第 7 章 隨機變數和 間斷機率分配

隨機變數 一個隨機變數(random variable) 是一個函數或法則，它指派一個數值給每一個實驗的可能結果。 簡而言之，一個隨機變數的值是一個數值事件。 取代銅板投擲的事件為 {正面, 反面} 將它當作 “投擲一個銅板為正面的次數” {1, 0} (數值的事件) 第7章 隨機變數和間斷機率分配 第223頁

兩種類型的隨機變數 間斷隨機變數(discrete random variable) – 值是可計數的。 – 例如：定義 X 是在投擲10 次銅板的實驗中所觀察到 出現正面的次數，X 的值是0, 1, 2, ...,10。 連續隨機變數(continuous random variable) – 值是不可計數的 – 例如：時間30分鐘，它是30.1分鐘？30.01分鐘？還 是30.001分鐘？ 類推: 整數是間斷的，真實的數字是連續的。 第7章 隨機變數和間斷機率分配 第223頁

機率分配 一個機率分配(probability distribution) 是一個表格、公式或圖形，用來描述隨機變數的數值以及與這些數值相關的機率。 由於我們描述隨機變數 (可以是間斷或連續的) ，我們有兩種機率分配的類型： – 間斷機率分配（在本章） 與 – 連續機率分配（第 8 章） 第7章 隨機變數和間斷機率分配 第224頁

機率分配 一個大寫的字母將用來表示隨機變數的名稱(name)，通常以 X 表示。 它的小寫字母將用以表示此隨機變數的數值。 我們表示隨機變數 X 將會等於x的機率為 P(X = x) 或更簡單的 P(x) 第7章 隨機變數和間斷機率分配 第225頁

間斷機率分配 一個間斷隨機變數數值的機率可以藉由如樹狀圖等機率工具或是由應用某一種機率的定義而得到。但是，下列說明的兩個基本條件是必要的： 1. 對所有可能的 x 值 2. 第7章 隨機變數和間斷機率分配 第225頁

範例7.1 《美國統計摘要》(Statistical Abstract of the United States) 每年出版一次。它的內容包括人口普查和其他來源的各種廣泛資訊。其目的是提供美國居民生活上各種層面的資訊。其中一個問題是要求這些家庭報告家中擁有的彩色電視機的數量。下列是彙整的資料表。定義隨機變數為每戶家庭彩色電視機的數量，展示其機率分配。 第7章 隨機變數和間斷機率分配 第225頁

範例7.1 第7章 隨機變數和間斷機率分配 第226頁

範例7.1 我們將每一個X 數值對應的次數除以家庭總數，產生下列的機率分配 例如： P(X=4) = P(4) = .076 = 7.6% 1,218 ÷ 101,501 = 0.012 例如： P(X=4) = P(4) = .076 = 7.6% 第7章 隨機變數和間斷機率分配 第226頁

範例7.1 例如：隨機選取的一戶家庭擁有2 台或更多台彩色電視機的機率是？ 「擁有2 台或更多台彩色電視機的機率」 P(X  2) = P(2) + P(3) + P(4) + P(5) = .374 + .191 + .076 + .028 = .669 第7章 隨機變數和間斷機率分配 第226頁

範例7.2 一位共同基金的銷售員安排了明天要打電話給三個人。基於過去的經驗，這位銷售員知道每一通電話有20%的機會可以銷售成功。推斷這位銷售員可以成交件數的機率分配。 令S 表示成功，銷售成功的機率P(S)=.20 所以SC是銷售不成功的機率P(SC)=.80 第7章 隨機變數和間斷機率分配 第227頁

範例7.2 機率樹狀圖 X P(x) .23 = .008 3(.032)=.096 3(.128)=.384 0 .83 = .512 第一通電話 第二通電話 第三通電話 事件 (.2)(.2)(.8)= .032 S S S S S SC S SC S S SC SC SC S S SC S SC SC SC S SC SC SC P(S)=.2 P(SC)=.8 P(S)=.2 P(SC)=.8 X P(x) .23 = .008 3(.032)=.096 3(.128)=.384 0 .83 = .512 P(S)=.2 P(SC)=.8 P(X=2) 表示在這邊 第7章 隨機變數和間斷機率分配 第227頁 圖7.1

機率分配與母體 機率分配的重要性在於它們可以被當成母體的代表。 並且如同我們以前提過的，統計推論處理關於母體的推論。 在範例7.1 中的機率分配提供我們母體中關於每一戶家庭 彩色電視機數量的資訊。 在範例7.2中的母體是銷售人員在三通電話中銷售成功的 數量。 並且如同我們以前提過的，統計推論處理關於母體的推論。 如母體平均數與母體變異數。 第7章 隨機變數和間斷機率分配 第228頁

母體平均數（期望值） 母體平均數是它所有數值的加權平均數。這些權重就是各個機率。 這個參數又被稱為是 X 的期望值(expected value)。 第7章 隨機變數和間斷機率分配 第229頁

母體變異數 母體變異數計算的方法是類似的。它是各個數值與平均數差異平方的加權平均數。 母體變異數的簡易計算公式 標準差的定義與第4章中的定義是相同的： 第7章 隨機變數和間斷機率分配 第229頁

範例7.3 找出範例7.1中每一戶家庭擁有彩色電視機數量的母體平均數、變異數與標準差。 第7章 隨機變數和間斷機率分配 第229.230頁

範例7.3 找出範例7.1中每一戶家庭擁有彩色電視機數量的母體平均數、變異數與標準差。 第7章 隨機變數和間斷機率分配 第229.230頁

範例7.3 找出範例7.1中每一戶家庭擁有彩色電視機數量的母體平均數、變異數與標準差。 第7章 隨機變數和間斷機率分配 第229.230頁

期望值法則 E(c) = c E(X + c) = E(X) + c E(cX) = cE(X) 期望值法則 E(c) = c 常數 (c)的期望值 即是常數的值。 E(X + c) = E(X) + c E(cX) = cE(X) 我們可以從期望值“拉出/抽出”一個常數的法則(隨機變數X 加總的一部分或是一個隨機變數X的係數) 。 第7章 隨機變數和間斷機率分配 第231頁

範例7.4 一家電腦商店每月銷售額的平均數是$25,000，標準差是$4,000。利潤的計算是將銷售額乘以30%，再減去固定成本$6,000。 找出每月利潤的平均數 1)以代數的用語來描述問題： 銷售額的平均數$25,000  E(銷售額) = 25,000 利潤的計算… 利潤 ＝ .30 (銷售額) － 6,000 第7章 隨機變數和間斷機率分配 第231頁

範例7.4 一家電腦商店每月銷售額的平均數是$25,000，標準差是$4,000。利潤的計算是將銷售額乘以30%，再減去固定成本$6,000。 找出每月利潤的平均數 期望或平均利潤是 E(利潤) ＝ E [.30 (銷售額) － 6,000] 應用期望值的第二條法則，我們得到 E(利潤) ＝ E [.30 (銷售額)] － 6,000 應用第三條法則，得到 E(利潤) ＝ .30E (銷售額) － 6,000 ＝ .30(25,000) － 6,000 ＝ 1,500 因此，每月的平均利潤是$1,500 第7章 隨機變數和間斷機率分配 第231頁

變異數法則 V(c) = 0 V(X + c) = V(X) V(cX) = c2V(X) 常數(c)的變異數是0。 變異數法則 V(c) = 0 常數(c)的變異數是0。 V(X + c) = V(X) 隨機變數與常數的變異數是隨機變數的變異數 (per 1 above)。 V(cX) = c2V(X) 隨機變數與常數係數的變異數是係數的平方乘以隨機 變數的變異數。 第7章 隨機變數和間斷機率分配 第231頁

範例7.4 一家電腦商店每月銷售額的平均數是$25,000，標準差是$4,000。利潤的計算是將銷售額乘以30%，再減去固定成本$6,000。 找出每月利潤的標準差 1)以代數描述問題陳述： 銷售額的標準差$4,000  V(利潤) ＝ (.30)2 V (銷售額) ＝ .09(4,000)2 ＝ 1,440,000 (記住標準差與變異數間的關係 ) 利潤的計算… 利潤 ＝ .30 (銷售額) － 6,000 第7章 隨機變數和間斷機率分配 第232頁

範例7.4 一家電腦商店每月銷售額的平均數是$25,000，標準差是$4,000。利潤的計算是將銷售額乘以30%，再減去固定成本$6,000。 找出每月利潤的標準差 2) 利潤的變異數= V(利潤) =V[.30(銷售額) – 6,000] =V[.30(銷售額)] [第二條法則] =(.30)2V(銷售額) [第三條法則 ] =(.30)2(16,000,000) = 1,440,000 標準差是變異數的平方根， 因此，每月利潤的標準差是= (1,440,000)1/2 = $1,200 第7章 隨機變數和間斷機率分配 第232頁

範例7.4 一家電腦商店每月銷售額的平均數是$25,000，標準差是$4,000。利潤的計算是將銷售額乘以30%，再減去固定成本$6,000。 找出每月利潤的平均數與標準差 每月利潤的平均數是$1,500 每月利潤的標準差是$1,200 第7章 隨機變數和間斷機率分配 第231-232頁

雙變量分配 當只有一個變數的分配時，我們稱為單變量分配(univariate distribution)。 雙變量分配 當只有一個變數的分配時，我們稱為單變量分配(univariate distribution)。 在這一節中，我們提出雙變量分配(bivariate distribution)，它提供兩個變數組合的機率。 雙變量分配又稱為聯合機率。假設變數的值分別為x 和y，是以符號P(x, y)表示。X 和Y 的雙變量( 或聯合) 機率分配是一個表格或公式，其中列出所有成對x 和y 數值的聯合機率。 P(x, y) = P(X=x 和 Y=y) 第7章 隨機變數和間斷機率分配 第235頁

間斷雙變量分配的條件 你可能預期，雙變量分配的必要條件相似於單變量分配，只對符號做小小的變更: 對所有成對的(x, y)而言。 間斷雙變量分配的條件 你可能預期，雙變量分配的必要條件相似於單變量分配，只對符號做小小的變更: 對所有成對的(x, y)而言。 第7章 隨機變數和間斷機率分配 第235頁

範例7.5 Xavier 和Yvette 是不動產經紀人。令X 代表Xavier 將在一個月內售出的房屋數量，令Y 代表Yvette 將在一個月內售出的房屋數量。他們過去一個月銷售業績的分析具有下列的聯合機率。 第7章 隨機變數和間斷機率分配 第235.236頁

例如：Xavier 賣出一棟房屋的機率 = P(X=1) =0.50 邊際機率 如同我們在第6章的作法一樣，我們藉著橫向加總列的數字，與向下加總行的數字以計算邊際機率： 例如：Xavier 賣出一棟房屋的機率 = P(X=1) =0.50 第7章 隨機變數和間斷機率分配 第237頁

描述雙變量分配 我們通常以計算每一個變數的平均數、變異數與標準差來描述雙變量分配。我們利用邊際機率來執行這些計算。 與單變量分配相同的公式… 描述雙變量分配 我們通常以計算每一個變數的平均數、變異數與標準差來描述雙變量分配。我們利用邊際機率來執行這些計算。 與單變量分配相同的公式… 第7章 隨機變數和間斷機率分配 第237頁

共變異數 兩個間斷變數的共變異數被定義成： 共變異數的簡易計算公式： 第7章 隨機變數和間斷機率分配 第237頁

相關係數 相關係數的計算方法與第4 章的方法是相同的。 第7章 隨機變數和間斷機率分配 第237-238頁

範例7.6 計算範例7.5中兩位經紀人銷售房屋數量的共變異數與相關係數。 –.15 –.35 兩個變數之間存有一個微弱的負向關係。 範例7.6 計算範例7.5中兩位經紀人銷售房屋數量的共變異數與相關係數。 –.15 –.35 兩個變數之間存有一個微弱的負向關係。 第7章 隨機變數和間斷機率分配 第238頁

兩個變數的加總 雙變量分配讓我們能夠發展兩個變數任何組合的機率分配。而讓我們特別感興趣的是兩個變數的加總。 兩個變數的加總 雙變量分配讓我們能夠發展兩個變數任何組合的機率分配。而讓我們特別感興趣的是兩個變數的加總。 X 和 Y 兩個變數的加總是每個月售出房屋的總數，我們可以得到聯合機率： …以回答像是 “售出兩間房屋的機率”的問題 P(X+Y=2) = P(0,2) + P(1,1) + P(2,0) = .07 + .06 + .06 = .19 第7章 隨機變數和間斷機率分配 第239頁

兩個變數的加總 我們可以使用一般的方法計算 X+Y的期望值、變異數與標準差。 第7章 隨機變數和間斷機率分配 第239頁

兩變數加總的期望值與變異數法則 我們可以導出一些法則讓我們能夠更方便地計算兩變數加總的期望值與變異數。 兩變數加總的期望值與變異數法則 我們可以導出一些法則讓我們能夠更方便地計算兩變數加總的期望值與變異數。 1.E(X + Y) = E(X) + E(Y) 2.V(X + Y) = V(X) + V(Y) + 2COV(X, Y) 如果X 與Y 是獨立的，則COV(X, Y) = 0，因此 V(X + Y) = V(X) + V(Y) 第7章 隨機變數和間斷機率分配 第239頁

範例7.7 E(X + Y) = E(X) + E(Y) = .7 + .5 = 1.2 範例7.7 E(X + Y) = E(X) + E(Y) = .7 + .5 = 1.2 V(X + Y) = V(X) + V(Y) + 2COV(X, Y) = .41 + .45 + 2(–.15) = .56 第7章 隨機變數和間斷機率分配 第240頁

投資組合多元化與資產配置 試想一位投資者想出一種投資組合，只有包括兩檔股票，投資$4,000 在第一檔股票，投資$6,000 在第二檔股票。假設一年後的結果如下所列 或 第7章 隨機變數和間斷機率分配 第243頁

兩檔股票投資組合的平均數與變異數 E(Rp) = w1 E(R1) + w2 E(R2) 兩檔股票投資組合的平均數與變異數 E(Rp) = w1 E(R1) + w2 E(R2) V(Rp) = w12 V(R1) + w22 V(R2) + 2w1w2 COV(R1, R2) = w12σ12 + w22σ22 + 2w1w2ρσ1σ2 其中w1 和 w2 是投資1和投資2的比例或權重，E(R1) 與 E(R2) 是它們的期望值，σ1 與σ2 是它們的標準差。COV(R1, R2)是共變異數，而ρ是相關係數。 第7章 隨機變數和間斷機率分配 第244頁

範例7.8 一位投資者決定將25%的錢投入McDonald’s的股票，以及 75 % 投入 Cisco Systems的股票。這位投資者假設期望的報酬率分別是 8 %與15%，並且標準差分別是 12 ％與 22 ％。 a.找出投資組合的期望報酬率。 b.計算這項投資組合報酬率的標準差，假設： i.這兩檔股票的報酬率是完全的正相關。 ii.其相關係數是.5。 iii.這兩檔股票的報酬率是不相關的。 第7章 隨機變數和間斷機率分配 第244頁

範例7.8 a.這兩檔股票報酬率的期望值是 E(R1) = .08 和 E(R2) = .15 範例7.8 a.這兩檔股票報酬率的期望值是 E(R1) = .08 和 　E(R2) = .15 權重是 w1 = .25 並且 w2 = .75. 因此， E(R2) = w1E(R1) + w2E(R2) = .25(.08) + .75(.15) = .1325　　 　　　　　　　　　　　 第7章 隨機變數和間斷機率分配 第244頁

範例7.8 b.標準差是 σ1 = .12 和 σ2 = .22. 因此 V(Rp) = w12σ12 + w22σ22 + 2w1w2ρσ1σ2 = (.252)(.122) + (.752)(.222) + 2(.25)(.75)ρ (.12)(.22) 　　 = .0281 + .0099 ρ 當 ρ = 1 V(Rp) = .0281 + .0099(1) = .0380 當 ρ = .5 V(Rp) = .0281 + .0099(.5) = .0331 當 ρ = 0 V(Rp) = .0281 + .0099(0) = .0281 第7章 隨機變數和間斷機率分配 第244-245頁

投資組合多元化的實務應用 在這一節中介紹的公式要求我們知道我們所關心的投資的期望值、變異數與共變異數（或是相關係數）。產生的問題是：我們如何決定這些參數？（附帶地，這個問題在財務教科書中很少被談到！）最常用的處理程序是從歷史性的資料估計參數，使用樣本統計量。 第7章 隨機變數和間斷機率分配 第245頁

具有兩檔以上股票的投資組合 我們可以將這些描述兩檔股票投資組合報酬率的平均數與變異數公式延用到任何檔數股票的投資組合。 具有兩檔以上股票的投資組合 我們可以將這些描述兩檔股票投資組合報酬率的平均數與變異數公式延用到任何檔數股票的投資組合。 k 檔股票投資組合的平均數與變異數 E(Rp) = V(Rp) = 其中 Ri是第i 檔股票的報酬率，wi是投資組合中投資股票i的比例，k 是投資組合中股票的檔數。 第7章 隨機變數和間斷機率分配 第245-246頁

具有兩檔以上股票的投資組合 當 k 大於 2 的時候，計算可能會是冗長沉悶以及耗時的。例如，當k = 3，我們必須知道三個權重、三個期望值、三個變異數與三個共變異數。當k = 4，將會有四個期望值、四個變異數與六個共變異數。 [必要的共變異數個數通常是 k(k - 1)/2]。為了協助你，我們建立了 Excel 試算表以執行當k ＝ 2、3或4時的計算。為了示範，我們將回到本章導論中所敘述的問題。 第7章 隨機變數和間斷機率分配 第246頁

開章範例 一位投資者有$100,000 要投資於股票市場。她感興趣於發展一個由General Electric、General Motors、McDonald’s 與Motorola 所組成的股票投資組合。但是，她並不知道對每一家公司要投資多少錢。她想要有最高值的報酬率，但是也希望能將風險最小化。在60 個月期間(2001 年1 月至2006 年12 月)(Xm07-00) 第7章 隨機變數和間斷機率分配 第222頁

開章範例 經過一些考量之後，她縮小其投資選擇至下列三種。她應該如何做？ 1. 在每一檔股票投資 $25,000。 開章範例 經過一些考量之後，她縮小其投資選擇至下列三種。她應該如何做？ 1. 在每一檔股票投資 $25,000。 2. General Electric: $10,000; General Motors: 　　$20,000; McDonald’s: $30,000;Motorola: 　　$40,000。 3. General Electric: $10,000; General Motors: 　　$50,000; McDonald’s: $30,000;Motorola: 　　$10,000。 第7章 隨機變數和間斷機率分配 第222頁

開章範例 由於計算的繁複，我們將使用Excel 解答這一個問題。從檔案我們計算每一檔股票報酬率的平均數。 開章範例 由於計算的繁複，我們將使用Excel 解答這一個問題。從檔案我們計算每一檔股票報酬率的平均數。 第7章 隨機變數和間斷機率分配 第246頁

開章範例 接下來，我們計算變異數－共變異數矩陣。( 這些指令與第4 章的描述是相同的──只要將你想要包含在投資組合中的所有投資報酬率的欄位包括在內即可。) 第7章 隨機變數和間斷機率分配 第246頁

開章範例 注意，這些報酬率的變異數被列在對角線上。因此，例如，General Electric的60 個月報酬率的變異數是.003493。共變異數呈現在對角線的下面。McDonald’s 和Motorola 報酬率之間的共變異數是 .002515。 利用在此描述的指令，平均數和變異數－共變異數矩陣可以被複製到試算表上。輸入權重的數值可得到下列的結果。 第7章 隨機變數和間斷機率分配 第246-247頁

開章範例 計畫1 第7章 隨機變數和間斷機率分配 第247頁

開章範例 計畫2 第7章 隨機變數和間斷機率分配 第247頁

開章範例 計畫3 第7章 隨機變數和間斷機率分配 第247頁

開章範例 計畫3 有最小的期望值與最大的變異數，使其成為三個計畫中最差的一個。計畫2 有最大的期望值。而計畫1 有最小的變異數。如果這位投資者像大多數的投資者一般，她將會選擇計畫1 因為它的風險最小。其他比較具冒險性的投資者可能選擇計畫2，以佔其高期望值的優勢。 第7章 隨機變數和間斷機率分配 第248頁

二項分配 二項分配是二項實驗的結果，二項實驗具有下列的性質： 二項分配 二項分配是二項實驗的結果，二項實驗具有下列的性質： 二項實驗(binomial experiment) 是由固定次數的試驗所組成。我們用n 表示試驗的次數。 每一次的試驗只有兩種可能的結果。我們標示其中一個結果為成功(success)，另一個結果為失敗(failure)。 成功的機率是 p。失敗的機率是1 － p。 這些試驗是獨立的，其意義是一個試驗的結果不會影響其他任何試驗的結果。 第7章 隨機變數和間斷機率分配 第249-250頁

成功與失敗 …標示為二項實驗，不包含判斷值。 成功與失敗 …標示為二項實驗，不包含判斷值。 例如，投擲一個銅板將產生正面或反面。如果我們定義“正面”為成功，則“反面”必定為失敗(我們儘可能試著讓銅板落地時是正面向上)。 其他二項實驗： 選舉候選人是贏或輸 員工是男性或女性 第7章 隨機變數和間斷機率分配 第250頁

二項隨機變數 一個二項實驗的隨機變數被定義為在 n 次的試驗中成功的次數。它被稱為二項隨機變數(binomial random variable)。 例如：投擲一枚銅板10 次。 1) 投擲一枚銅板10 次。 n=10 2) 每一次試驗的兩種可能結果為正面與反面。 {正面(成功)，反面 (失敗)} 3) p(成功)= 0.50； p(失敗)=1–0.50 = 0.50  4) 試驗之間是獨立的 (投擲一次銅板的結果不可能影響其他投擲的結果。) 因此，投擲一枚硬幣10次是一個二項實驗因為會符合所有條件。 第7章 隨機變數和間斷機率分配 第250頁

二項隨機變數 二項隨機變數是在一個含n 次試驗的實驗中成功的次數。它可以是數值0, 1, 2, ..., n。因此，此類隨機變數是間斷的。為了要進行分析，我們必須要能夠計算與每一個數值發生的機率。 將機率分配的兩個成分放在一起，則產生下列公式： 對x = 0, 1, 2, …, n 第7章 隨機變數和間斷機率分配 第251-252頁

範例7.9 Pat Statsdud 是一位修統計課的學生。不妙的是， Pat 不是一位好學生。 Pat 在上課之前不讀教科書，不做作業，並且經常缺課。 Pat 想靠運氣來通過下次的測驗。這項測驗有 10 題選擇題。每一題有5種可能的答案，其中只有一個答案是正確的。 Pat 計畫要猜每一題的答案。 a. Pat 沒有猜中任何正確答案的機率為何？ b. Pat 答對 2 題的機率為何？ 第7章 隨機變數和間斷機率分配 第252頁

範例7.9 Pat Statsdud 是一位修統計課的學生。不妙的是， Pat 不是一位好學生。 Pat 在上課之前不讀教科書，不做作業，並且經常缺課。 Pat 想靠運氣來通過下次的測驗。這項測驗有 10 題選擇題。每一題有5種可能的答案，其中只有一個答案是正確的。 Pat 計畫要猜每一題的答案。 此實驗 n = 10，與 p(成功) = 1/5 = .20 第7章 隨機變數和間斷機率分配 第252-253頁

範例7.9 這是二項實驗嗎? 檢查以下條件:  是一個有限制值的試驗 (n = 10)。  答案可以都正確或都不正確。 範例7.9 這是二項實驗嗎? 檢查以下條件:  是一個有限制值的試驗 (n = 10)。  答案可以都正確或都不正確。 正確答案的機率 (P(success) = .20)不會因問題改變而變更。  每一個答案都是獨立的。 第7章 隨機變數和間斷機率分配 第頁

以猜題的策略作答，Pat 有 11% 的機會全猜錯。 範例7.9 n = 10，且 P(成功) = .20 Pat 沒有猜中任何正確答案的機率為何？ 即，成功的題數，x， = 0; 因此我們想知道P(x=0) 以猜題的策略作答，Pat 有 11% 的機會全猜錯。 第7章 隨機變數和間斷機率分配 第252-253頁

以猜題的策略作答，Pat 有 30% 的機會恰好答對 2 題。 範例7.9 n=10，且P(成功) = .20 Pat 答對 2 題的機率為何？ 即，成功的題數， x， = 2; 因此我們想知道P(x=2) 以猜題的策略作答，Pat 有 30% 的機會恰好答對 2 題。 第7章 隨機變數和間斷機率分配 第252-253頁

累積機率 目前為止，我們一直使用二項機率分配以找出x 獨立數值的機率。為了回答下列的問題： “找出 Pat無法通過測驗的機率” 累積機率 目前為止，我們一直使用二項機率分配以找出x 獨立數值的機率。為了回答下列的問題： “找出 Pat無法通過測驗的機率” 需要累積機率，即P(X ≤ x) 如果測驗的分數少於 50% (10題中少於5題), 將視為不通過的測驗。 因此，我們想要知道 (無法通過測驗的機率為何)： 以P(X ≤ 4) 來回答 第7章 隨機變數和間斷機率分配 第254頁

範例7.10 P(X ≤ 4) = P(0) + P(1) + P(2) + P(3) + P(4) 範例7.10 P(X ≤ 4) = P(0) + P(1) + P(2) + P(3) + P(4) 從範例7.9中，我們得知 P(0) = .1074 以及 P(2) = .3020。使用二項公式，我們得到P(1) = .2684 , P(3) = .2013，以及P(4) = .0881，因此， P(X ≤ 4) = .1074 + .2684 +.3020 + .2013 + .0881=.9672 以猜每一題答案的方式作答，Pat 有97% 的機率無法通過測驗。 第7章 隨機變數和間斷機率分配 第254頁

二項機率表 以手計算二項機率是乏味且易出錯. 有個較容易的方法。參考附錄B的表1 。關於Pat Statsdud 的例子，n=10， 所以重要的第一步就是使用正確的表格! 第7章 隨機變數和間斷機率分配

二項機率表 表格中列出的機率是累積的，如 P(X ≤ k) – k 是列的數值；表格的行是由P(成功) = p 二項機率表 表格中列出的機率是累積的，如 P(X ≤ k) – k 是列的數值；表格的行是由P(成功) = p 第7章 隨機變數和間斷機率分配

如 給定 P(成功) = .20並且 n=10 ， P(X = 2)為何? 二項機率表 “Pat 全猜錯的機率是多少?” 如 給定 P(成功) = .20並且 n=10 ， P(X = 2)為何? P(X = 0) = P(X ≤ 0) = .1074 第7章 隨機變數和間斷機率分配

二項機率表 “Pat答對 2 題的機率是多少?” 如 給定 P(成功) = .20並且 n = 10 ， P(X = 2)為何? 二項機率表 “Pat答對 2 題的機率是多少?” 如 給定 P(成功) = .20並且 n = 10 ， P(X = 2)為何? P(X = 2) = P(X ≤ 2)–P(X ≤ 1) = .6778–.3758 =.3020 記住， 表格呈現累積機率… 第7章 隨機變數和間斷機率分配

二項分配 “Pat 無法通過測驗的機率是多少?” 即 給定P(成功) = .20 並且 n = 10 ， P(X = ≤ 4)為何? 二項分配 “Pat 無法通過測驗的機率是多少?” 即 給定P(成功) = .20 並且 n = 10 ， P(X = ≤ 4)為何? P(X ≤ 4) = .9672 第7章 隨機變數和間斷機率分配

二項機率表 二項機率表提供累積機率給 P(X ≤ k)，但是我們在上/前一個例子中看到 二項機率表 二項機率表提供累積機率給 P(X ≤ k)，但是我們在上/前一個例子中看到 P(X = k) = P(X ≤ k) – P(X ≤ [k–1]) 同樣地, 對於給定P(X ≥ k) 的機率, 我們得到： P(X ≥ k) = 1 – P(X ≤ [k–1]) 第7章 隨機變數和間斷機率分配 第255頁

=BINOMDIST() Excel 功能… =BINOMDIST() Excel 功能… Excel有二項分配的功能，它也可以用來計算這些機率。例如: Pat答對兩題的機率是多少? 成功的題數 實驗的次數 P (成功) 累積的 (如 P (X ≤x)?) P (X=2)=.3020 第7章 隨機變數和間斷機率分配

二項分配 統計學家已經對二項隨機變數導出了平均數、變異數與標準差的一般公式。它們是 第7章 隨機變數和間斷機率分配 第256頁

卜瓦松分配 以Simeon Poisson命名，卜瓦松分配是一種間斷機率 分配，並且與事件在一特殊時間的區段或空間的區 卜瓦松分配 以Simeon Poisson命名，卜瓦松分配是一種間斷機率 分配，並且與事件在一特殊時間的區段或空間的區 域內的次數(也就是成功的次數))有關。例如： 在一個小時之內汽車到達一服務站的車輛數。( 時間的區間是1 小時。) 在一匹布料上的瑕疵數。( 特殊的區域是一匹布料。) 高速公路的某一路段在一天之內發生意外的件數。[ 區間同時被定義為時間(1 天) 與空間( 高速高路的某一路段)。] 第7章 隨機變數和間斷機率分配 第258頁

=BINOMDIST() Excel 功能… =BINOMDIST() Excel 功能… Excel有二項分配的功能，它也可以用來計算這些機率。例如: Pat 無法通過測驗的機率是多少? 成功的題數 實驗的次數 P (成功) 累積的 (如P (X≤x)?) P (X≤4)=.9672 第7章 隨機變數和間斷機率分配

卜瓦松實驗 一項卜瓦松實驗(Poisson experiment) 具有下列的性質： 卜瓦松實驗 一項卜瓦松實驗(Poisson experiment) 具有下列的性質： 發生在任何一個區間內的成功次數與發生在任何一個其他區間內的成功次數是獨立的。 在一個區間內成功一次的機率與所有相同大小區間的成功機率是相同的。 在一個區間內成功一次的機率與區間的大小成比率。 當區間變得更小時，在這個區間內成功一次以上的機率趨近於0。 第7章 隨機變數和間斷機率分配 第259頁

卜瓦松機率分配 卜瓦松隨機變數(Poisson random variable) 是在一 個卜瓦松實驗中發生在一段時間或是在一個區域的 卜瓦松機率分配 卜瓦松隨機變數(Poisson random variable) 是在一 個卜瓦松實驗中發生在一段時間或是在一個區域的 空間內成功的次數。 例如： 平均,每小時有96部卡車到達邊界。 例如：錯誤的次數服從一個每100 頁平均有1.5 次 錯誤。 成功的次數 時段 區間 成功的次數(?!) 第7章 隨機變數和間斷機率分配 第259頁

卜瓦松機率分配 在一特殊區間內，一個卜瓦松隨機變數的機率是假設x的數值為被給定 卜瓦松機率分配 在一特殊區間內，一個卜瓦松隨機變數的機率是假設x的數值為被給定 其中 是在這個時間區間或這個空間區域內成功的平均次數，而 e 是自然對數的底數。 FYI: 第7章 隨機變數和間斷機率分配 第259頁

範例 7.12 一位統計教師觀察到新版教科書中排印錯誤的次數因書而異。在一些分析之後，他結論說，排印錯誤的次數服從一個每100 頁平均有1.5 次錯誤的卜瓦松分配。這位教師在一本新書中隨機選出100 頁。沒有排印錯誤的機率為何？ 第7章 隨機變數和間斷機率分配 第259頁

範例 7.12 一位統計教師觀察到新版教科書中排印錯誤的次數因書而異。在一些分析之後，他結論說，排印錯誤的次數服從一個每100 頁平均有1.5 次錯誤的卜瓦松分配。這位教師在一本新書中隨機選出100 頁。沒有排印錯誤的機率為何？也就是，給定µ = 1.5 ， P(X=0) 的機率為何? 選出的100 頁中沒有排印錯誤的機率是.2231。 第7章 隨機變數和間斷機率分配 第260頁

範例 7.13 參考範例 7.12 。假設這位教師剛收到一本新的統計書籍。他注意到這本書共有400頁。 a. 書中沒有排印錯誤的機率為何？ 範例 7.13 參考範例 7.12 。假設這位教師剛收到一本新的統計書籍。他注意到這本書共有400頁。 a. 書中沒有排印錯誤的機率為何？ b. 有5 個或少於 5個錯誤的機率為何？ 第7章 隨機變數和間斷機率分配 第260頁

卜瓦松分配 為了計算與這個區域相關的卜瓦松機率 我們必須決定每400 頁排印錯誤的平均次數。 卜瓦松分配 為了計算與這個區域相關的卜瓦松機率 我們必須決定每400 頁排印錯誤的平均次數。 因為平均數被指定為每100 頁有1.5 個錯誤，我們將這個數值乘以4 以轉換成400 頁。因此，每400 頁錯誤的平均次數是 ＝ 6。 第7章 隨機變數和間斷機率分配 第260頁

範例 7.13 書中沒有排印錯誤的機率為何？ “有非常小的機會沒有錯誤” 第7章 隨機變數和間斷機率分配 第260頁

在這本新書中發現 5 次或少於 5 次排印錯誤的機率是.4457。 範例 7.13 有5 個或少於 5個錯誤的機率為何？ P(X≤5) = P(0) + P(1) + … + P(5) 用手計算是相當乏味的。 較好的選擇是參考附錄B的表 2… P(X  5) = .002479 + .01487 + .04462 + .08924 + .1339 + .1606 = .4457 在這本新書中發現 5 次或少於 5 次排印錯誤的機率是.4457。 第7章 隨機變數和間斷機率分配 第260-261頁

範例 7.13 …Excel 甚至是更好的另一種選擇: 第7章 隨機變數和間斷機率分配