第十四章 一次函数 北京青年政治学院附中 王迪

本章知识结构框图 建立数学模型 变化的世界 函数 图像 一次函数 性质 再认识 一元一次方程 一元一次不等式 二元一次方程组 应用 课题学习 选择方案

本章的地位、作用 本章在初中阶段函数的学习中是起始阶段，它是联系初、高中数学知识的纽带，是变量数学在初中数学的渗透。 函数是数学的重要内容之一，函数可以使学生认识到知识形成的过程，为学生提供一个发挥、探索和创造的空间背景，从此函数将把学生带到一个宏伟、壮观的数学空间。 在现实生活中，函数知识能帮助我们解决许多问题，应用非常广泛。 通过本章的学习，学生可以了解到什么是函数以及研究函数的常规方法以及涉及的数学思想方法。

《数学课程标准》对本章要求 ⑴探索具体问题中的数量关系和变化规律 ⑵函数 ①通过简单实例，了解常量、变量的意义。 ②能结合实例，了解函数的概念和三种表示方法，能举出函数的实例。 ③能结合图象对简单实际问题中的函数关系进行分析。

《数学课程标准》对本章要求 ④能确定简单的整式、分式和简单实际问题中的函数的自变量取值范围，并会求出函数值。 ⑤能用适当的函数表示法刻画某些实际问题中变量之间的关系。 ⑥结合对函数关系的分析，尝试对变量的变化规律进行初步预测。

《数学课程标准》对本章要求 ⑶一次函数 ①结合具体情境体会一次函数的意义，根据已知条件确定一次函数表达式。 ②会画一次函数的图像，根据一次函数的图像和解析表达式y=kx+b(k≠0)探索并理解其性质（k>0或k<0时，图像的变化情况）。 ③理解正比例函数。 ④能根据一次函数的图像求二元一次方程组的近似解。 ⑤能用一次函数解决实际问题。

本章编写特点： （一）反映函数概念的实际背景，渗透“变化与对应”的思想 （二）从特殊到一般地认识一次函数 （三）用函数观点回顾与审视相关内容，加强知识体系的构建 （四）注重联系实际问题，体现数学建模的作用

值得关注的问题： ㈠重视数学概念中蕴涵的思想，注意从运动变化和联系对应的角度认识函数 ㈡借助实际问题情景，由具体到抽象地认识函数；通过函数应用举例，体现数学建模思想 ㈢重视数形结合的研究方法 ㈣加强对知识之间内在联系的认识，体会函数观点的统领作用 ㈤注重对于基础知识和基本技能的掌握，提高基本能力 ㈥结合课题学习，提高实践意识与综合应用数学知识的能力

本章学习目标 1．以探索实际问题中的数量关系和变化规律为背景，经历“找出常量和变量，建立并表示函数模型，讨论函数模型，解决实际问题”的过程，体会函数是刻画现实世界中变化规律的重要数学模型； 2．结合实例，了解常量、变量和函数的概念，体会“变化与对应”的思想，了解函数的三种表示方法（列表法、解析式法和图象法），能利用图象数形结合地分析简单的函数关系；  3．理解正比例函数和一次函数的概念，会画它们的图象，能结合图象讨论这些函数的基本性质，能利用这些函数分析和解决简单实际问题，发展数学应用能力和形象思维能力；

本章学习目标 4．能根据所给信息确定一次函数的表达式(会运用两个条件确定一个一次函数的表达式); ⒌了解一次函数与方程（组）及不等式的关系，使学生从运动变化的角度，用函数的观点加深对已经学习过的方程（组）及不等式等内容的认识，构建和发展相互联系的知识体系。 6．在课题学习中，以选择方案为问题情境，进行探究性学习，进一步体会建立数学模型的方法与作用，提高综合运用函数知识分析和解决实际问题的能力。

本章的主要内容与课时安排 14.1 变量与函数 5课时 ——基础 ①变量与函数的概念 ②函数的三种表示法 14.1 变量与函数 5课时 ——基础 ①变量与函数的概念 ②函数的三种表示法 14.2 一次函数 5课时 ——重点内容 正比例函数和一次函数的概念、图像、性质以及应用举例 14.3 用函数观点看方程（组）与不等式 3课时 ——引申内容 用函数观点再认识一元一次方程、一元一次不等式和二元一次方程组 14.4 课题学习 选择方案 2课时 ——建立数学模型 数学活动 小结 2课时

本章重难点 重点： ①认识和理解函数概念，一次函数的图象和性质，一次函数的应用。 ②一次函数的定义、图像与性质。 ③一次函数的应用。 难点： ①准确理解函数的概念。 ②利用一次函数及其图像解决实际问题。

14.1变量与函数 1、函数概念的教学：具体到抽象，感性到理性，把握概念本质； 2、理解函数概念是突出变化与对应的 教学法建议 1、函数概念的教学：具体到抽象，感性到理性，把握概念本质； 2、理解函数概念是突出变化与对应的 3、函数的三种表示方法都兼顾，函数的三种形式从不同的角度展示函数的特征，有各自的优点与缺点。 4、在讲解函数图象时，要重视从具体到抽象、从特殊到一般这一规律，了解图象上点的横、纵坐标与自变量、函数值之间的对应关系.

14.1变量与函数 5、画函数图象时应注意： （1）理解数与图之间是如何建立对应关系. 教学法建议 5、画函数图象时应注意： （1）理解数与图之间是如何建立对应关系. （2）学生画函数图象的实践活动必须让学生亲身体验，教师在课前应准备好学案或坐标纸. 要让学生充分实践，帮助学生更好地体会函数图象与函数关系式之间对应关系. （3）在画函数图象时，要强调学生按照步骤规范画图。

14.1 教材中用了5个生活中问题，这5个问题中都含有变量之间的单值对应关系，引出常量与变量的概念。 要给学生讲清楚： 1．变量与常量必须存在于同一个变化过程中，且要根据量的“变”与“不变”来确定这两个量； 2．变量和常量是相对的,相对于某个变化过程，比如路程、速度、时间这三者，在不同的研究过程中,作为变量与常量的身份是可以相互转换的；

3．常量是在整个变化过程中保持不变的量，不要认为式子中出现字母就是变量； 4．圆周率π是常量。 5.在某一个具体问题中，用一个量的式子去表示另一个量，常常要用列方程思想，实际上是根据题意，列出关于这两个量的等量关系，要注意弄清到底用哪个量表示哪个量，通常被表示的那个量写在等式左边。

14.1.2：通过对前节的5个问题引出两个变量间的单值对应关系得出函数的概念。 函数概念是这节课的重点，而准确理解函数概念是本节也是本章的难点. 突破难点的办法是由具体例子逐步过渡到抽象定义. 应通过大量的实例来让学生思考反映不同事物变化过程的一些问题，让学生通过对多个问题的分析，归纳出各问题中都具有相关的两个变量，这样的变量间都具有一个随另一个而变，而且对应值是唯一确定的这种对应关系，在具体经验积累到一定程度的基础上，再给出定义.

(2)一个变量的数值随另一个变量的数值变化而变化； (3)自变量每一个确定值，函数有一个并且只有一个值与之对应。 讲函数概念，一定要抓住以下三点： (1)在一个变化过程中有两个变量； (2)一个变量的数值随另一个变量的数值变化而变化； (3)自变量每一个确定值，函数有一个并且只有一个值与之对应。 函数不是数,它是指某一变化过程中两个变量之间的关系。

两个变量之间的关系: 自身先改变的是自变量，随之而变的是函数 学生开始学习本节时，对于常量与变量比较容易区分，但是对于函数与函数值可能发生混淆，教学中需要引导学生认识到两者的区别:函数是变量;函数值是变量所取的某个具体数值，一个函数可能有许多不同的函数值.

14.1.3：讨论了函数图象的概念，图象是直观地描述和研究函数的重要工具。三种常见的函数表示法，即列表法、解析式法和图象法，是反映函数的三种不同形式。 本节内容是关于函数的最基础的知识，对后续内容有很深远的影响。学习函数图象的画法，一个重要的目的，就是让学生通过画图，进一步体会函数图象的意义，从而能够利用函数的图象研究函数的性质，进而解决实际问题． 画函数的图象一直是学生学习的难点.

函数的图象是由平面直角坐标系中的一系列的点组成的图形，而图象上每一点的坐标（x，y）代表了函数的一对对应值，它的横坐标x表示自变量的某一值，纵坐标y表示与它对应的函数值．它形象直观地反映了两个变量之间的对应关系. 一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横坐标与纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图象，就是这个函数的图象。

注意： （1）要带着学生一起画图。 （2）画图每一步应注意的问题： ①应先确定函数自变量的取值范围； ②列表时选值要恰当，要具有代表性； ③描点时应以表中每对对应值为坐标，在平面直角坐标系内准确描出相应的点； ④连线必须按照自变量由小到大的顺序用平滑的曲线连接． （3）最后归纳总结出用描点法画函数图象的一般步骤：①列表；②描点；③连线．

函数的三种表示方法及其各自的特点: （1）解析法（简明扼要、规范准确，但有些关系式不能用解析式表示）； （2）列表法（一目了然——自变量与其对应的函数值，但有局限性）； （3）图象法（形象、直观，但由图象观察只能得到近似的数量关系）。

14．1这一大节中容易出错的几点： ⑴自变量变化时，函数不变误认为不是函数关系。 ⑵忽视函数值的唯一性 ⑶画函数图象时，忽略自变量的取值范围，错将射线、线段或几个散点画成直线。 ⑷求自变量的取值范围出错 ⑸与x轴、y轴的交点坐标分辨不清 (6) 知道图象上每一点的坐标（x，y）代表了函数的一对对应值，但对它的横坐标x表示自变量的某一值，纵坐标y表示与它对应的函数值不理解，因此不会从图象上找对应的函数值．

14.2 一次函数 1、加强数学与现实的联系 2、学习正比例函数和一次函数的定义时，要弄清解析式中各字母的意义，知道哪些是常数、变量、自变量、函数，应知道对自变量系数的限制条件为这个系数k≠0. 3、在研究正比例函数、一次函数的性质时，教师应注意引领学生及时进行归纳和总结. 4、重视数学思想方法的应用和渗透 （1）体会从特殊到一般的认知规律. （2）数学结合的思想. （3）类比的方法 （4）待定系数法

14.2.1：通过实际问题引出正比例函数的概念，讨论了正比例函数的定义、图像和增减性。 （1）解析式 （2）解析式的特征 （3）自变量的取值范围 学生应掌握： （1）关于正比例函数的图象是一条过原点的直线，画正比例函数的图象时，可以通过两点而画出. （2）根据正比例函数的性质，只要知道比例系数k的符号是正（或负），不用画出图象就能判断其图象的位置，以及y随x的增大而增大（或减少）情况，就能推断出比例系数k的符号。

14.2.2 一次函数 第1节：通过实际问题引出正比例函数的概念，讨论了正比例函数的定义、图像和增减性。 14.2.2 一次函数 第1节：通过实际问题引出正比例函数的概念，讨论了正比例函数的定义、图像和增减性。 特殊到一般 类比 联想 第2节：通过实际问题引出一次函数的概念，讨论了一次函数的定义、图像和增减性。

第一课时：一次函数定义、图象，以及一次函数与正比例函数的关系 强调：（1）由一次函数定义可知：函数是一次函数其解析式可化为y=kx+b（k，b是常数，k≠0）的形式； （2）一次函数解析式y=kx+b（k≠0）的结构特征： ①k≠0；②自变量x的指数是1；③常数b可以是任意实数； （3）一般情况下，一次函数中自变量的取值范围是全体实数； （4）正比例函数是一次函数，而一次函数不一定是正比例函数。

第二课时：一次函数的图象与性质 学生应掌握： 结论可以从三个方面给出： （1）一次函数的图象：直线 （2）一次函数与正比例函数图象之间的关系：平移 （3）一次函数y=kx+b的图象的画法：两点确定一条直线，常取（0，b）和点（ ，0），或点（0，b）和点（1，k+b）来画直线，但对具体的一次函数如何选点，应结合它的解析式作出具体选择）。 学生应掌握： 两条直线，当比例系数k值相同（b值不同）时，两直线平行；当b值相同（k值不同）时，两直线交于y轴上同一点。

重点明确：直线y=kx＋ｂ(k≠0)中，常数k和b的取值对于直线的位置的影响: 正撇负捺，正上负下

第三课时：用待定系数法求一次函数的解析式； 要讲清楚： （1）什么是待定系数法 （2）用待定系数法确定函数解析式的一般步骤：①先写出含字母系数的解析式y=kx+b；②根据题中条件列出关于k、b的二元一次方程组；③解方程组求出k、b的值，④将k、b的值代入y=kx+b中，确定出一次函数解析式）。（简单记：一设二列三解四还原） （3）确定一次函数解析式需要两个独立的条件（确定正比例函数解析式则需一个条件即可）. （4）求函数解析式中待定系数k、b的值即是解方程。

第四课时：一次函数的实际应用。 从实际问题中抽象出函数的解析式和图像。 不把分段函数作为重点，学习分类讨论的分析方法。

14．2 学生容易出错的几点： （1）忽视定义的严谨性，即k≠0的条件； (2)错误地认为正比例函数与一次函数是两个不同的函数 14．2 学生容易出错的几点： （1）忽视定义的严谨性，即k≠0的条件； (2)错误地认为正比例函数与一次函数是两个不同的函数 （3）忽视自变量的取值范围的实际意义，造成扩大范围； （4）忽视具有实际意义的图象，造成错误； （5）与x轴、y轴的交点坐标分辨不清； （6）当两条直线在y轴上的截距相等时，误认为这两条直线平行。 （7）待定系数法不会用； （8）读不懂题，列不出函数关系式；

方程组的解是两个一次函数的图像的交点坐标。 二元一次方程组 14.3 用函数观点看方程（组）与不等式 本节分3小节。分别研究了用一次函数的观点对一元一次方程、一元一次不等式和二元一次方程组进行深层次的再认识。 方程组的解是两个一次函数的图像的交点坐标。 二元一次方程组 数形结合

14.4 课题学习 选择方案 问题1 用哪种灯省钱 问题2 怎样租车 问题3 怎样调水 【教学建议】 14.4 课题学习 选择方案 问题1 用哪种灯省钱 问题2 怎样租车 问题3 怎样调水 【教学建议】 本节的目的是为了进一步提高实践意识与综合运用数学 知识的能力。通过寻求最佳的解决方案，不仅可以从数形结合 的角度进行综合的、灵活地函数知识的情景，而且可以深入 体会函数在分析解决问题中重要作用，进一步感受建立数学 模型的思想方法。

考点一：自变量取值范围 函数自变量取值范围的求法： （1）分母不为0； （2）开偶次方根的被开方数大于等于0； （3）使实际问题有意义。 ①（2008北京）在函数 中，自变量 的取值范围是 ． ②若函数 有意义，则x的取值范围是 ．

考点二:一次函数图像特点 ⑴（2011山东滨州，6，3分）关于一次函数y=-x+1的图像，下列所画正确的是( )

考点二:一次函数图像特点 ⑵（ 2011重庆江津， 4，4分）直线y=x-1的图像经过象限是( ) A.第一、二、三象限 B.第一、二、四象限 C.第二、三、四象限 D.第一、三、四象限 ⑶（2011江西，5，3分）已知一次函数y=x+b的图像经过一、二、三象限，则b的值可以是（ ）. A.-2 B.-1 C.0 D.2

考点二:一次函数的特点（增减性） ⑴（2011湖南怀化，12，3分）一次函数y=-2x+3中，y的值随x值增大而___________.(填“增大”或“减小”) ⑵(2011江苏镇江,16,2分)已知关于x的一次函数y=kx+4k-2(k≠0).若其图象经过原点,则k=_____;若y随x的增大而减小,则k的取值范围是________.

考点二：一次函数图像与方程、不等式的关系 ⑴已知：如图，直线y=ax+b与y=mx+相交于点A，那么关于x,y的方程组 的解是 . ⑵如图，一次函数y1=k1x+b1和y2=k2x+b2的图像交于点P，则不等式的解集是 .

考点三：求一次函数解析式 ⑴已知函数 是一次函数，求其解析式。 ⑵ ①已知一个正比例函数的图象经过点（-2，4），则这个正比例函数的表达式是 . ②已知一次函数y=kx+5的图象经过点（-1，2），则k= . ⑶已知直线经过点（1，2）和点（-1 ，4），求这条直线的解析式. ⑷已知一次函数y=kx+b的图像如图所示，求其函数关系式。 待定系数法

求一次函数解析式 ⑸（2011湖南怀化，7，3分）在平面直角坐标系中，把直线y=x向左平移一个单位长度后，其直线解析式为 A．y=x+1 B.y=x-1 C.y=x D. y=x-2 ⑹将函数y＝2x＋3的图象平移，使它经过点(2,-1)．求平移后得到的直线的解析式． ⑺已知直线 与直线 平行，且在y轴上的截距为2，求直线的解析式。

考点四:求一次函数图像与坐标轴的交点坐标 ①(2011 浙江湖州，19，6) 已知：一次函数的图象经过M(0，2)，(1，3)两点． (l) 求k、b的值； (2) 若一次函数 的图象与x轴的交点为A(a，0)，求a的值． ② （2008年北京中考16题）如图，已知直线 y=kx-3经过点 M，求此直线与X 轴， Y轴的交点坐标．

求两个一次函数的交点坐标 （2011浙江杭州，17，6）点A，B，C，D的坐标如图，求直线AB与直线CD的交点坐标．

考点五:函数的图像 （2011四川内江，10，3分）小高从家骑自行车去学校上学，先走上坡路到达点A，再走下坡路到达点B，最后走平路到达学校，所用的时间与路程的关系如图所示。放学后，如果他沿原路返回，且走平路、上坡路、下坡路的速度分别保持和去上学时一致，那么他从学校到家需要的时间是 A.14分钟 B.17分钟 C.18分钟 D.20分钟 400 5 9 17 1200 2000 s(米) t(分钟)

考点五:函数的图像 （2011湖南衡阳，18，3分）如图所示，在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC，CD，DA运动至点A停止，设点P运动的路程为x ，△ABP的面积为y ，如果 y关于x 的函数图象如图所示，那么△ABC的面积是 ．

考点六:一次函数的应用 （2011湖南益阳，19，10分）某地为了鼓励居民节约用水，决定实行两级收费制，即每月用水量不超过14吨（含14吨）时，每吨按政府补贴优惠价收费；每月超过14吨时，超过部分每吨按市场调节价收费．小英家1月份用水20吨，交水费29元；2月份用水18吨，交水费24元． （1）求每吨水的政府补贴优惠价和市场调节价分别是多少？ （2）设每月用水量为 x吨，应交水费为y元，写出y与 x之间的函数关系式； （3）小英家3月份用水24吨，她家应交水费多少元？

考点六:一次函数的应用 （2011广东茂名，21，8分）某学校要印制一批《学生手册》，甲印刷厂提出：每本收1元印刷费，另收500元制版费；乙印刷厂提出：每本收2元印刷费，不收制版费． (1)分别写出甲、乙两厂的收费 (元) 、 (元)与印制数量 (本)之间的关系式； (4分) (2)问：该学校选择哪间印刷厂印制《学生手册》比较合算？请说明理由． (4分)

考点七:一次函数图像与坐标轴围成三角形的面积. ⑴求一次函数 的图象与坐标轴围成的三角形的面积 ⑵(2010年北京中考18题)如图，直线y=2x3与x轴交于点A，与y轴交于点B。 ① 求A、B两点的坐标； ② 过B点作直线BP与x轴交于点P，且使OP=2OA，求△ABP的面积。

考点八:一次函数与反比例函数综合题。 （2）过点A作AC⊥x轴，垂足为C，若点P在反比例函数图象上，且△PBC的面积等于18，求P点的坐标． ⑴2009年 17. 如图，A、B两点在函数 的图象上. （1）求 的值及直线AB的解析式； （2）如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称这个点是格点.请直接写出图中阴影部分（不包括边界）所含格点的个数。 ⑵2011朝阳一模 16．如图，一次函数y=kx+2的图象 与x轴交于点B，与反比例函数 的图象的一个交 点为A（2，3）． （1）分别求出反比例函数和一次函数的解析式； （2）过点A作AC⊥x轴，垂足为C，若点P在反比例函数图象上，且△PBC的面积等于18，求P点的坐标． ⑶2011海淀一模 17．如图，一次函数 与 反比例函数 的图象交于A（2，1），B（-1， ）两点. （1）求k和b的值； （2）结合图象直接写出不等式 的解集.

考点九：一次函数与二次函数综合题 已知平面直角坐标系xOy中, 抛物线 与直线 的一个公共点为 . （1）求此抛物线和直线的解析式； （2）若点P在线段OA上，过点P作y轴的平行线交（1）中抛物线于点Q，求线段PQ长度的最大值； （3）记（1）中抛物线的顶点为M，点N在此抛物线上，若四边形AOMN恰好是梯形，求点N的坐标及梯形AOMN的面积.