统计数学专业，这些专业开设了不同高等数学内容的课程，虽然，不同的专业开设不同的高等数学课程，但是，函数是这些高等数学课程的一条主线，在数学系课程中，尤显突出，例如，数学分析、复变函数、实变函数、常微分方程、偏微分方程、泛函分析等等，这些课程都是把函数作为研究对象。函数、映射不仅是数学的基本研究对象，它们的思想渗透到几乎每一个数学分支。

高中数学课程内容主线——函数 1．对函数的认识 （1）函数是刻画变量与变量之间依赖关系的模型 （2）函数是联结两类对象的桥梁 ——对应关系 （3）函数是“图形”——关系

高中数学课程内容主线——函数 以上是认识函数的三个不同角度，它们可以帮助我们更全面地认识函数，也是学生在高中阶段中应留下的东西。这些对于进一步学习是很重要的。进入大学，在高等数学的学习中，我们还会学习认识函数的新的视角，例如，在很多情境中，常常要把具有某些形式的函数作为一个整体，并讨论整体的结构。

高中数学课程内容主线——函数 2．中学数学研究函数的什么性质 数学中研究函数主要是研究函数的变化特征。因为，函数的变化特征反映了它所刻画的自然规律的特征。在高中阶段主要研究函数的单调性、周期性。 单调性是在高中阶段讨论函数“变化”的一个最基本的性质。 在高中数学课程中，对于函数这个性质的研究分成两个阶段。 第一阶段，用运算的性质研究单调性； 第二阶段，用导数的性质研究单调性。

高中数学课程内容主线——函数 3．具体函数模型 简单的幂函数及其拓展 实际函数的模型——分段函数 指数函数 对数函数 三角函数 数列

高中数学课程内容主线——函数 4．函数与其他内容的联系 函数与方程 函数与数列 函数与不等式 函数与线性规划 函数与算法

高中数学课程内容主线——函数 总之，在高中课程中，函数与方程、数列、不等式、线性规划、算法、导数及其应用，包括概率统计中的随机变量等，以及选修系列3、4中的大部分专题内容，都与函数有着密切的联系。用函数（映射）的思想去理解这些内容，是非常重要的一个出发点。反过来，通过这些内容的学习，可以加深对于函数思想的认识。实际上，在整个高中数学课程中，都需要不断地体会、理解“函数思想”给我们带来的“好处”。

高中数学课程内容主线——几何

高中数学课程内容主线——几何 1. 几何的教育功能 高中数学课程中，几何的作用主要在于培养学生的几何直观能力和推理论证能力。这两种能力对于学生思维的发展和对数学本质的理解都是非常重要的。 在高中数学课程中，几何是“图”“文”并茂的内容，它把数学所特有的逻辑思维和形象思维有机地结合起来。几何思想主要体现在几何直观能力，即把握图形的能力。几何直观能力主要包括空间想象力、直观洞察力、用图形语言来思考问题的能力。借助几何这个载体，可以培养学生的逻辑推理能力。但仅仅把几何作为培养形式推理能力载体的认识是片面的。

高中数学课程内容主线——几何 1. 几何的教育功能 在中学数学课程中重视几何内容是我国数学教育的传统，也是共识。但是，如何运用几何思想、把握图形的能力去学习其它的数学内容，却没有引起足够的重视。在实验区听课时，最令我们感到遗憾的是：教师不太喜欢“画图”，讲解析几何时也不画图。 事实上，几何学能够给我们提供一种直观的形象，通过对图形的把握，可以发展空间想象能力，这种能力是非常重要的，无论是数学本身、数学学习本身，还是在其他方面，都是一种基本能力。搞艺术的人就经常说，这种空间想象能力与他们艺术上的想象能力、艺术创作能力是一种殊途同归的感觉。

高中数学课程内容主线——几何 2．中学几何研究的对象 中学几何主要是研究图形的位置关系和度量的。最基本的几何图形是点、线、面，由线可围成平面图形，由面可围成几何体。中学几何研究的图形可分为两类，一类是直边或直面图形，例如，直线，由直线围成的三角形，由平面围成的四面体、长方体等；另一类是曲边或曲面图形，例如，圆，球等。在中学几何中，基本几何图形点、线、面之间的位置关系主要有平行、垂直、包含（如点在直线上，线在平面内，线与线、面与面重合等），由基本图形围成的平面图形之间的关系主要有全等、相似、位似等。图形的度量主要有夹角、长度、面积、体积等。

高中数学课程内容主线——几何 3．几何研究图形的方法 中学几何研究图形的方法主要有：综合几何的方法，解析法，向量几何的方法，函数的方法等。

高中数学课程内容主线——几何 4．几何内容的设计 几何课程的设计分为两部分。一部分是将“把握图形”的能力作为指导思想，贯穿在整个数学课程的始终。另一部分是设计了相应的几何内容。

高中数学课程内容主线——运算

高中数学课程内容主线——运算 对数学最朴实的理解是：数学就是“算”，即“运算”。“运算”包括两方面，一个是“运算的对象”，一个是“运算的规律”。“数”、“字母”（代数式）、“指数”、“对数”、“三角函数”、“向量”等等都是运算对象。“结合律”、“a+(-a)=0”（即加一项，减一项）、“交换律”、各种“分配律”等等都是运算规律。“运算”几乎渗透到数学的每一个角落，运算是贯穿数学的基本脉络，是贯穿数学课程的主线，在高中数学课程中，发挥着不可替代的作用。

高中数学课程内容主线——运算 1．对运算的认识 运算是数学学习的一个基本内容。运算对象的不断扩展是数学发展的一条重要线索。 从数的运算到字母运算，是运算的一次跳跃。 从数的运算，到向量运算，是认识运算的又一次跳跃。 在以后的学习中，运算对象还要进一步拓展。上述种种运算的学习，为学生今后进一步学习其它数学运算，体会数学运算的意义以及运算在建构数学系统中的作用，奠定了基础。

高中数学课程内容主线——运算 2．运算的作用 （1）运算与推理 （2）运算与算法 （3）运算与恒等变形

高中数学课程内容主线——运算 3．运算内容的设计 在高中数学课程中，主要有几部分内容集中的介绍了运算：指数运算；对数运算；三角函数运算；向量运算，包括平面向量和空间向量；复数运算；导数运算；等等。

高中数学课程内容主线——算法

高中数学课程内容主线——算法 算法也是设计高中数学课程的一条主线。有三方面的问题应该特别注意：算法的基本思想，算法的基本结构，算法的基本语句。 算法教学应该采用“案例教学”，从具体的学生熟悉的实例出发，在具体的情境中、在处理具体问题过程中，使学生理解：算法的基本思想，算法的基本结构，算法的基本语句。

高中数学课程内容主线——算法 1．算法的作用 （1）算法学习能够帮助学生清晰思考问题、提高逻辑思维能力 （2）算法学习有助于学生全面的理解运算 （3）算法学习有助于提高学生的信息素养

高中数学课程内容主线——算法 2．算法的基本思想 算法的基本思想是指按照确定的步骤，一步一步去解决某个问题的程序化思想。在数学中，完成每一件工作，例如，计算一个函数值，求解一个方程，证明一个结果，等等，我们都需要有一个清晰的思路，一系列的步骤，一步一步地去完成，这就是算法的思想，即程序化的思想。以前，在高中数学课程中没有给出“算法”这个名词，但是，我们却熟悉许多问题的算法，一直在利用算法的思想。例如，我们知道解一元二次方程的算法，求解一元一次不等式，一元二次不等式的算法，求解线性方程组的算法，求两个数的最大公因数的算法，等等。

高中数学课程内容主线——算法 3．算法的基本结构 （1）顺序结构; （2）分叉（选择）结构; （3）循环结构。

高中数学课程内容主线——算法 4．算法的基本语句 输入输出语句 条件语句 循环语句

高中数学课程内容主线——算法 5．算法内容的设计 在高中数学课程中，算法内容的设计分为两部分。 一部分主要介绍算法的基础知识，可以称作算法的“三基”：算法的基本思想，算法的基本结构，算法的基本语句。 另一部分是把算法的思想融入相关数学内容中。

高中数学课程主线——统计概率

高中数学课程内容主线——统计概率 目前我们的社会已经进入了信息时代，信息的主要载体是数据。收集数据、整理数据、分析数据、从数据中提取有用信息、利用数据中的信息说明问题等等，这些已经成为人们的基本素质和能力。这些变化必然会直接影响到数学课程的设置。概率与统计是在1958年前后，进入中国大学数学课程。几经反复，到了文化革命以后，概率与统计在大学数学课程中，站住了脚，同时，也渗透到其它相关学科中，在大学，相当多的专业都需要开设统计概率课程，例如，在生物学科中，学习统计也成为了重要的课程。这是一个重大的变化。

高中数学课程内容主线——统计概率 在传统的大学概率统计课程中，概率的分量大于统计，或者说在这些课程中是重概率。随着时代的发展，统计在社会发展中的作用越来越大，在大学的概率统计课程又发生了新的变化，近年来，在数学与应用数学专业中，统计概率课已经成为基础课，它与数学分析、高等代数、解析几何、普通物理、数学建模、计算机基础都成为基础课。在概率统计课程中，课程内容的结构也发生了变化，统计的分量大大的加强了。 这种变化也影响到了中小学的课程，现在中小学的课程中统计概率的内容大大的增加，这已经成为国际中小学数学课程发展的趋势。

高中数学课程内容主线——统计概率 数据处理的能力 统计注重过程 统计采用的案例的教学方式 统计是一种归纳的思维 随机的思想 统计中的随机思想

高中数学课程内容主线——应用

高中数学课程内容主线——应用 对于高中课程中数学的应用，可以分成三个层次来理解，分别是：知识的背景和对实际问题的数学描述；对数学模型的认识和在实际中的直接应用；经历数学建模的过程。

（二）整体把握课程——结构 高中课程基本结构 必修内容的基本结构 必修与选修系列1内容的基本结构 必修与选修系列2内容的基本结构 选修系列3内容的基本结构 选修系列4内容的基本结构

（二）数学课程标准的结构

数学课程标准的结构 选择性与系统性 （1）“体系”是数学课程的一个基本要求 在学习高中课程时，应该了解高中课程设计的原则。不同的设计原则，得到的课程体系就不同，以选择性作为前提，我们就会有一种设计。如果没有选择性，会得到另一种设计。我们现在所学的课程，就是以选择性作为前提来设计的。在理解我们整个数学课程时，应该对选择性有一个充分的认识。

数学课程标准的结构 选择性与系统性 （2）学习数学是“线性序” 、数学内容不是“线性序” 我们从义务教育开始就按照一定的顺序来学习数学。例如，我们在小学学习了自然数，接着学习了自然数的加、减、乘等运算，它们之间有着严格的顺序关系。然而，对于有些数学内容而言，目的不同决定不同的顺序。例如，在我们以后要学习的导数这部分，极限理论和导数及其应用就没有先后的顺序关系，我们可以先学习极限理论，然后，用极限理论去认识一种重要、特殊的极限——导数，现在，数学系的课程数学分析就是这样安排的；我们也可以先从重要、特殊的极限——导数入手，理解这种特殊极限的意义、作用、应用，把它作为认识极限理论的一个阶梯，现在，高中课程标准就是这样安排的。当然，不同的顺序会有不同的学习过程，数学的内容本身存在内在的联系，但是这不影响我们学习数学的过程。在整个高中课程的学习过程中，要特别注意这个问题。

数学课程标准的结构 有意识的发现、培养自己的兴趣 学生选课建议 选修课的设置就是希望从不同的角度激发同学们学习数学的兴趣，希望数学能为同学们的发展提供帮助，这是数学工作者的最高追求。我们将会想方设法努力，让数学课程更有吸引力。也希望同学们努力发现、培养自己对数学的兴趣。

数学课程标准的结构 学生选课建议 有意识的发现、培养自己的特长 特长和兴趣是有联系，又有区别的。在数学学习中，有的学生善于计算，“数感”非常好，善于发现“数、式”中的规律；有的学生图形想象力非常强，善于发现“图形”中的规律；有的学生对数据有明锐的感觉，善于发现“数据”中的有用信息；等等。每个人都有特长，不同的人特长不同，有一些人不知道自己的特长所在，这也是个缺憾。

（二）

必修课程知识结构

选修3结构定位 选修系列3的六个专题可以按照以下方式进行分类： 文化类： 选修3-1 数学史选讲 代数类： 选修3-6 三等分角与数域扩充 选修3-4 对称与群 几何类： 选修3-3 球面几何 选修3-5 欧拉公式与闭曲面分类 应用类： 选修3-2 信息安全与密码

选修3结构定位 “系列3和系列4是为对数学有兴趣和希望进一步提高数学素养的学生设置的，所涉的内容都是数学的基础性内容，反映了某些重要的数学思想。有些专题是中学课程某些内容的延伸，有些专题是通过典型实例介绍数学的一些应用方法。这些专题的学习有利于学生的终身发展，有利于扩展学生的数学视野，有利于提高学生对数学的科学价值、应用价值、文化价值的认识，有助于学生进一步打好数学基础，提高应用意识。” “专题力求深入浅出、通俗易懂，进一步提高学生发现和提出问题的能力，分析和解决问题的能力，让学生掌握和体会一些重要的概念、结论和思想方法，体会数学的作用，发展应用意识。”

选修3结构定位 在系列3教学中应该注意的几个问题： 系列3是基础。系列3不是学习大学数学的预备课程，也不是为将来准备进入数学系学习的学生做准备。 在系列3的教学中，应该把重点放在介绍基本的数学思想。 在系列3的教学中，要不断地开发资源，把难的东西变容易，用具体来反映一般，用直观来反映抽象。 系列3课程是不进入高考的课程，但是学习这部分课程对于提高数学素养、培养学生解决问题的能力和激发学生学习数学的兴趣是十分有用的。各个学校可以按照各自的情况有选择性地逐步开设这些专题。下面我们按专题介绍：背景，知识结构和内容定位，重、难点定位，教学要求，参考文献等。

数学史选讲 “数学史选讲”是希望告诉学生数学发展的一个基本的脉络，选择了数学历史发展中一些重要的事件、成果作为线索，介绍一些伟大的数学家的贡献和奋斗人生。

数学史选讲

球面上的几何 对球面上的几何，顾名思义，讨论“球面上图形的性质”，我们学过平面几何，这两种几何有什么相同，有什么不同？球面上的几何有什么用处？“球面上的几何”这一专题主要就讨论这些问题。

球面上的几何

信息安全与密码 在“信息时代”，传送信息时对保密的要求越来越大。在“信息安全与密码”中，将告诉学生一些基本的数学原理，学生可以通过操作，进一步了解和熟悉常用的信息安全保密的方法。

信息安全与密码

对称与群 “对称”是日常生活中常用的词，特别在生活中有很多“对称的”很漂亮的图形，这些对称图形不相同，如何对它们加以区别？这些对称图形中蕴涵了什么数学思想方法？“对称”有什么用处？“对称与群”专题将讨论这些问题。

对称与群

欧拉公式与闭曲面分类 欧拉是最伟大的数学家之一，他的成就非常丰富，多面体的欧拉公式就是其中之一。四面体、长方体等都是多面体，欧拉发现了：这些图形的“面数减去棱数再加上顶点数等于2”，并且他给出了很好的证明。这是很有趣的，它反映了这些图形——曲面的性质。那么，是否还有其他图形也有这样的性质？是否所有多面体的曲面都有这样的性质？等等。“欧拉定理与闭曲面分类”这个专题将回答这些问题。

欧拉公式与闭曲面分类

三等分角与数域扩充 “用尺规可以三等分角吗？”这是学生都想了解的一个问题。在“三等分角与数域扩充”这个专题中，将引导学生一步一步地解决这个问题。学生会发现，解决这样问题与做习题不大一样，其中蕴涵着一种思考方法，不论是否专门学习数学，这种思考问题的方法都是很有用的。

三等分角与数域扩充 非尺规作图的方法 作图欣赏 三大作图问题 尺规作图原则 尺规作图的范围（1） ——能作的范围 尺规作图的范围（2） ——仅能作的范围 应用 不能作的范围 能作的范围 倍方 三等分角 正十七边形 范例 有理数域与尺规作图 数域扩充与尺规作图 扩域“列”、扩域“树”与尺规作图 尺规作图代数化 直线的表示 圆的表示 数域与尺规作图的封闭性 圆规作图与扩域 补充知识

选修4结构定位 选修系列4的十个专题可以按照以下方式进行分类： 代数类： 选修4-5 不等式选讲 选修4-4 坐标系与参数方程 选修4-6 初等数论初步 几何类： 选修4-2 矩阵与变换 选修4-1 几何证明选讲 分析类： 选修4-3 数列与差分 应用类： 选修4-7 优选法与试验设计初步 选修4-10开关电路与布尔代数 选修4-9 风险与决策 选修4-8 统筹法与图论初步

选修4结构定位 在系列4教学中应该注意的几个问题是： 系列4是基础，系列4不是学习大学数学的预备课程，也不是为将来准备进入数学系学习的学生做准备。 在系列4的教学中，应该把重点放在介绍基本的数学思想。 在系列4的教学中，要不断地开发资源，把难的东西变容易，用具体来反映一般，用直观来反映抽象。 系列4课程是进入高考的课程，学习这部分课程对于提高数学素养、培养学生解决问题的能力和激发学生学习数学的兴趣是十分有用的。各学校可以按照各自的情况有选择性地逐步开设这些专题。

几何证明选讲 几何课程是数学课程的主要内容，也是中小学数学课程的主要内容。在高中必修课程中，我们设置了立体几何初步、解析几何初步、平面向量等几何课程的内容，在选修1、2课程中，我们设置了圆锥曲线、空间向量与立体几何等几何课程内容。 在本专题中，我们是在义务教育数学课程学习的基础上，设置了两部分的内容。一部分内容是以直线与圆的关系为载体，利用相似的理论，讨论圆与直线的位置关系，及其位置关系中的一些几何结果。这部分内容可以成为一个相对独立的体系，对于提高学生的逻辑推理能力会发挥一些作用。在另一部分内容中，我们利用综合几何的方法，依托锥面与平面的关系，讨论它们所截得的曲线的几何特征，即讨论圆锥曲线的基本性质。

几何证明选讲

不等式选讲 恒等关系和不等关系是数学中两种基本的关系，也是中小学数学课程的基本内容，这些内容都是依托不同运算对象的运算规律来完成的。在高中必修课程中，我们设置了有关不等式和简单线性规划的内容。 本专题在义务教育课程的基础上，进一步讨论了不等式的基本性质和基本不等式；绝对值不等式及其几何意义，并利用绝对值不等式的几何意义证明和求解一些绝对值不等式；认识柯西不等式的几种不同形式及其几何意义，用参数配方法讨论柯西不等式的一般情况；用向量递归方法讨论排序不等式；了解数学归纳法的原理及其使用范围，会用数学归纳法证明一些简单问题；会用数学归纳法证明贝努利不等式；会用上述不等式证明一些简单问题。能够利用平均值不等式、柯西不等式求一些特定函数的极值；通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法。

不等式选讲

坐标系与参数方程 解析几何有两个核心概念，一个是坐标系，一个是在坐标系中建立曲线与方程的关系。在义务教育阶段和高中必修课程中，主要学习直角坐标系，并在直角坐标系中讨论了直线、圆、圆锥曲线，及其这些曲线与方程的关系。 本专题将在义务教育课程的基础上，介绍极坐标系、柱坐标系、球坐标系等内容，在这些坐标系中讨论简单曲线（直线、圆、圆锥曲线、摆线等）与它们方程的关系。

坐标系与参数方程

矩阵与变换 在义务教育阶段我们学习了几种重要的几何变换，例如，反射变换，旋转变换，平移变换，放缩变换等。 本专题在义务教育的基础上，介绍反映上述变换的代数表达形式——二阶矩阵，把二阶矩阵看作表示变换的工具，二阶矩阵把平面上的每一个点或每一个向量变成平面上另一个点或一个向量。在这里，矩阵就是映射。我们讨论了反映变换的矩阵的基本性质及其几何意义、在讨论问题中的作用。对于矩阵来说，既可以把它看作一个代数的研究对象，从运算的角度来讨论它；矩阵又可以看作描述几何变换的对象。在本专题中，我们更强调矩阵的几何背景和在讨论几何问题中的作用。

矩阵与变换

数列与差分 函数是数学中一类重要的对象，对于可导的函数，导数和微分是研究这些函数的基本工具。数列是一类特殊的函数，有时也称为“离散”的函数，差分是研究这一类函数的工具。 本专题在义务教育学习的基础上，利用差分工具讨论了一些简单数列的规律，例如，等差数列、等比数列以及一阶差分数列。初步体会研究数列这样的离散函数的思想方法。

数列与差分

初等数论初步 整数有加、减、乘、除的运算，整数除法是大家熟悉的运算。本专题的第一个重要概念就是除法，特别是带余除法。它可以很好的反映整数的性质，能够很好的对整数进行分类。素数是本专题的另一个重要概念，我们将帮助学生体会素数在研究整数性质中的作用。本专题的另一个重要概念是同余，同余反映了整数之间的一种新的关系，同余类又为我们提供了一种新的运算平台，我们将利用同余的概念讨论一种新的方程形式——简单的同余方程、同余方程组。

初等数论初步

优选法与试验设计初步 本专题分成两个部分，一部分是针对多因素问题学习如何设计试验方案，以求得实现试验次数少，而试验效果好的目的。在这部分内容中，我们通过具体的实例介绍了两种选择试验方案的工具，一种是拉丁方，另一种是正交表。 本专题的第二部分内容就是优选法，在生产实践和科学试验中，人们为了达到优质、高产、低消耗等目的，需要对有关因素的最佳点进行选择。这些选择最佳点的问题，都称之为选优问题。解决这些选优问题的方法称为优选法。上世纪70年代，我国著名数学家华罗庚在全国推广和普及了优选法，大大地提高了我国科技工作者、管理工作者、普通大众的科学素养和数学水平。在这部分我们将学习运用优选法解决简单实际问题的方法。

优选法与试验设计初步

统筹法与图论初步 本专题由两部分内容组成，一部分是统筹法，另一部分是图论初步。 统筹方法是我们日常生活、生产实践中常用的一种数学方法，它可以帮助我们合理安排人力、物力等资源。1964年，中国著名数学家华罗庚在全国对这种方法进行了大力推广，提高了广大科学工作者、管理人员和普通群众的科学素养。本章将通过实例介绍统筹方法的数学原理和应用。 本专题的第二部分内容就是图论初步。图论是数学中有广泛实际应用的一个分支。心理学、化学、电工学、运输规划、管理学、销售学以及教育学等各个不同领域内的许多问题都可以描述为图论的问题。在这一部分我们将介绍有关图论的基本概念和图论中的几个基本问题，例如，生成树问题，最短路径问题等。

统筹法与图论初步

开关电路与布尔代数 在初中物理中，我们都学习了三种基本的电路——串联电路、并联电路和逆反电路。我们已经熟悉了这些电路的基本功能，也能熟练的利用这些电路搭建较为复杂的电路。在本专题中，我们将给出这些电路的代数刻画——布尔代数，讨论它们的运算性质，并利用这些运算性质讨论简单电路的设计问题。

开关电路与布尔代数

风险与决策 风险与决策是统计概率应用中的一类问题。一个随机现象中， “损失”是一个随机变量，“损失”的均值就叫做“风险”，在做决策时，希望平均“损失”达到最小，即“风险”最小。在本专题的教学中，一方面仍应突出这样一个目标，就是通过对具体问题的分析，经历统计的全过程，并且不断地加深对于风险问题的认识。另一方面，在统计问题中，我们还应该认识到“损失”的随机性。因此，不断地加深对于随机思想的认识，是学好本专题教学的关键。 在本专题中，离散的随机变量及其数学期望和方差是三个核心概念，它们是刻画“风险”的三个核心概念。

风险与决策

从算术到代数 1、加法。 2、减法：几种引出减法的方式。 解决问题的方法：算术、代数。 3、乘法。 4、除法：几种引出除法的方式。 5、鸡兔同笼问题。

从算术到代数 1、字母表示数。 2、用字母表示一类问题的规律。 3、从数的运算到字母的运算。 4、从具体的问题到模型。 5、用字母的运算和运算法则得到解决一类模型的方法。

一元一次函数 函数是刻画规律的一个基本的数学模型，也是贯穿整个数学课程的基本脉络之一。 一元一次函数是初中阶段学习函数的重要载体。要掌握好一元一次函数的内容应该做好以下工作： 　第一、学习一元函数的基础（小学数学） 　 ⑴几个具体的模型 　路程、速度（不变）、时间的关系 　总量、单价（单价）、数量的关系 　工程整体、工作效率（不变）、工作时间的关系 　 ⑵两个量的正比例关系　　　

一元一次函数 ⑴一元一次函数与一元一次不等式的关系（初中）。 ⑵解析几何中，一元一次函数与直线方程的关系（二元一次方程）。 第二、一元一次函数在将来学习中的作用 ⑴一元一次函数与一元一次不等式的关系（初中）。 ⑵解析几何中，一元一次函数与直线方程的关系（二元一次方程）。 ⑶在线性规划里，二元一次不等式。 ⑷在微积分里，微分的概念与一元一次函数，“以直代曲”是微积分的基本思想。 ⑸线性泛涵与非线性泛涵。 　等等

一元一次函数 第三、明确一元一次函数在初中数学中的定位和基本要求。(略) 第四、学生分析。 第五、教材分析。 第六、教学设计。 第七、教学实践。 第八、教学交流、反思。 第九、教学再设计——留住一些东西。

整体地把握课程——素养和能力 Jan de Lange –OECD program Mathematical literacy --ability to use mathematics to solve problems for everyday living and for work and for further study --involves wide range of key competencies (reasoning,communication,modeling,reproduction,connections) In this respect ,mathematical thinking is an important goal of schooling ,to support science ,technology ,economic life and development

整体地把握课程——素养和能力 数学素养 运用数学解决日常生活、工作、进一步学习中的问题的能力 包括一系列重要的能力： 　　　运用数学解决日常生活、工作、进一步学习中的问题的能力 包括一系列重要的能力： 　 推理、交流、建模、知识重构、联系 在这一方面,数学思考是教育的重要目标之一.为科技,经济和社会的发展提供支持和帮助. ＊还包括：发现和提出问题、阅读、整体理解

整体地把握课程——素养和能力 推理：演绎推理、归纳推理（合情推理） 交流：会用数学的基本语言进行交流，自　　　　　　　然语言、符号语言、图形语言、图表语言等。 建模：会把实际问题（或某些数学问题）转化为数学模型，会讨论数学的结果是否符合实际。

整体地把握课程——素养和能力 知识重构：帮助、引导学生结合自己学习和生活的经验，经历某些数学知识产生、形成、应用的过程。 联系：数学知识之间的联系，数学与其他学科知识之间的联系，数学与日常生活之间的联系。 发现和提出问题：“问题”是数学的灵魂，“问题”是创造的前提，培养学生的“问题意识”，是培养学生创新能力的基础。

整体地把握课程——素养和能力 阅读：阅读能力是学生自主学习的基础，也是提高学生学习能力的主要载体，提高学生的数学阅读能力应是数学教育中的一项基本任务。 整体理解：学习数学不仅要深入地理解每一个知识，掌握每一种技能，还需要理解所学数学内容的体系、结构和基本脉络。

整体地把握课程——素养和能力 从素养、能力到数学方法、技能—— 通性通法 例如： 模型——待定系数法 变量替换——换元法 降幂——配方法 　例如： 　模型——待定系数法 　变量替换——换元法 　降幂——配方法 　消元——加减、代入消元 　等等

整体地把握课程——内容 在义务教育阶段，数学课程的基本结构是什么？为什么要设置这样的结构？ 什么是贯穿数学课程的主要脉络？这些主要脉络是什么？这些脉络是如何展开？ 理解这些脉络有什么好处？ 在这些脉络中，什么是重点？

整体地把握课程——内容 义务教育的课程由四部分组成 数与代数 空间与几何 统计与概率 综合与实践

整体地把握课程——内容 数与代数 数感 运算与推理 量与模型 估计与近似 符号与符号语言

整体地把握课程——内容 空间与几何 图形的分类与性质 变换——图形的运动 图形与位置 几何直观与图形语言

整体地把握课程——内容 统计与概率 统计——数据处理的过程——统计观念 收集数据 整理与描述数据 从数据中提取信息 利用信息说明问题 统计可能产生误导 随机观念、案例过程、归纳思想贯穿始终

整体地把握课程——内容 统计与概率 概率——随机观念 随机现象的基本特征： 结果的不确定性 结果的随机性 试验的可重复性 结果的稳定性 通过简单的古典概型和几何概型树立随机观念

整体地把握课程——内容 综合与实践 问题是综合与实践的核心，过程是综合与实践的重点。 问题的载体： 数学内部的综合与实践 数学与其他学科的综合与实践 数学与日常生活的综合与实践

整体地把握课程——内容 综合与实践 问题提出的形式： 教师和教材提供的问题 教师设置情景引导学生提出问题 学生根据学习和生活实践提出问题 问题解决的过程： 发现问题、提出问题、分析问题、建立数学模型、求解数学模型、讨论解是否符合实际、调整数学模型直到得到符合实际的结果。

整体地把握课程－－数与代数 　数感 运算与推理 量与模型 估计与近似 符号与符号语言

整体地把握课程－－图形与几何 图形的分类与性质 变换——图形的运动(一) 变换——图形的运动(二) 图形与位置 几何直观与图形语言

整体地把握课程—统计与概率 统计 随机观念

整体地把握课程－－综合与实践 综合与实践

整体把握课程：养成好的习惯 学习数学有很多好的习惯： 其中整体把握课程是学习数学的一个重要的好习惯。它也是学好数学的好方法。能够帮助提高学习数学的效率。

研究是什么 研究是一种态度：对任何事情都要问一个为什么的态度 研究是一种行动：总是在寻找怎样才能做得更好的行动 教师研究什么:怎样教 怎样教好 怎样教更好 怎样指导学生学 怎样指导学生学好 怎样指导学生学得更好 等等 教师的使命和责任： 把学生的每一次激动，变成他们毕生的喜爱！

教师是太阳底下 最光辉的职业 教师专业发展应当也能够 以严格的科学的态度来对待

谢 谢!