第七章 最优化模型

内容简介 基础篇 提高篇 最优化问题的概念与分类 最优化问题的求解方法 公式法求解、规划求解工具求解 、查表法求解 线性规划问题 非线性规划问题 常见规划问题 提高篇 多目标规划问题 最优投资组合模型 规划求解报告的生成与分析 非线性规划问题最优解

第一节 最优化问题概述 最优化问题定义 最优化问题就是在给定条件下寻找最佳方案的问题。 即在资源给定时寻找最好的目标，或在目标确定下使用最少的资源。

第一节 最优化问题概述（续） 最优化问题分类 根据有无约束条件 无约束条件的最优化问题 有约束条件的最优化问题 根据决策变量在目标函数与约束条件中出现的形式 线性规划问题 非线性规划问题 二次规划问题 根据决策变量是否要求取整数 整数规划问题 0-1规划问题 任意规划问题

第一节 最优化问题概述（续） 最优化问题的数学模型 ……

第一节 最优化问题概述（续） 最优化问题的求解方法 公式法 用规划求解工具求解 用查表法求解

第一节 最优化问题概述（续） 最优化问题的求解方法比较 公式法：适用于可以直接推导出公式的最优化问题 规划求解工具：操作简单，求解最多200个决策变量的规划问题，可以达到很高的精度，对于线性规划问题可以找到全局最优解。当模型中其他参数发生变化时，规划求解工具不能自动计算出新的最优解。 查表法：求解2个决策变量的规划问题，可以达到较高的精度，查表法与图表相结合有助于找到全局最优解，当模型中其他参数发生变化时，可以直接把新的最优解计算出来。

垄断商品最优定价问题 【例7-1】某公司生产和销售一种垄断产品，固定成本F=500元。单位变动成本v=10元，销量Q与单价p之间的关系为： 问该公司怎样定价，所获得的利润最大?

垄断商品最优定价问题（续） 利用公式法计算最优解

垄断商品最优定价问题（续）

垄断商品最优定价问题（续） 用规划求解工具计算最优解

垄断商品最优定价问题（续） 用查表法求解

垄断商品最优定价问题（续） 进一步分析

第二节 线性规划 线性规划的一般形式 ……

第二节 线性规划（续） 【例7-2】某公司生产和销售两种产品，两种产品各生产一个单位需要工时3小时和7小时，用电量4千瓦和5千瓦，需要原材料9公斤和4公斤。公司可提供的工时为300小时，可提供的用电量为250千瓦，可提供的原材料为420公斤。两种产品的单位利润分别为200元和210元。该公司怎样安排两种产品的生产量，所获得的利润最大。

第二节 线性规划（续） 建立数学模型

第二节 线性规划（续） 建立 Excel模型

第二节 线性规划（续） 用规划求解工具求解

第二节 线性规划（续） 制作利润随产量变化的三维曲面图和俯视图

第三节 非线性规划 非线性规划的一般形式 ……

第三节 非线性规划（续） 【例7-3】某公司生产和销售两种产品，两种产品各生产一个单位需要工时3小时和7小时，用电量4千瓦和5千瓦，需要原材料9公斤和4公斤。公司可提供的工时为300，可提供的用电量为250千瓦，可提供的原材料为420公斤。两种产品的单价与销量之间存在负的线性关系，分别为p1=3000 - 50q1，p2 = 3250- 80q2 。工时、用电量和原材料的单位成本分别为10、12和50元，总固定成本为10000元。该公司怎样安排两种产品的生产量，所获得的利润最大。

第三节 非线性规划（续） 建立数学模型

第三节 非线性规划（续） 建立Excel模型

第三节 非线性规划（续） 规划求解

第三节 非线性规划（续） 绘制总利润的三维曲面图形和俯视图形

第三节 非线性规划（续） 【例7-4】在上例的基础上，当原料用量>=300公斤时，供应商提供的原料价格从170元降为150元。该公司怎样安排两种产品的生产量，所获得的利润最大。（主要考虑多极值情况）。

第三节 非线性规划（续） 建立Excel模型

第三节 非线性规划（续） 规划求解

第三节 非线性规划（续） 绘制总利润的三维曲面图形和俯视图形

第四节 常见规划问题--运输问题 【例7-5】某公司有3个工厂，生产的产品运到5个仓库，3个工厂的生产能力为310，260和280，每个仓库的需求量为180、80、200、160和220。从工厂运到各仓库的运费如下表。 该公司怎样安排，所花费的总运费最小。

第四节 常见规划问题--运输问题（续） 建立Excel模型

第四节 常见规划问题--运输问题（续） 规划求解

第四节 常见规划问题--选址问题 【例7-6】某移动通讯公司准备在某一城市建立发射塔，该城有4个地区，现有4个建塔位置，每个位置对各地区的覆盖情况和费用见下表：该公司怎样选择建塔位置，既能覆盖所有地区，又使总费用最小。

第四节 常见规划问题--选址问题（续） 建立Excel模型

第四节 常见规划问题--选址问题（续） 规划求解

第四节 常见规划问题--资金管理问题 【例7-7】现有10000元准备存入银行，可以选择一年期、二年期和三年期存款。三种存款的年利率分别为2.5%、2.7%和2.9%。第3年初和第5年初需要使用现金1000元和2000元，第4年初有5000元的现金收入可以存入银行。问如何分配每年的各种存款额才能使第6年末的现金余额最大？

第四节 常见规划问题--资金管理问题 （续） 第四节 常见规划问题--资金管理问题 （续） 建立Excel模型

第四节 常见规划问题--资金管理问题（续） 第四节 常见规划问题--资金管理问题（续） 规划求解

第四节 常见规划问题--生产管理问题 【例7-8】已知某公司生产的产品在不同月份的需求量、单位生产成本与生产能力不同（见下表），每月的储存成本等于单位储存成本与月平均库存量（月初库存量与月末库存量的平均值）的乘积，而每月的单位储存成本等于当月单位生产成本的1.5%。公司要求每月的生产量既不超过当月生产能力又不低于当月生产能力的一半，另外，为防备急需，管理人员还要求每月月末库存量不少于1500件（安全库存量），仓库容量为6000件，当前库存量为2750件。试确定一种生产安排使得既能满足每个月的需求量同时又使作为生产成本与储存成本之和的总成本达到极小。

第四节 常见规划问题--生产管理问题（续） 第四节 常见规划问题--生产管理问题（续） 建立Excel模型

第四节 常见规划问题--生产管理问题（续） 第四节 常见规划问题--生产管理问题（续） 规划求解

第四节 常见规划问题--方程组求解 【例7-9】现有1个3元1次方程组，求该方程组的解。

第四节 常见规划问题--方程组求解（续） 建立Excel模型

第四节 常见规划问题--方程组求解（续） 规划求解

第五节 多目标规划问题 具有多个目标的决策就是多目标决策 多目标决策主要方法 化多为少法 分层序列法 直接求非劣解法 目标规划法 第五节 多目标规划问题 具有多个目标的决策就是多目标决策 多目标决策主要方法 化多为少法 分层序列法 直接求非劣解法 目标规划法 多属性效用法 层次分析法 重排序法 多目标群决策和多目标模糊决策

第五节 多目标规划问题（续） 【例7-10】某公司生产和销售两种产品，两种产品各生产一个单位需要3工时和7工时，用电量4千瓦和5千瓦，需要原材料9公斤和4公斤。公司可提供的工时为300，可提供的用电量为250千瓦，可提供的原材料为420公斤。两种产品的单位利润分别为12元和15元。假设两种产品各生产10个单位，试在Excel中建立产品组合线性规划模型，用规划求解工具求解两种产品的最优生产量，使总利润最大，总工时最少；把规划求解参数保存在单元格中。

第五节 多目标规划问题（续） 建立Excel模型

第五节 多目标规划问题（续） 第一步：求解总利润最大

第五节 多目标规划问题（续） 第二步：在保持总利润最大的同时，求解最少的总工时

第六节 最优投资组合模型 假设有n个项目可以投资，各项目的平均收益率分别为Ri，各项目间的协方差为。若各项目的投资比例为Wi。则预期的回报率 ，方差

第六节 最优投资组合模型（续） 方法1：目标规划法

第六节 最优投资组合模型（续） 方法2：化多为少法 若风险厌恶度等于D，预期收益率为R，预期方差为 则综合风险收益率为

第六节 最优投资组合模型（续） 【例7-11】现有一笔资金，准备购买IBC、NMC和NBS三个公司的股票。各公司在过去12年的收益率见下表：问：在保证收益率不低于12%的前提下，怎样组合可以使风险最小？在方差不大于0.01的前提下，怎样组合可以使收益率最大？若风险厌恶度等于0.5，则最优证券组合是什么？此时的收益率和方差各为多少？

第六节 最优投资组合模型（续） 建立Excel模型

第六节 最优投资组合模型（续） 求解（收益固定，风险最小）

第六节 最优投资组合模型（续） 求解（风险固定，收益最大）

第六节 最优投资组合模型（续） 建立Excel模型2

第六节 最优投资组合模型（续） 求解（风险厌恶度固定，收益最大）

第七节 规划求解报告的生成与分析 在图7-13的“报告”列表框中选中“运算结果报告、敏感性报告和极限值报告”，然后单击“确定”按钮可以生成相应的报告

第七节 规划求解报告的生成与分析（续） 生成运算结果、敏感性和极限值报告

第七节 规划求解报告的生成与分析（续） 运算结果报告 第七节 规划求解报告的生成与分析（续） 运算结果报告 列出目标单元格和可变单元格的地址、名称、初值和终值。在该报告的约束区域中显示每个约束条件的公式、当前值和是否达到限制值。

第七节 规划求解报告的生成与分析（续） 敏感性报告 提供关于求解结果对目标函数和约束条件微小变化的敏感性的信息。 第七节 规划求解报告的生成与分析（续） 敏感性报告 提供关于求解结果对目标函数和约束条件微小变化的敏感性的信息。 对于非线性模型，此报告提供缩减梯度和拉格朗日乘数。 对于线性模型，此报告中将包含缩减成本、影子价格（机会成本）、目标系数(允许有小量增减额)以及右侧约束区域。 对于整数约束条件的模型不能生成本报告。

第七节 规划求解报告的生成与分析（续） 极限值报告 列出目标单元格和可变单元格以及它们的数值、上下限和目标值。 第七节 规划求解报告的生成与分析（续） 极限值报告 列出目标单元格和可变单元格以及它们的数值、上下限和目标值。 含有整数约束条件的模型不能生成本报告。 下限是在满足约束条件和保持其它可变单元格数值不变的情况下，某个可变单元格可以取到的最小值。上限是在这种情况下可以取到的最大值。

第八节 非线性规划问题最优解 非线性规划问题求解方法改进原理： 用不同的处置进行规划求解 自动取初值，自动记录结果

第八节 非线性规划问题最优解（续） 安装加强版规划求解工具 使用加强版规划求解工具 第八节 非线性规划问题最优解（续） 安装加强版规划求解工具 复制OptSolver.xla到“C:\Program Files \Microsoft Office\OFFICE11\Library”目录 启动Microsoft Excel程序 在“工具”菜单下选择“加载宏”菜单项，从弹出的对话框中选择“OptSolver” 使用加强版规划求解工具 设置好最优化问题的Excel模型 用规划求解工具求解 “Ctrl+q”组合键启动加强版规划求解工具

第八节 非线性规划问题最优解（续） 【例7-12】在例7-4有折扣优惠的产品组合非线性规划模型的基础上用加强版规划求解工具求解该非线性问题的最优解。

第八节 非线性规划问题最优解（续） 设定初值取法

第八节 非线性规划问题最优解（续） 求解结果

本章小结 最优化问题 最优化问题的求解方法 线性规划问题 非线性规划问题 常见规划问题 概念、分类和数学模型 公式法 、规划求解工具求解 、用查表法求解 线性规划问题 产品混合线性问题求解 非线性规划问题 产品混合非线性问题求解、原材料折扣优惠情况下求解 常见规划问题 运输、选址、资金管理、生产管理和解方程组等问题的求解

本章小结（续） 多目标规划问题 最优投资组合模型 规划求解报告的生成与分析 非线性规划问题最优解 非线性规划问题求解方法改进原理 加强版规划求解工具的安装与使用