第八章   图象重建   8.1 概述 由物体截面投影来重建该截面图象是近年来发展起来工获得广泛应用的图象处理技术。图象重建的最典型应用是医学上的计算断层摄影技术（CT）技术。它用于人体头部、腹部等内部器官的无损伤诊断，其基本方法就是根据人体截面投影，经过计算机处理来重建截面图象。 [计算机发展后就出现的一个分支，不同于传统处理与图形] 问题：能否从投影中恢复原图？ 答复是肯定的。

投影几何对规则形状已有系统办法，圆柱（认为内部是均匀的） 正视图 侧视图 视图增加，即无限多视图可以解决任意三维物体原图。 Compute Aided Tomography (CAT)

一条射线沿S方向穿透物体，投影轴与X轴夹角为θ，建立s、t坐标系，（t,s）与(x,y)关系如下式： Pθ(t) s 沿射线积分组成投影 ： y t θ x X射线

※上述为一个切面，一系列切面构成三维物体，两种方法：直接、间接。 物理上X射线到人体有个衰减过程： u(x,y)为x,y点的衰减 Nin ：入射X射线（）强度 Nd ：X射线穿透物体后被检测到的射线强度 u(x,y)：反映了人体各部组织的性质，在空间上的分布就形成了人体各部组织的图象，所以u(x,y)实质上反映了图象灰度分布f(x,y) ※上述为一个切面，一系列切面构成三维物体，两种方法：直接、间接。

8.2 基本原理： 对图像函数f(x,y)付氏变换:

当 v=0 时，

此结果推广到一般情况下： 每一个下P(t)付氏变换后对应于F(u,v)在对应下的剖面值。只要有足够多的P(t)[n个]对应的S(u)，就是足够多个F(u,v)的剖面，近而可以逼近F(u,v)，反变换即可求得f(x,y)。 y v θ x u

证：f(t,s)是f(x,y)在t,s坐标上为函数 由付氏变换旋转不变性： 得： S (w) = F(w, ) = F(u,v) （一般的S(w)=F(u,v)的证明） 证：f(t,s)是f(x,y)在t,s坐标上为函数 s y t θ x v ω θ u

实现流程： 极坐标 直角坐标

8.3 滤波——逆投影法 极坐标F的付氏反变换： v F(ω,θ) u v π θ u ω

下面的关键问题是如何求得：

这里：Pθ（t）已知（可实验测出）,只要求得h1（t）即可求Qθ（t）和f(x,y)了。

|w|看作另一函数的付氏变换，其反变换是什么？有如下几种近似办法： 1、若取|w|≈1，即相当加入了|1/w|滤波，（故|1/w|·|w|=1]） |1/w|加入低通滤波，图象变模糊了。   2、找一个函数其结果近似|w|： 用G(w) = |w|·R(w) R(w) = 1 |w|<wc 即认为有限带宽（人为限定）

若Pθ（t）的采样间隔为τ，则最大wc=1/(2τ)否则将引起混迭。 用g(t)，间隔τ采样： 则g(t)在Pθ（t）采样点上的值g(nτ)为： (这里：t=nτ)

① 此处Pθ（t）及g(t)均为有限带宽函数，用Pθ（kτ）及g(kτ)代表其采样值，用sinC函数插值。[对Pθ（kτ）及g(kτ)] 将①带入上式，可得到采样点上的值：

k = 0,1…N-1 共N个（即实际投影范围有限）

3、 当w→0时，G(w)~|w|

4. 当ε→0时，G（w）≈|w| 讨论： 取样点N大则τ小；N小则τ大，混迭严重。 因P(T)有限范围，S(W)为无限带宽，混迭必然。 实现方法多种多样，取决于速度与精度，投影个数，K有关。实用为弧面，几何关系更复杂一些。

8.4 代数投影变换法 n n f(x,y)重建可用代数法实现，f(x,y)在n×n网格上，每个(x,y)处为常数。 8.4 代数投影变换法 f(x,y)重建可用代数法实现，f(x,y)在n×n网格上，每个(x,y)处为常数。 一条射线理解为有一定宽度，射线之值可理解为沿线各网格的贡献总和： 总数 n × n = N 。 n f1 f2 n fN ABC

（实际每一射线又经过有限格子，多数aij为0） 一般M>N 例：对128×128图象，150个投影，每个投影150条射线。 aij 有1502×1282=3.68×108个 实际上方程无法解，一般用迭代法逐次近似求解。

反复迭代即可求解 。

8.5 图象重建技术的应用 主要在放射医疗、工业检测设备中，显示人体（对象）各个部位断层图象。 历史： 理论源于1917年，奥地利数学家（Radon）所发表的论文。证明了二维或三维物体能够通过其无限多个投影来确定，但限于当时技术条件没能实现。 60年代初，计算机技术发展，重建受到重视，不少学者做了卓有成效的研究。其中：英国EMI公司中央研究所工程师Housfield，经四年努力，在1972年研制成诊断头颅用的第一台计算机X线断层摄影装置，这一新设备在1974年5月蒙特利尔(Montreal)召开第一次国际CT会议上，正式命名为“电子计算机断层摄影技术”简称CT。 1979年EMI公司又研制出全身CT。 1979年这项技术获诺贝尔奖。

几代产品（按扫描方式的改进）: 第一代：单束扫描方式，X射线管与探侧器同步水平直线运动,时间长，一周需4分钟左右。 第二代：窄角扇束扫描，张角10～20度，20～30个探测器相配合。扫描时间20秒左右。 第三代：广角扇束扫描方式，张角为30度左右，探测器增加到250～350个，射线源和探测器同步旋转扫描，扫描时间可缩短2.5秒。 第四代：三代基础上发展，检测器1500个左右，布满整个360。 固定不动，X线源旋转扫描。约2秒。 第五代：28射线管，0.01秒，1秒内重复60次。

目前拓展、超声CT、放射性同位素正电子CT、质子CT。