Mathematical Analysis 財金案例的應用 龍華科技大學 財金系 林素心 製 2005.2 – 2005.6

Textbook: Reference: 張保隆著。現代管理數學，華泰文化事業公司，初版，2000。 1.  劉明德，柳克婷編著。管理數學，文京圖書有限公司，修訂一版，2000。 2.  戴久永編著。管理數學，三民書局，修訂四版，2000。

線性規劃求解方法 -在財務金融領域之案例分析- Topic 1 Introduction Topic 2 Linear Programming Topic 3 Find Solution Topic 4 Applications in Financial Case

Topic 1 Introduction 對於如何分配有限資源，以達成利潤最大化或成本最小化之目標是企業經營者常遇到之最佳化問題，線性規劃（linear programming，簡稱 LP）乃是解決此問題常用方法之一。

目的 討論在線性規劃的數學模型及基本假設，並討論在線性規劃中的三種求解方法:圖解法、代數法及單形法，比較其優缺點，並以財務金融領域中保單規劃及投資組合二個案為研究對象，建構其數學模型，並利用單形法及模式語言LINDO，來求得最佳之決策方案。

Topic 2 Linear Programming Definition Math Model Basic Assumptions

何謂線性規劃 所謂線性規劃是將決策上所面臨的問題，以線性的數學式來加以描述，在線性等式及不等式組的條件下，使用特定的方法求得最佳解。

數學模型三步驟： 1.確定決策變數。 2.列出目標函數。 3.尋求所有限制條件。

線性規劃數學模型的格式 : maximize subject to

線性規劃其他形式之數學模型： 1.求目標函數z之極小值，如 minimize z 2.有些限制式為” ”，如 ，對某些 而言。 2.有些限制式為” ”，如 ，對某些 而言。 3.有些限制式為” ”，如 4.有些決策變數 無非負限制，如 不限正負號，對某些 而言。

線性規劃之基本假設: 1.比例性 ( proportionality ) : 是指每個變數對目標函數值的貢獻與該變數之值成比例。 2.相加性 ( additivity ) : 是指變數之間互相獨立，因此可相加減。 3.可分性 ( divisibility ) : 是指決策變數之值可為非整數(noninteger)，亦即可有小數部份，因此考慮的決策變數必須是連續的。 4.確定性 ( certainty ) : 是指所有的係數均為已知常數。

線性規劃求解過程五步驟： 1.瞭解真正的問題 2.構建線性規劃模型 3.蒐集投入資料 4.求解該模型 5.實施該解答

線性規劃的求解示意圖: 起始步驟 initialization step 反覆步驟 iterative step 否 最佳性檢定 optimality test 停 否 是

Topic 3 Mathemetical Methods 圖解法 代數法 單形法

線性規劃之專有名詞 1.可行解： 滿足所有限制式的解。 2.可行區域： 滿足所有限制式的區域即所有可行解所形成的集合。 3.最佳解： 在極大(小)化問題，最佳解即為可行區域中能使目標值為最大(小)的點。

極點/角點 (extreme point / corner point) 二維空間中可行區域的邊界是由有限個線段所構成的，假如可行區域可以被一圓圈所包圍，則稱此可行域為有界否則稱之為無界 。可行區域的邊界上，兩條直線的交點，稱為極點或角點。

線性規劃之定理 假設線性規劃問題的可行區域不為空集合。 1.若可行區域為有界，則目標函數在可行區域上必有最大值及最小值，且必定發生在極點上。 2.若可行區域是無界，則目標函數在可行區域上可能沒有最大值或最小值。但是當目標函數在可行區域上有最大或最小值時，則極值必定發生在極點上。

圖解法 當線性規劃問題只有兩個決策變數時，常用圖解法來找出極值，因為只有二個變數，因此限制式所構成的解很容易在X-Y平面上表示出來，之後，只須針對每個極點做探討即可。

以模型（I）為例

代數法 代數法是以求解聯立方程組的方法為基礎，因為不等式在代數上處理不便，所以我們需先將不等式轉換為等式，因此問題的數學模型必須轉換為標準式。標準式是指數學模型必須為極大化問題 ，所有的限制是皆為等式，所有的變數皆為非負。

數學模型之標準式

轉換為標準式之步驟 1.若原先為最小化問題，則可定義一新的目標函數 例如 可轉換

2.若限制條件為“ ”的不等式，則在不等式的左端加上一個非負的虛變數 例如 反之，若限制條件為“ ”的不等式，則在不等式的左端減去一個非負的虛變數。

求解個數 聯立方程式只有m個，但未知數卻有n+m個，因此必須從n+m個未知數中令n個未知數為0，代入聯立方程式中求解，所以共有組 在挑出滿足所有變數皆為非負條件的解，到獲得最佳解為止

只有二個聯立方程式，但未知數卻有四個，共有 組的解。

但當決策變數及限制式很多時，代數法的計算方式也很龐大，可行解的個數可能會多到無法處理的地步。

單形法 單形法是一種迭代演算法(iterative algorithm) ，即重覆一系列的固定步驟，稱為一次反覆直到獲得結果為止 。 1947年由美國George Dantzig為解決線性規劃問題而發展出來的方法 。效率很高的解題方法，時常利用電腦，以求解非常龐大的問題，並且有很多功能強大的套裝軟體可使用，如LINDO….等 單形法是一種迭代演算法(iterative algorithm) ，即重覆一系列的固定步驟，稱為一次反覆直到獲得結果為止 。

單形法之流程圖

一開始選擇A=（0¸0）為起始基本可行解。找相鄰的基本可行解C=（0¸35）停止，可行解，到下一個相鄰的基本可行解D=（10¸30）停止，已無較優的相鄰基本可行解,所以（10¸30）即為最佳解。以單形法尋找最佳解，不需檢測所有極點，只需檢測A、C、D三點，因此效率比圖解法或代數法為佳。

軟體介紹 單形法須經過多次反覆才能找出最佳解，因此一般都是利用電腦來執行。市面上有許多優良的線性規劃套裝軟體，CPLEX是全球公認可以求解龐大問題的功能強大套裝軟體。而LINDO亦是著名的求解線性規劃及其延伸問題的套裝軟體。LINDO的歷史比CPLEX更久，最大版本的LINDO曾經解過數以千計的函數限制式和數十萬決策變數的問題。它長期受歡迎的原因是因其使用方便，若處理很小的問題時，使用者能以直覺的方式輸入與求解模型，對學生來說是一種很方便的工具。

Topic 4 Applications in Financial Case Insurance Case Portfolio Analysis

Case One 龍先生 華小姐 月薪 $60000 $45000 負債 共同擁有400萬 資產 共同擁有50萬存款 限制條件： 1.龍先生年薪百分之十 2.100萬的終身壽險 3.50萬的分紅及不分紅之20年期壽險

表4-1-1南山壽險公司的保險項目及保費 20 PL N20 TL 20 TL HS 計 劃 數 3 5 7 10 15 20 男性 308   20 PL N20 TL 20 TL HS 計 劃 數 3 5 7 10 15 20 男性 308 35 59 630 1050 1470 2100 3150 4116 女性 270 18 31 795 1325 1855 2650 3975 5186   HS MN PAR 計 劃 數 25 30 男性 4988 5670 208 12 女性 6284 7144  

南山壽險公司計算醫療險、意外險、壽險保費及保額的公式分別如下： 醫療險： 每日醫療所需金額 = 平均月收入(元) / 30 計劃數 = 每日醫療所需金額 / 100 計劃數對照下，即可計算出保費。 意外險： 意外險保費=意外險保額*PAR+2*MN 壽險： 壽險保額=年收入*5+比例的負債-1/2*現有資金

假設龍先生投保意外險為200萬時，以南山壽險公司計算公式計算出龍先生醫療險、意外險、壽險的保費及保額分別如下： 醫療險： 每日醫療所需金額=60000/30=2000 計劃數=2000/100=20 查表4-1-1得知當計劃數為20時，保費為4116元。 意外險： 意外險保費=200*12+2*208=2816 壽險： 壽險保額=6*12*5+400*6/(6+4.5) – 1/2*50=563(萬元) 壽險可用保費=60000*12*1/10-2816- 4116=65068(元)

設終身壽險保額為 萬元，不分紅20年期壽險保額為 萬元， 分紅20年期壽險保額為 萬元。 數學模型

使用LINDO程式所解出的最佳解為: 若龍先生固定保費為年薪的百分之十，則可分別投保 1.終身壽險保額133萬元。 2.不分紅20年期壽險保額50萬元，分紅20年期壽險保 額380萬元。 3.醫療險計劃數11單位和意外險保額200萬元，方能 得到最大的壽險保障563萬元，見圖4-1-1。

圖4-1-1 意外險為200萬時最佳解

表4-1-2 在不同意外險下三種壽險保額 意外險保額 (萬元) 壽險項目 終身壽險 不分紅20年 期壽險 分紅20年 200 133 50   意外險保額 (萬元) 壽險項目 終身壽險 不分紅20年 期壽險 分紅20年 200 133 50 380 300 128 385 400 123 390 500 118 395

圖4-1-5 在不同意外險下三種壽險保額長條圖： 資料來源:本組綜合整理

Case Two 假設王大忠現今有100萬的閒置資金，想要拿來投資，但金融商品因性質不同，風險程度也有差異，基於風險分散原則，王大忠希望將資金投資在四種金融商品中定存、股票、基金、外匯： 若定存至少保有資金的10%，股票也至少保有資金的10%，那麼在不同的風險考量下，王大忠要如何分配其資金可使其投資報酬率最大? 王大忠將自網站及證券公司所搜集的資料彙集成下表4-2-1：  

表4-2-1 投資標的物 平均年報酬率（%） 風險 1、台幣定期儲蓄存款 1.4 2、化工類股票 5.97 4.94 3、債券型基金 3.6 0.34 4、外匯 0.54 1.28

數學模型 使用LINDO程式所解出的最佳解為： 將資金的88% 投資於定存，10％投資於股票，另外2％的資金投資在基金，可得最大的報酬率為1.90%，見圖4-2-1。

圖4-2-1　風險為0.5之最佳解

　　將以上不同風險考量下，不同的資金分配比例及報酬率整理如下： 標的 風險 資金分配比例(%) 年報酬率(%) 定存 股票 基金 外匯 0.5 88 10 2 1.90 1 15 75 3.74 2.5 48 42 4.5 4 80 5.28 資料來源:本組綜合整理

若將不同風險下，不同的資金分配比例，繪製成圖： 資料來源:本組綜合整理

若將不同風險下，不同的報酬率，繪製成圖： 資料來源:本組綜合整理

在投資的過程中，不管我們如何謹慎，也只能做到分散風險，而無法完全規避風險，在此個案中，我們探討的是風險與投資組合的關係，因此，要確保投資的安全性，最好的方式還是分散投資項目，將資金作妥善的分配，進而在可接受的風險下，達到令人滿意的報酬。

Summary 所謂線性規劃是將決策上所面臨的問題，以線性的數學式來加以描述，在線性等式及不等式組的條件下，使用特定的方法求得最佳解( optimum solution ) 。 本專題討論了在線性規劃中求解的三種方法—圖解法、代數法及單形法。此三種方法的優缺點比較如下：

圖解法 代數法 單形法 優點 當線性規劃問題只有二個決策變數時，可用圖解法找出最佳解。圖形的解法簡便，可以節省求解的時間。 當決策變數大於二個，無法畫出可行區域時，可以利用代數法。 當決策變數及限制式很多時（大型線性規劃問題），利用單形法可以快速的把我們所需要的解求出，是一種非常有效率的方法。 缺點 當決策變數二個以上，圖解法就不適用。 當決策變數及限制式很多時，代數法的計算方式可能很龐大，基本可行解的個數可能會多到無法處理的地步。 雖然在數百函數限制式以下的問題，單形法是最有效率的演算法，但是單形法也有它不適用的時候，此時其他的求解方法可能會更合適。例如：大m法和內點法。

求可行解數目之公式 m代表聯立方程式 n+m代表未知數

敏感度分析，是模式建立過程中很重要的一個先決步驟。在以往所看到的教科書裡，所有的參數都是已知的，但實際上這些是需要收集相關的資料才能確定的數值，由於無法準確的知道真正的數值，所以分析參數的數值影響程度就變得很重要，而這種程序就稱為「敏感度分析」。