量 子 力 学

课程简介 量子力学是反映微观粒子运动规律的理论，是20世纪自然科学的重大进展之一。本课程是物理学专业的专业必修课程之一。设置量子力学课程的主要目的是： ⑴ 使学生了解微观世界矛盾的特殊性和微观粒子的运动规律，初步掌握量子力学的基本原理和一些重要方法，并初步具有运用这些方法解决较简单问题的能力。⑵ 使学生了解量子力学在现代科学技术中的广泛应用，深化和扩大在普通物理中学过的有关内容，为学生以后的物理教学或进一步学习与提高打下必要的基础。

目 的 要 求 1. 深入理解微观粒子的运动特性。 掌握描述微观粒子运动的方法， 即量子力学的数学框架。 1. 深入理解微观粒子的运动特性。 掌握描述微观粒子运动的方法， 即量子力学的数学框架。 3. 初步掌握应用量子力学处理简单体系的方法。

主 要 内 容 I.   绪论：量子力学的研究对象和方法特点，经典物理学的困难，量子力学发展简史，光的波粒二象性，Bohr的量子论，微观粒子的波粒二象性。 II.   波函数和薛定谔方程：波函数的统计解释，测不准原理和态迭加原理，薛定谔方程，一维定态问题。 III. 力学量的算符表示：表示力学量的算符，算符的本征值和本征函数，动量算符和角动量算符，厄米算符本征函数的正交性，算符与力学量的关系，算符的对易关系，两个力学量同时有确定值的条件，测不准关系，力学量平均值随时间的变化，对称性与守恒律，电子在库仑场中的的运动，氢原子。

IV.  态和力学量的表象：态的表象，算符的矩阵表示，量子力学公式的矩阵表述，幺正变换。 VI.  电子自旋与角动量：电子自旋，自旋算符和波函数，角动量耦合，涉及自旋-轨道耦合时哈密顿的处理方法。 VII. 全同粒子体系：全同粒子的特性，玻色子与费密子，全同粒子体系的波函数，泡利原理，两个电子的自旋波函数，氦原子，氢分子。 VIII.  散射：散射过程的一般描述，散射截面，分波法，玻恩近似，方形势阱与势垒所产生的散射。

参 考 教 材 1．周世勋，量子力学教程，人民教育出版社。 2．曾谨言，量子力学，科学出版社。 3．L. I. 希夫，量子力学，人民教育出版社。 4．A. 梅西亚，量子力学，人民教育出版社。 5．钱伯初、曾谨言，量子力学习题精选与剖析。

第一章 绪论 §1.1 量子力学发展简史 §1.2 经典物理学的困难 §1.3 光的量子性 §1.4 玻尔的量子论 第一章 绪论 §1.1 量子力学发展简史 §1.2 经典物理学的困难 §1.3 光的量子性 §1.4 玻尔的量子论 §1.5 微观粒子的波粒二象性 §1.6 波函数的统计解释

§1.1 量子力学发展简史 1896年 气体放电管，发现阴极射线。 1897年 J.J Thomson 通过测定荷质比， 确定了电子的存在。 §1.1 量子力学发展简史 1896年 气体放电管，发现阴极射线。 1897年 J.J Thomson 通过测定荷质比， 确定了电子的存在。 1900年 M.Plank 提出了量子化假说， 成功地解释了黑体辐射问题。 1905年 A.Einstein 将量子化概念明确为光子 的概念，并解释了光电效应。 同年创立了狭义相对论。

1911年 E.Rutherfold 确定了原子核式结构 1913年 N.Bohr 提出了原子结构的量子化 理论（旧量子论） 1923年 A.H.Compton散射证实了光子的基本 公式 的正确性，并证实在微观碰撞过程中能量守恒、动量守恒成立。 1924年 L.de Bröglie 提出了“物质波”思想。

§1.2 经典物理学的困难 一、 固体与气体分子的比热 二、 原子的线状光谱与稳定性问题 三、 黑体辐射 四、 光电效应

古希腊有个学派叫做爱利亚派，其创建人名叫巴门尼德(Parmenides)。这位哲人对运动充满了好奇，但在他看来，运动是一种自相矛盾的行为，它不可能是真实的，而一定是一个假相。为什么呢？因为巴门尼德认为世界上只有一个唯一的“存在”，既然是唯一的存在，它就不可能有运动。因为除了“存在”就是“非存在”，“存在”怎么可能移动到“非存在”里面去呢？所以他认为“存在”是绝对静止的，而运动是荒谬的，我们所理解的运动只是假相而已。

巴门尼德有个学生，就是大名鼎鼎的芝诺(Zeno)。他为了为他的老师辩护，证明运动是不可能的，编了好几个著名的悖论来说明运动的荒谬性。我们在这里谈谈最有名的一个，也就是“阿基里斯追龟辩”，这里面便牵涉到时间和空间的连续性问题。 阿基里斯(Achilles，古希腊奥运会中的一名长跑冠军)有一天他碰到一只乌龟，乌龟嘲笑他说：“别人都说你厉害，但我看你如果跟我赛跑，还追不上我。”阿基里斯大笑说：“这怎么可能。我就算跑得再慢，速度也有你的10倍，哪会追不上你？” 乌龟说：“好，那我们假设一下。你离我有100米，你的速度是我的10倍。现在你来追我了，但当你跑到我现在这个位置，也就是跑了100米的时候，我也已经又向前跑了10米。当你再追到这个位置的时候，我又向前跑了1米，你再追1米，我又跑了1/10米……总之，你只能无限地接近我，但你永远也不能追上我。

这个故事便是有着世界性声名的“芝诺悖论”(之一)，哲学家们曾经从各种角度多方面地阐述过这个命题。这个命题令人困扰的地方，就在于它采用了一种无限分割空间的办法，使得我们无法跳过这个无限去谈问题。虽然从数学上，我们可以知道无限次相加可以限制在有限的值里面，但是数学从本质上只能告诉我们怎么做，而不能告诉我们能不能做到。 但是，自从量子革命以来，学者们越来越多地认识到，空间不一定能够这样无限分割下去。量子效应使得空间和时间的连续性丧失了，芝诺所连续无限次分割的假设并不能够成立。这样一来，芝诺悖论便不攻自破了。量子论告诉我们，“无限分割”的概念是一种数学上的理想，而不可能在现实中实现。一切都是不连续的，连续性的美好蓝图，其实不过是我们的一种想象。

1900年的4月27日，伦敦 阿尔伯马尔街皇家研究所(Royal Institution, Albemarle Street) 开尔文:《在热和光动力理论上空的19世纪乌云》。当时已经76岁. 白发苍苍的他用那特有的爱尔兰口音开始了发言，他的第一段话是这么说的： “动力学理论断言，热和光都是运动的方式。但现在这一理论的优美性和明晰性却被两朵乌云遮蔽，显得黯然失色了……”(‘The beauty and clearness of the dynamical theory, which asserts heat and light to be modes of motion, is at present obscured by two clouds.’)

这个“乌云”的比喻后来变得如此出名，以致于在几乎每一本关于物理史的书籍中都被反复地引用，成了一种模式化的陈述。联系到当时人们对物理学大一统的乐观情绪，许多时候这个表述又变成了“在物理学阳光灿烂的天空中漂浮着两朵小乌云”。这两朵著名的乌云，分别指的是经典物理在光以太和麦克斯韦-玻尔兹曼能量均分学说上遇到的难题。再具体一些，指的就是人们在迈克尔逊-莫雷实验和黑体辐射研究中的困境

迈克尔逊-莫雷实验的用意在于探测光以太对于地球的漂移速度。在人们当时的观念里，以太代表了一个绝对静止的参考系，而地球穿过以太在空间中运动，就相当于一艘船在高速行驶，迎面会吹来强烈的“以太风”。迈克尔逊在1881年进行了一个实验，想测出这个相对速度，但结果并不十分令人满意。于是他和另外一位物理学家莫雷合作，在1886年安排了第二次实验。这可能是当时物理史上进行过的最精密的实验了：他们动用了最新的干涉仪，为了提高系统的灵敏度和稳定性，他们甚至多方筹措弄来了一块大石板，把它放在一个水银槽上，这样就把干扰的因素降到了最低。 然而实验结果却让他们震惊和失望无比：两束光线根本就没有表现出任何的时间差。以太似乎对穿越于其中的光线毫无影响。迈克尔逊和莫雷不甘心地一连观测了四天，本来甚至想连续观测一年以确定地球绕太阳运行四季对以太风造成的差别，但因为这个否定的结果是如此清晰而不容质疑，这个计划也被无奈地取消了。

迈克尔逊-莫雷实验是物理史上最有名的“失败的实验”。它当时在物理界引起了轰动，因为以太这个概念作为绝对运动的代表，是经典物理学和经典时空观的基础。而这根支撑着经典物理学大厦的梁柱竟然被一个实验的结果而无情地否定，那马上就意味着整个物理世界的轰然崩塌。不过，那时候再悲观的人也不认为，刚刚取得了伟大胜利，到达光辉顶峰的经典物理学会莫名其妙地就这样倒台，所以人们还是提出了许多折衷的办法，爱尔兰物理学家费兹杰惹(George FitzGerald)和荷兰物理学家洛伦兹(Hendrik Antoon Lorentz)分别独立地提出了一种假说，认为物体在运动的方向上会发生长度的收缩，从而使得以太的相对运动速度无法被测量到。这些假说虽然使得以太的概念得以继续保留，但业已经对它的意义提出了强烈的质问，因为很难想象，一个只具有理论意义的“假设物理量”究竟有多少存在的必要。开尔文所说的“第一朵乌云”就是在这个意义上提出来的

年迈的开尔文站在讲台上，台下的听众对于他的发言给予热烈的鼓掌。然而当时，他们中间却没有一个人会了解，这两朵小乌云对于物理学来说究竟意味着什么。他们绝对无法想象，正是这两朵不起眼的乌云马上就要给这个世界带来一场前所未有的狂风暴雨，电闪雷鸣，并引发可怕的大火和洪水，彻底摧毁现在的繁华美丽。正是这两朵乌云，给物理学带来伟大的新生。 第一朵乌云，最终导致了相对论革命的爆发。 第二朵乌云，最终导致了量子论革命的爆发。

C =3R≈5.96cal/k CV T 一、固体与气体分子的比热 3R 图1.1 固体比热 固体中每个原子在其平衡位置附近作小振动，可以看成是具有三个自由度的粒子。按照经典统计力学，其平均动能与势能均为3kT/2。因此，固体的定容比热为 C =3R≈5.96cal/k v 图1.1 固体比热 实验发现，在极低温度下，固体比热都趋于0，如图所示。此外，若考虑到原子由原子核和若干电子组成，为什么原子核与电子的这样多自由度对于固体比热都没有贡献？ CV T 3R

多原子分子的比热也存在类似的问题。例如，双原子分子有6个自由度（三个平动自由度、两个转动自由度、两个振动自由度），比热应该为7R/2。 实际上只有在高温下为7R/2，在常温下，观测结果为5R/2，在低温度下它们的比热都降到了3R/2 。 CV T 3R/2 5R/2 7R/2 双原子分子的比热

1. 原子的稳定性 二、原子的线状光谱与稳定性问题 1895年Röntgen发现X射线 1896年A.H.Bequerrel发现天然放射性 1898年Curie夫妇发现了放射性元素钚与镭 电子与放射性的发现揭示出：原子不再是物质组成的永恒不变的最小单位，它们具有复杂的结构，并可相互转化。原子既然可以放出带负电的β粒子来，那么原子是怎样由带负电的部分（电子）与带正电的部分结合起来的？这样，原子的内部结构及其运动规律的问题就提到日程上来了。

1904年Thomson提出有关原子结构的Thomson模型 1911年Rutherford通过α粒子散射实验提出Rutherford模型， 即今天众所周知的“核式结构模型” 由于电子在原子核外做加运动，按照经典电动 力学，加速运动的带电粒子将不断辐射而 丧失 能量。因此，围绕原子核运动的电子，终究会 大量丧失能量而“掉到”原子核中去。这样，原 子也就“崩溃”了。但现实世界表明，原子是稳定 的存 在着。

2. 原子的线状光谱及其规律 最早的光谱分析始于牛顿（17世纪），但直到19世 纪中叶，人们把它应用与生产后才得到迅速发展。 由于光谱分析积累了相当丰富的资料，不少人对它们进行了整理与分析。1885年，Balmer发现，氢原子光谱线的波数具有下列规律 6562.8Å 4861.3Å 4340.5Å 4101.7Å Hα Hβ Hδ Hγ H∞ 图1.2 氢原子光谱（Balmer系）

Balmer公式与观测结果的惊人符合，引起了光谱学家的注意。紧接着就有不少人对光谱线波长（数）的规律进行了大量分析，发现，每一种原子都有它特有的一系列光谱项T(n)，而原子发出的光谱线的波数，总可以表成两个光谱项之差 其中m, n是某些整数。

三、黑体辐射 单色辐出度 辐射出射度 实验表明：一切物体都以电磁波的形式向外辐射能量。 辐射的能量与温度有关，称之为热辐射。 辐射和吸收的能量恰相等时称为热平衡。此时温度恒定不变。 单色辐出度 单位时间、单位表面积 上所辐射出的、单位波长 间隔中的能量。 辐射出射度

吸收比 反射比 对于非透明物体 基尔霍夫定律： 在热平衡下，任何物体的单色辐出度 与吸收比之比，是个普适函数。

 绝对黑体的热辐射规律 对于任意温度、或波长，绝对黑体的吸收比都恒为1 黑体 绝对黑体的辐射出射度 用不透明材料制成一空心容器， 壁上开一小孔，可看成绝对黑体 绝对黑体的辐射出射度

维恩位移定律 实验发现：当绝对黑体的 温度升高时，单色辐出度 最大值m 向短波方向移动。  斯忒藩(Stefan)-玻耳兹曼定律 1700k 1500k 1300k 实验发现：当绝对黑体的 温度升高时，单色辐出度 最大值m 向短波方向移动。

 经典物理遇到的困难 能量均分定理 电磁理论得出： 只适于长波，有所谓的 “紫外灾难”。  维恩根据经典热力学得出： 实验 瑞利-琼斯线 维恩线 T=1646k  瑞利和琼斯用 能量均分定理 电磁理论得出： 只适于长波，有所谓的 “紫外灾难”。  维恩根据经典热力学得出：

 普朗克能量子假说 * 辐射物体中包含大量谐振子，它们的能量取分立值 * 存在着能量的最小单元（能量子=h) * 振子只能一份一份地按不连续方式辐射或吸收能量 从理论上推出： 分别是玻尔兹曼常数和光速。 h=6.62610-34焦耳。

实验 瑞利-琼斯线 维恩线 T=1646k 普朗克线 普朗克的拟合结果

1900年12月14日。这一天，普朗克在德国物理学会上发表了他的大胆假设。他宣读了那篇名留青史的《黑体光谱中的能量分布》的论文，其中改变历史的是这段话： “为了找出N个振子具有总能量Un的可能性，我们必须假设Un是不可连续分割的，它只能是一些相同部件的有限总和…… ”

这个基本部件，普朗克把它称作“能量子”(Energieelement)，但随后很快，在另一篇论文里，他就改称为“量子”(Elementarquantum)，英语就是quantum。这个字来自拉丁文quantus，本来的意思就是“多少”，“量”。量子就是能量的最小单位，就是能量里的一美分。一切能量的传输，都只能以这个量为单位来进行，它可以传输一个量子，两个量子，任意整数个量子，但却不能传输1又1/2个量子，那个状态是不允许的，就像你不能用现钱支付1又1/2美分一样。 从普朗克的方程里可以容易地推算出这个常数的大小，它约等于6.55×10^-27尔格*秒，换算成焦耳，就是6.626×10^-34焦耳*秒。这个单位相当地小，也就是说量子非常地小，非常精细。因此由它们组成的能量自然也十分“细密”，以至于我们通常看起来，它就好像是连续的一样。这个值，现在已经成为了自然科学中最为重要的常数之一，以它的发现者命名，称为“普朗克常数”，用h来表示

1900年12月14日，普朗克在柏林宣读了他关于黑体辐射的论文，宣告了量子的诞生。那一年他42岁。 就在那一年，一个名叫阿尔伯特·爱因斯坦(Albert Einstein)的青年从苏黎世联邦工业大学(ETH)毕业，正在为将来的生活发愁。他在大学里旷了无穷多的课，以致他的教授闵可夫斯基(Minkowski)愤愤地骂他是“懒狗”。没有一个人肯留他在校做理论或者实验方面的工作，一个失业的黯淡前途正等待着这位不修边幅的年轻人。

在丹麦，15岁的尼尔斯·玻尔(Niels Bohr)正在哥本哈根的中学里读书。玻尔有着好动的性格，每次打架或争论，总是少不了他。学习方面，他在数学和科学方面显示出了非凡的天才，但是他的笨拙的口齿和惨不忍睹的作文却是全校有名的笑柄。 埃尔文·薛定谔(Erwin Schrodinger)比玻尔小两岁，当时在维也纳的一间著名的高级中学Akademisches Gymnasium上学。这间中学也是物理前辈玻尔兹曼，著名剧作家施尼茨勒(Arthur Schnitzler)和齐威格(Stefanie Zweig)的母校。

马克斯·波恩(Max Born)和薛定谔有着相似的教育背景，经过了家庭教育，高级中学的过程进入了布雷斯劳大学(这也是当时德国和奥地利中上层家庭的普遍做法)。不过相比薛定谔来说，波恩并不怎么喜欢拉丁文，甚至不怎么喜欢代数，尽管他对数学的看法后来在大学里得到了改变。他那时疯狂地喜欢上了天文，梦想着将来成为一个天文学家。 路易斯·德布罗意(Louis de Broglie)当时8岁，正在他那显赫的贵族家庭里接受良好的幼年教育。他对历史表现出浓厚的兴趣，并乐意把自己的时间花在这上面。

沃尔夫冈·恩斯特·泡利(Wolfgang Ernst Pauli)才出生8个月，可怜的小家伙似乎一出世就和科学结缘。他的middle name，Ernst，就是因为他父亲崇拜著名的科学家恩斯特·马赫(Ernst Mach)才给他取的。

而再过12个月，维尔兹堡(Wurzberg)的一位著名希腊文献教授就要喜滋滋地看着他的宝贝儿子小海森堡(Werner Karl Heisenberg)呱呱坠地。稍早前，罗马的一位公务员把他的孩子命名为恩里科·费米(Enrico Fermi)。20个月后，保罗·狄拉克(Paul Dirac)也将出生在英国的布里斯托尔港。

四.光电效应 相同频率，不同入射光强度  光电效应的实验规律及经典理论的困难 U G  饱和光电流强度与 入射光强度成正比。 或者说：单位时间内从 金属表面逸出的光电子 数目与入射光强成正比 U0 3 1 2 U I IS 相同频率，不同入射光强度

红限频率 U03 U02 U01 3 1 2 U I IS  光电子的初动能与入射光强度 无关，而与入射光的频率有关。  光电子的初动能与入射光强度 无关，而与入射光的频率有关。 截止电压的大小反映 光电子初动能的大小 相同入射光强度，不同频率 红限频率 截止电压与入射光频率有线性关系

经典理论的困难： * 经典认为光强越大，饱和电流应该越大，光电子的 初动能也越大。但实验上光电子的初动能仅与频率 有关而与光强无关。 * 只要频率高于红限，既使光强很弱也有光电流； 频率低于红限时，无论光强再大也没有光电流。 而经典认为有无光电效应不应与频率有关。 * 瞬时性。经典认为光能量分布在波面上，吸收 能量要时间，即需能量的积累过程。

当采用了光量子概念后，光电效应问题迎刃而解。当光量子射到金属表面时，一个光子的能量可能立即被一个电子吸收。但只当入射光频率足够大，即每一个光子的能量足够大时，电子才可能克服脱出功而逸出金属表面。逸出表面后，电子的动能为： A 称为逸出功。只与 金属性质有关。与光 的频率无关。 （4） 当 （临界频率）时，电子无法克服金属表面的引力而从金属中逸出，因而没有光电子发出。 Einstein还进一步把能量不连续的概念用到固体中原子的振动上去，成功地解决了固体比热在温度T→0K是趋于0的现象。这时，P lank的光量子能量不连续性概念才引起很多人的注意。

§1.3 光的量子性 一、光的量子性 二、Plank-Einstein关系 三、Compton Scattering

一、光的量子性 干涉、衍射现象： 光是波 光是电磁波 赫兹： 黑体辐射、光电效应： 光的量子性: 电磁辐射的能量是被一份一份 地发射和吸收的。

二、Plank-Einstein关系 Einstein在光子能量量子化的基础上提出光子概念： 即认为辐射场由光量子组成，每一个光量子的能量与辐射场的频率的关系是： 并根据狭义相对论以及光子以光速C运动的事实，得出光子的动量P波长λ的关系：

三、Compton散射 Compton散射曾经被认为是光子概念以及Plank-Einstein关系的判定性实验。 早在1912年，C.Sadler 和A.Meshan就发现X射线被轻原子量的物质散射后，波长有变长的现象，Compton把这种现象看成X射线的光子与电子碰撞而产生的。成功地解释了实验结果。

爱因斯坦提出了光量子的假说，用来解释光电效应中无法用电磁理论说通的现象。 然而，光量子的概念却让别的科学家们感到非常地不理解。光的问题不是已经被定性了吗？难道光不是已经被包括在麦克斯韦理论之内，作为电磁波的一种被清楚地描述了吗？这个光量子又是怎么一回事情呢？

光的本质？ 古希腊时代的人们总是倾向于把光看成是一种非常细小的粒子流，换句话说光是由一粒粒非常小的“光原子”所组成的。这种观点一方面十分符合当时流行的元素说，另外一方面，当时的人们除了粒子之外对别的物质形式也了解得不是太多。这种理论，我们把它称之为光的“微粒说”。微粒说从直观上看来是很有道理的，首先它就可以很好地解释为什么光总是沿着直线前进，为什么会严格而经典地反射，甚至折射现象也可以由粒子流在不同介质里的速度变化而得到解释。但是粒子说也有一些显而易见的困难：比如人们当时很难说清为什么两道光束相互碰撞的时候不会互相弹开，人们也无法得知，这些细小的光粒子在点上灯火之前是隐藏在何处的，它们的数量是不是可以无限多，等等。

当黑暗的中世纪过去之后，人们对自然世界有了进一步的认识。波动现象被深入地了解和研究，声音是一种波动的认识也逐渐为人们所接受。人们开始怀疑：既然声音是一种波，为什么光不能够也是波呢？十七世纪初，笛卡儿(Des Cartes)在他《方法论》的三个附录之一《折光学》中率先提出了这样的可能：光是一种压力，在媒质里传播。不久后，意大利的一位数学教授格里马第(Francesco Maria Grimaldi)做了一个实验，他让一束光穿过两个小孔后照到暗室里的屏幕上，发现在投影的边缘有一种明暗条纹的图像。格里马第马上联想起了水波的衍射(这个大家在中学物理的插图上应该都见过)，于是提出：光可能是一种类似水波的波动，这就是最早的光波动说。

荷兰物理学家惠更斯认为光是一种在以太里传播的纵波，并引入了“波前”的概念，成功地证明和推导了光的反射和折射定律。他的波动理论虽然还十分粗略，但是所取得的成功却是杰出的。 到了1669年，丹麦的巴塞林那斯(E.Bartholinus)发现当光在通过方解石晶体时，会出现双折射现象。惠更斯将他的理论同样可以应用于这些新发现上面，只需要作小小的改制即可(比如引进椭圆波的概念)。1690年，惠更斯的著作《光论》(Traite de la Lumiere)出版，标志着波动说在这个阶段到达了一个兴盛的顶点。

1704年，牛顿才出版了他的煌煌巨著《光学》(Opticks)。在这本划时代的作品中，牛顿详尽地阐述了光的色彩叠合与分散，从粒子的角度解释了薄膜透光，牛顿环以及衍射实验中发现的种种现象。他驳斥了波动理论，质疑如果光如同声波一样，为什么无法绕开障碍物前进。他也对双折射现象进行了研究，提出了许多用波动理论无法解释的问题。而粒子方面的基本困难，牛顿则以他的天才加以解决。

然而1773年的6月13日，英国米尔沃顿(Milverton)的一个教徒的家庭里诞生了一个男孩，叫做托马斯·杨(Thomas Young)。这个未来反叛派领袖的成长史是一个典型的天才历程，他两岁的时候就能够阅读各种经典，6岁时开始学习拉丁文，14岁就用拉丁文写过一篇自传，到了16岁时他已经能够说10种语言，并学习了牛顿的《数学原理》以及拉瓦锡的《化学纲要》等科学著作。

在1807年，杨总结出版了他的《自然哲学讲义》，里面综合整理了他在光学方面的工作，并在里面第一次描述了他那个名扬四海的实验：光的双缝干涉。后来的历史证明，这个实验完全可以跻身于物理学史上最经典的前五个实验之列，而在今天，它已经出现在每一本中学物理的教科书上。 杨的实验手段极其简单：把一支蜡烛放在一张开了一个小孔的纸前面，这样就形成了一个点光源(从一个点发出的光源)。现在在纸后面再放一张纸，不同的是第二张纸上开了两道平行的狭缝。从小孔中射出的光穿过两道狭缝投到屏幕上，就会形成一系列明、暗交替的条纹，这就是现在众人皆知的干涉条纹。

杨的论文开始受尽了权威们的嘲笑和讽刺，被攻击为“荒唐”和“不合逻辑”，在近20年间竟然无人问津。杨为了反驳专门撰写了论文，但是却无处发表，只好印成小册子，但是据说发行后“只卖出了一本”。

决定性的时刻在1819年到来了。最后的决战起源于1818年法国科学院的一个悬赏征文竞赛。竞赛的题目是利用精密的实验确定光的衍射效应以及推导光线通过物体附近时的运动情况。竞赛评委会由许多知名科学家组成，这其中包括比奥(J.B.Biot)、拉普拉斯(Pierre Simon de Laplace)和泊松(S.D.Poission)，都是积极的微粒说拥护者。组织这个竞赛的本意是希望通过微粒说的理论来解释光的衍射以及运动，以打击波动理论。

但是戏剧性的情况出现了。一个不知名的法国年轻工程师--菲涅耳(Augustin Fresnel)向组委会提交了一篇论文《关于偏振光线的相互作用》。在这篇论文里，菲涅耳采用了光是一种波动的观点，但是革命性地认为光是一种横波而不像从胡克以来一直所认为的那样是一种纵波。从这个观念出发，他以严密的数学推理，圆满地解释了光的衍射，并解决了一直以来困扰波动说的偏振问题。泊松并不相信这一结论，对它进行了仔细的审查，结果发现当把这个理论应用于圆盘衍射的时候，在阴影中间将会出现一个亮斑。这在泊松看来是十分荒谬的，影子中间怎么会出现亮斑呢？这差点使得菲涅尔的论文中途夭折。但菲涅耳的同事阿拉果(Franois Arago)在关键时刻坚持要进行实验检测，结果发现真的有一个亮点如同奇迹一般地出现在圆盘阴影的正中心，位置亮度和理论符合得相当完美。

伟大的麦克斯韦于1856，1861和1865年发表了三篇关于电磁理论的论文，这是一个开天辟地的工作，它在牛顿力学的大厦上又完整地建立起了另一座巨构，而且其辉煌灿烂绝不亚于前者。麦克斯韦的理论预言，光其实只是电磁波的一种。这段文字是他在1861年的第二篇论文《论物理力线》里面特地用斜体字写下的。这个预言由赫兹在1887年用实验证实。

康普顿在研究X射线被自由电子散射的时候，发现一个奇怪的现象：散射出来的X射线分成两个部分，一部分和原来的入射射线波长相同，而另一部分却比原来的射线波长要长，具体的大小和散射角存在着函数关系。 如果运用通常的波动理论，散射应该不会改变入射光的波长才对。

康普顿散射的实验规律：  入射X光 散射X光  散射角 1、散射线波长的改变量  随散射角  增加而增加。 1、散射线波长的改变量  随散射角  增加而增加。 2、在同一散射角下 相同 , 与散射物质和入射光波长无关。 3、原子量较小的物质,康普顿散射较强。

Compton认为X射线的光子与电子碰撞而发生散射。假设在碰撞过程中能量与动量是守恒的，由于反冲，电子带走一部分能量与动量，因而散射出去的光子的能量与动量都相应减小，即X射线频率变小而波长增大。

 入射X光  散射X光 散射角 （5） （6） 并利用相对论中能量动量关系式

可得 （7） 对于光子， 则 代入式（7），可解出 （8） 或

由式（9）可清楚地看出，散射光的波长随角度增大而增加。理论计算所得公式与实验结果完全符合。 利用 上式改写成 （9） 令 （电子的Compton波长） （10） （11） 由式（9）可清楚地看出，散射光的波长随角度增大而增加。理论计算所得公式与实验结果完全符合。

从式（9）可以看出，散射的X射线波长与角度的依赖关系中包含了Plank常数。因此，它是经典物理学无法解释的。 Compton散射实验是对光量子概念的一个直接的强有力支持，因为在上述推导中，假设了整个光子（而不是它的一部分）被散射。此外，Compton散射实验还证实： Plank-Einstein关系在定量上是正确的 在微观的单个碰撞事件中，动量及能量守恒定律仍然是成立的（不仅是平均值守恒）

§1.4 微观粒子的波粒二象性 一、德布罗意的物质波 二、电子衍射实验 三、微观粒子的波粒二象性

德布罗意 (due de Broglie, 1892-1960) 一、德布罗意的物质波 德布罗意原来学习历史，后来改学理论物理学。他善于用历史的观点，用对比的方法分析问题。 1923年，德布罗意试图把粒子性和波动性统一起来。1924年，在博士论文《关于量子理论的研究》中提出德布罗意波,同时提出用电子在晶体上作衍射实验的想法。 爱因斯坦觉察到德布罗意物质波思想的重大意义，誉之为“揭开一幅大幕的一角”。 法国物理学家，1929年诺贝尔物理学奖获得者，波动力学的创始人，量子力学的奠基人之一。

一个质量为m的实物粒子以速率v 运动时，即具有以能量E和动量P所描述的粒子性，同时也具有以频率n和波长l所描述的波动性。 德布罗意关系 如速度v=5.0102m/s飞行的子弹，质量为m=10-2Kg，对应的德布罗意波长为： 如电子m=9.110-31Kg，速度v=5.0107m/s, 对应的德布罗意波长为： 太小测不到！ X射线波段

电子居然是一个波！这未免让人感到太不可思议。假如说当时全世界只有一个人支持德布罗意的话，他就是爱因斯坦。德布罗意的导师朗之万对自己弟子的大胆见解无可奈何，出于挽救失足青年的良好愿望，他把论文交给爱因斯坦点评。谁料爱因斯坦马上予以了高度评价，称德布罗意“揭开了大幕的一角”。整个物理学界在听到爱因斯坦的评论后大吃一惊，这才开始全面关注德布罗意的工作。

二、电子衍射实验 1、戴维逊-革末实验 实验装置： G M 戴维逊和革末的实验是用电子束垂直投射到镍单晶，电子束被散射。其强度分布可用德布罗意关系和衍射理论给以解释，从而验证了物质波的存在。1937年他们与G. P.汤姆孙一起获得Nobel物理学奖。 K 实验装置： 电子从灯丝K飞出，经电势差为U的加速电场，通过狭缝后成为很细的电子束，投射到晶体M上，散射后进入电子探测器，由电流计G测量出电流。 G M

实验结果： 当加速电压U=54V，加速电子的能量eU=mv2/2，电子的德布罗意波长为 X射线实验测得镍单晶的晶格常数d=0.215nm 理论值(θ=500)与实验结果(θ=510)相差很小，表明电子确实具有波动性，德布罗意关于实物具有波动性的假设是正确的。

2、汤姆逊实验 1927年，汤姆逊在实验中，让电子束通过薄金属膜后射到照相底片上，结果发现，与X射线通过金箔时一样，也产生了清晰的电子衍射图样。 3、电子通过狭缝的衍射实验： 1961年，约恩孙 (Jonsson)制成长为50mm，宽为0.3mm ，缝间距为1.0mm的多缝。用50V的加速电压加速电子，使电子束分别通过单缝、双缝等，均得到衍射图样。

X射线经晶体的衍射图 电子射线经晶体的衍射图

§1.5 玻耳的量子论 一、原子的线状光谱和稳定性 二、Bohr的量子论

一、原子的线状光谱和稳定性 组合原理： 氢原子：

二、Bohr的量子论（1913） Bohr量子论的两个重要假定： 1、定态假定：原子能够，而且只能够存在于 分立的能量相应的一系列状态中。 （频率条件） 2、跃迁频率法则：原子在两个定态之间跃迁 时，吸收或发射的辐射的频率ν是

不仅如此，玻尔的模型更预测了一些新的谱线的存在，这些预言都很快为实验物理学家们所证实。而在所谓“皮克林线系”(Pickering line series)的争论中，玻尔更是以强有力的证据取得了决定性的胜利。他的原子体系异常精确地说明了一些氦离子的光谱，准确性相比旧的方程，达到了令人惊叹的地步。 但是人们发现，氢原子的光谱并非一根线，而是可以分裂成许多谱线。这些效应在电磁场的参予下又变得更为古怪和明显(关于这些现象，人们用所谓的“斯塔克效应”和“塞曼效应”来描述)

玻尔(1885-1962) 1885年10月7日,出生于丹麦哥本哈根。由于对原子结构和辐射研究的贡献，他于1912年获得了诺贝尔物理学奖。 1913年，玻尔发表了三篇论文，把核式结构模型与量子论结合起来，解释了许多已知的实验现象，如氢原子光谱问题，正确预言了在复杂原子中的电子必须以“壳层”形式存在，还指出最外层电子个数决定元素的化学性质。 玻尔的预言以及他的理论与经典理论的矛盾强烈地扰动着物理界。在之后短短三十年内，海森堡的矩阵力学等理论相继发表，创造出一门全新而成熟的量子力学来。玻尔在近代物理的发展史上的地位是极其崇高的，他不仅对量子力学的发展作出了开创性贡献，而且在国际物理界创立了一种独特的学术气氛，人们称之为“哥本哈根精神”。他还创立了尼尔.玻尔研究所，被许多物理学家称为“物理学的圣地”

薛定谔 (Erwin Schrödinger, 1887–1961) 　　薛定谔在德布罗意思想的基础上，于1926年在《量子化就是本征值问题》的论文中，提出氢原子中电子所遵循的波动方程(薛定谔方程)，并建立了以薛定谔方程为基础的波动力学和量子力学的近似方法。薛定谔方程在量子力学中占有极其重要的地位，它与经典力学中的牛顿运动定律的价值相似。薛定谔对原子理论的发展贡献卓著，因而于1933年同英国物理学家狄拉克共获诺贝尔物理奖金。 薛定谔还是现代分子生物学的奠基人，1944年，他发表一本名为《什么是生命 ——活细胞的物理面貌》的书，从能量、遗传和信息方面来探讨生命的奥秘。 奥地利著名的理论物理学家，量子力学的重要奠基人之一，同时在固体的比热、统计热力学、原子光谱及镭的放射性等方面的研究都有很大成就。

1926年冬，狄拉克证明海森堡的矩阵力学与薛定谔的波动方程是等价的，之后狄拉克又提出了著名的“狄拉克方程”（即相对论方程），他从这一方程的负能态解出发，预言了正电子的存在。这是关于反物质的第一次假设。他解释道：真空根本就不是空的，里面充满着正电子与电子。由于某中原因可以使真空中跳出正电子和电子，也能够使一个电子与正电子相遇放出光子，双双湮灭为真空。人们起初认为这纯属数学趣事，但一年后，美国人安德森在宇宙射线中找到了正电子。狄拉克喜欢独立思考，在科学上独树一帜。他对量子力学的精辟论述和他的思想所表现出来的非凡洞察力，使一代物理学家以为神异。

作 业 周世勋《量子力学教程》： 1.2 、 1.3