高 等 預 力 混 凝 土 學 顏聰 教授

第一章 混凝土潛變及收縮之數理分析與實用計算 第一章 混凝土潛變及收縮之數理分析與實用計算 1.1 混凝土載重與潛變之關係 混凝土承受不同載重時，將會產生互異的潛變變形。兩者的相關性，在對長方柱進行試驗後發現有下列特性： 試驗條件如下： 同一混凝土且材齡相同。 試驗時間內之溫度及濕度均維持定值。 由同一時間點t＝0開始施以不同之載重。 載重分30、60、90 kgf/cm2等三種。 (均小於抗壓強度(f'c)之45～50％) 結果可得如圖1-1所示之潛變曲線。

混凝土承載力大小與潛變變形之關係 圖1-1 不同壓力作用下潛變隨時間之變化 潛變變形與施加的應力成比例 圖1-1 不同壓力作用下潛變隨時間之變化 潛變變形與施加的應力成比例 適用於載重在混凝土抗壓強度45～50％以下 在工作應力範圍內，潛變變形必為持久載重之線性函數 可由一典型之潛變(εcr)曲線，推求其他不同載重應力 之潛變量 3

1.2 載重施加時間對混凝土潛變之影響 混凝土承受載重時，若加載之時間點不同，即使施加相同載重，長時間所形成的潛變量也將相異，且具有下列特性。 試驗條件如下： 同一混凝土。 載重應力相同。 載重施加之時間點不同。 結果可得如圖1-2所示之潛變曲線。

混凝土承載齡期與潛變之關係 圖1-2 施壓時間點不同之潛變曲線 任兩曲線之潛變差值在整個發展過程中均維持定值 圖1-2 施壓時間點不同之潛變曲線 任兩曲線之潛變差值在整個發展過程中均維持定值 三條潛變曲線是以相互平行的方式進展 可由初始載重所得潛變曲線(即曲線I)，推求後期載重作用產生的潛變值。 5

1.3 任一時間點之總潛變量 施加持久載重之初先產生一瞬時彈性變形，故任一時間點 t 時之總應變量為： 潛變係數(CC)可依各種環境條件，如氣候、斷面大小、 材質等推定之 德國國家標準DIN 4227建議： 氣候溫和地區(如歐洲中部) ，可取CC=2.0 在高樓建築溫暖乾燥之室內，可取CC=2.5～3.0 對極端不理想的氣候條件(如沙漠地區)，可取CC=4.0

1.4 持久載重作用下之總變形及瞬時潛變變形 單位長度長方柱在斷面上承受如均佈軸向應力之總軸向變形為： 彎矩作用產生的曲角：

微潛變形成之變形量 將式(1-2)及(1-3)中的潛變係數CC視為自變數，並進行微分可得： 可依據式(1-4)、(1-5)兩式作如下定義： 由時間點t＝0開始施加軸向力N0及彎矩M0後，因產生微潛變dCc而形成的變形dδN0及dΦM0可直接以其從屬的彈性變形乘以dCc得之。

1.5 額外載重作用下之總變形及瞬時潛變變形 設先於t＝0施加持久應力f0，又於t＝t1施加大小相等的持久應力f01=f0，則由f01引起的全部變形，參閱圖1-2之潛變曲線，將為： 若於t=t1施加之載重為一般值 f1 (f01=f0≠f1) ，則由f1引起的總變形，參考圖1-1應為： 將式(1-6)代入上式則得：

混凝土彈性模數發展對彈性變形之影響 混凝土彈性模數發展曲線如圖1-6，則t1時之彈性變形為： 代入式(1-7)後可得： 由於式(1-8)中等號右端第二項演變的結果係E0以取代E1，乃可將t=t1開始施加的載重所產生的潛變過程往回移，而可視為有如由t=0開始考慮。此為圖1-2所示潛變曲線之「平行性」必具的結果。

額外載重作用下微潛變對變形之影響 若對長方柱由t＝t1起同時施加軸力N1及彎矩M1，則基於式(1-8) 及前一節中δN0及ΦM0兩方程式可得： 若對上兩式取微分即得產生潛變時之對應變形： 由式(1-11)及式(1-12)可知，於時間點t＝t1施加的N1及彎矩M1 ，在微潛變dCC所造成的變形dδN0及dΦM0可直接以 t＝0之E0所求得之彈性變形與dCC的乘積來表示之。

1.6 收縮變形 觀察圖1-7，可發現收縮及潛變之發展曲線兩者有相似性的幾何形狀。 主要原因為： 1 造成混凝土收縮的物理現象，即孔隙水的散失及其硬化，也同樣對混凝土潛變具有同等的影響。因此，即使兩者的成長過程不是完全一致，在分析上將之視為相似仍屬合理。 圖1-7 混凝土收縮及潛變之發展曲線

收縮變形之計算 由圖1-7之比較曲線可得： 在任一時間段，當潛變係數CC產生變化時，收縮變形的微分值為：

1.7 混凝土潛變之實用推算 混凝土之潛變係數： 混凝土之潛變應變： 由式(1-15)及式(1-16)可得：

潛變係數及比潛變之推算 ACI Committee 209建議： 在未取得特定值情形下，Cu值可取為2.35。 混凝土潛變係數隨時間之變化如圖1-8。

Ct/Cu與t之相關性 式(1-18a)中，Ct/Cu與t之相關性如圖1-8 圖1-8 混凝土潛變係數隨時間之變化

潛變係數推算之標準條件 式(1-18)適用的標準條件為： 若混凝土異於上述條件，計算時須進行適當的修正。 混凝坍度小或等於10cm 相對濕度40％ 構件最小厚度小或等於15cm 載重齡期： 對一般濕治混凝土7天 對蒸氣養護者1至3天 若混凝土異於上述條件，計算時須進行適當的修正。

異於標準條件潛變變形推算之修正 修正因子的一些特定值，可由表1-1查得 對濕置混凝土，載重施加時之材齡7天以上者，應乘以 對高溫蒸氣養護，加載時材齡大於1至3天者 對相對濕度大於40％者，則乘以 修正因子的一些特定值，可由表1-1查得

表1-1 非標準加載齡期及相對濕度之潛變修正因子 表1-1 非標準加載齡期及相對濕度之潛變修正因子

1.8 混凝土收縮之實用推算 Branson及Kripanarayanan兩人對混凝土收縮量的推求建議如下： 對濕治混凝土，材齡7天以上者： 缺乏可靠的特定值εsh,u時，可取為800×10-6 對高溫蒸氣養護者，材齡1至3天以上時： 一般εsh,u值對蒸氣養護者可取730×10-6

混凝土收縮係數隨時間之變化 收縮與時間關係可另以半對數座標的圖1-9顯示之 圖1-9 混凝土收縮係數隨時間之變化

不同濕度條件對收縮變形之修正 對異於標準狀況的濕度條件者需乘以 對不同濕度者可同樣由表1-2內查得 (一般對坍度及構件尺寸的修正常可忽略之 )

潛變與收縮之計算範例(例1-1) [解] 一先拉PC樑在拌製完成7天後施拉預力 混凝土彈性模數Ec=2.821×105 kgf/cm2 (1) 設取極限潛變係數Cu=2.35，則比潛變為： 180天時之潛變變形為：

潛變與收縮之計算範例(例1-1) 設極限收縮應變εsh,u＝800×10-6 因鋼腱施拉時之混凝土材齡為187天，故該時間點的收縮量為：

2.1 概要 2.2 計算之基本理念 2.3 有效慣矩 2.4 近似撓度計算法 2.5 精確撓度計算法 2.6 容許撓度 第二章 拱勢及撓度 2.1 概要 2.2 計算之基本理念 2.3 有效慣矩 2.4 近似撓度計算法 2.5 精確撓度計算法 2.6 容許撓度

2.1 概要 預力構件特色 對於撓度的考慮 不良拱勢的影響 通常比RC構件細長 靜重與活重比率偏低，而可使用較長的跨度 撓度變形的考慮顯得更為重要。 對於撓度的考慮 總撓度變形由預力和工作載重作用組成 外載重未施加前，撓度主要為由預力形成的拱勢 不良拱勢的影響 使橋樑面起伏不平，有礙交通行駛的安全舒適 在屋頂上可能干擾適當的排水 在一般樓版上可能引起隔間牆或其他構件的開裂

依時性變形對拱勢的影響 混凝土的收縮、潛變及鬆弛等依時性變形，將導致構件之預力損失，使預力減弱，從而逐漸降低由初預力造成的拱勢 潛變的效應： 一方面：基於產生預力損失引起拱勢減小 另一方面：潛變會增大反撓曲，即增加拱勢 一般後者居於主宰地位，故整體而言，未受外荷重情形下，拱勢會隨時間而增加。 持久載重引起的撓度會隨時間延長而增大，此乃因混凝土潛變形成的變形增加

2.2 撓度計算之基本理念 結構分析法：由靜重及活重引起的撓度則如一般撓曲構件推算之，然後與預力拱勢重疊計算即得淨撓曲值 假設條件： 預力大小已知 材料維持彈性狀態 構件未開裂（即假設勁度、斷面模數等不變） 分析方法： 矩面法（Moment-area method） 共軛樑法（Conjugate beam method）

推算法（一） 斷面曲率法： 1. 由初預力Pi、偏心距e及斷面性質求得斷面應力fi 2. 其對應的應變則由應力-應變關係式得之 3. 設斷面深度已知為h，則由預力Pi引起的曲率為： 式中符號定義以拉應變為正、壓應變為負，則ψ值為負時表示樑向下彎或即向上拱起。 斷面 應力分佈 應變分佈

有效預力之斷面曲率 預力損失後的斷面曲率為： 預力損失後的曲率ψpe： 可得： Pi作用後之瞬時曲率ψpi 相對於因鬆弛、收縮及潛變引起的預力損失所導致的曲率變化dψ1 持久壓力作用下因混凝土潛變引起的曲率變化dψ2 可得： 斷面 應力分佈 應變分佈

曲率公式計算法 計算由預力引起的拱勢時，對靜定樑而言，由於其彎矩均與鋼腱偏心成正比關係，即 M＝Pe 由基本力學公式可得： 式中：K＝鋼腱軌跡常數 l＝跨距

(a)預力樑 (b)彈性載重 (c)撓度曲線 推算法（二）：彈性載重法 以圖2-3的預力樑為例: 圖2-3(a)中鋼腱顯示有偏心e於中央點，將偏心彎矩轉換成彈性載重即得圖2-3(b) 其次，以矩面法或共軛樑法推算樑中央點撓度可得為： 圖2-3 預力引起之撓度變形 (a)預力樑 (b)彈性載重 (c)撓度曲線

圖2-4 各種鋼腱形式之預力撓度 33

推算法（三）：當量載重法 將預力作用轉換成當量載重，然後按照一般樑載重推求撓曲變形，推算法分析如下： 拋物線鋼腱對混凝土構件作用的向上當量載重為 由均佈載重在簡支樑上產生的撓度為： 將式(2-5)代入上式即得： 以上分析乃假設樑未開裂，若發生裂縫(仍在彈性狀態)，樑之I值本質上將降低，計算上可採用有效慣矩Ie取代I

2.3 有效慣矩 充分預力設計的構件，在工作載重下應不至於產生裂縫，斷面I值的計算常採用毛斷面 Branson氏建議： Icr之計算乃依RC中交替法定中性軸(即相對於充分開裂狀態)，不考慮預力作用對中性軸位置的修正。 式中：Icr＝充分開裂及轉換斷面之慣矩 Ig＝毛斷面之慣矩 Mcr＝樑之開裂彎矩 Mmax＝樑之跨間最大彎矩

2.4 撓度計算－近似法 預力施加時的撓度為由初預力Pi引起的瞬時拱勢∆ Pi及自重撓度∆0之總和，即： 考慮長期作用後的撓度： ∆的符號為負時表示位移向上，即拱起。 考慮長期作用後的撓度： 上式內第二項代表預力損失引起的撓度回升，第三項為混凝土潛變造成的撓度增量 重要的假設前題是潛變在一定預力下發生，該定預力等於初預力與終預力之平均值。 式中：Cu＝潛變係數 ex＝某點鋼腱偏心距

2.4 撓度計算－近似法 構件在Pe作用下的終撓度為： 同時考慮Pe和自重作用的總長期撓度為： 另計入長期靜重和瞬時活重則其總撓度為：

2.5 精確撓度計算－時間段遞增法 近似法撓度計算對預力而言，只分成初預力和終預力兩個階段，預力損失簡單的以Pi-Pe表示，對產生潛變的預力也假設在定預力(Pi-Pe)/2作用下 以近似法推算總終撓度可以說尚具足夠之精確度，但對任一時間點的撓度計算，其精度就有待斟酌。 精確的撓度計算，應該考慮時間相關的預力變化，並同時計入潛變、收縮和鬆弛等的作用 潛變的形成乃在一逐漸減小的預力作用下產生，該預力損失則由收縮、潛變和鬆弛綜合造成 推算上可分成一連串不連續時間段，基於逐漸增加的變化，以逐步法（step-by-step method）採用分段總和（summation）程序處理之

2.5 精確撓度計算－時間段遞增法 對任一斷面在任一時間點t的曲率： 式中(n-1)和(n)分別表示任一時間段的起始和終止 式中等號右邊三項基本上由初預力、預力損失及潛變作用等三部分組成。

計算步驟 先求得初始曲率後，依下列步驟計算：

圖2-5 時間段n之應變變化與推算流程

計算說明 對以上所述推算分析，為求曲率變化的正確性，最好多取幾點計算，如至少應考慮中央點，四分點及支點等。 在推算任何點外載重下的總撓度時，即可利用疊加法，將靜重或活重引起的撓度值加上由預力形成的撓度得之。其對潛變的計算將不必採用上列漸進法，因為該持久載重一直是定值之故。 利用本法時，時間分段的選定會明顯影響計算精度；起始的時間間隔應小，以後漸大。一至三年者能取十個以上時間段為佳。

範例2-1 一先拉預力混凝土I形樑如圖2-6所示，跨度ℓ＝12.20m，樑上除自重Wg＝273 kg/m外還承受活重WL＝818 kg/m。試依逐步法推求樑中央點在鋼腱施拉後0、30、180及360天時的撓度。混凝土在澆置7天後對鋼腱施加預力，並假設下列數據為已知： Pi＝−76.660tons， Aps＝6.23 cm2 ， Cu＝2.35 fpi＝12305 kgf/cm2 ，fpy＝14700 kgf/cm2 ， Ec＝2.821×105 kgf/cm2 ，Es＝1.89×106 kgf/cm2

圖2-6 撓度計算圖例： (a)樑縱斷面 (b)樑斷面 (c)由Pi引起之混凝土應力分佈

範例2-1解 由初預力Pi引起的頂底纖維應力為： 其對應的應變為：

範例2-1解 初曲率為： 以曲率公式計算法檢核： 依圖2-4(e) 求得拱勢：

範例2-1解 由潛變、收縮及鬆弛等引起的依時性撓度變形，可參考第一章及例1-1計算 由潛變引起的撓度變形計算如下： 由Cu＝2.35得比潛變δu為： 以鋼腱切線及30天推算其比潛變： 同理可計算180天及360天的比潛變，綜合列於表2-1之(2)，並算出各時間段增量列於(3)。

範例2-1解 由收縮引起的依時性撓度變形計算如下： 鬆弛引起的預力損失可由下式計算之： 取εsh,u=800*10-6，則以切線當日及切線後30天計算時之收縮量為： 其餘時間段的計算可同樣進行，並將結果與增量列於表2-1之(4)、(5)。 鬆弛引起的預力損失可由下式計算之： 則以施拉後30天為例時 預力損失率＝1−0.919＝0.081 其餘時間段之計算可同樣進行，結果如表2-1之(6)、(7)。

表2-1 依時性因子之預力損失計算

曲率和撓度之計算 基於上述計算結果及依照第2.5節分析步驟，分成三個時間段計算曲率和撓度。 第一時間段(0~30天) 混凝土的外端纖維應力為： 由表2-1查得，比潛變增量為0.362×10-5，其毛潛變應變如下： 在鋼腱位置的毛潛變為：

第一時間段(0~30天)曲率和撓度之計算 又由表2-1查得收縮增量為278×10-6，鬆弛引起的預力損失率增量為0.081 本時間段內的總鋼腱預力損失為： 該預力損失引起的混凝土頂、底纖維應力為： 其對應的混凝土應變為：

第一時間段(0~30天)曲率和撓度之計算 混凝土斷面的頂底纖維淨應變如下： 本時間段內的淨曲率增量為： 在第一時間段終點的總曲率即為： 上得曲率可如下轉換成樑中央點的拱勢：

第二時間段(30~180天)曲率和撓度之計算 混凝土的頂底纖維起始應力為： 如此，第二時間段以及其後時間段的撓度推算，即可參照第一時間段的流程重複進行。 所有結果綜合列於表2-2 由表2-2上最後結果可查得，樑中央點在時間點0，30天，180天及360天時，由於預力作用形成的拱勢分別等於1.33cm，2.46cm，3.00cm及3.15cm，其時間性變化可繪成圖2-6(d)。

表2-2 由預力引起之撓度計算總表

圖2-6 (d) 樑中央點撓度

自重及持久載重作用引起之撓度計算 由自重Wg＝273 kg/m引起的瞬時撓度為： 持久載重作用的依時性撓度，可介入潛變係數Ct，依Cn＝2.35推算各時間點撓度： 上列數據也繪於圖2-6(d)上，則可看出預力和自重產生的撓度大小。

活重引起的撓度計算 活重WL＝818 kg/m引起的瞬時撓度： 綜合預力、自重和活重作用產生的撓度即可求得各時間段發生於樑中央點的撓度值。 以360天為例： 各時間點的撓度計算結果綜合列於表2-3。

表2-3 撓度之總表

範例2-2 承例2-1，試依近似法推算預力施加後360天時，樑中央點由於預力作用產生的拱勢。 [解] 依例2-1中表2-1，達360天時的預力損失為： 由預力引起的瞬時拱勢：

範例2-2解 360天時之潛變係數為 則依式(2-9)可得 此結果與前例利用逐步法所得撓度值 相當接近。

2.6 容許撓度 預力混凝土結構物的撓度容許值，依構造物的特有型式和環境條件而有甚大差異 構件或結構物的功能需求也可能限制其容許值如： 長、短樑 屋頂排水問題 橋樑之交通狀況 ACI 訂有通用在房屋建築上的撓度限制指標 (如表2-4)： 各種情況的撓度限制是以單一跨度為準 依構件型式和支承構造而定 某些情形該限制只針對活重撓度 某些情形則可能使用在長期撓度形成時

表2-4 ACI Code規定之最大容許撓度

2.6 容許撓度 在橋樑方面，AASHTO規範規定： 不論對簡支或連續樑，由活重加上衝擊產生的撓度，不得超過跨度之1/800 對懸臂樑則上述條件下的撓度以懸臂長之1/300為限 對鄉村橋樑，部分同時供行人使用者，其限制再分別縮小為1/1000及1/375。

3.1 複合樑之型式 3.2 載重階段、斷面性質及彈性撓曲應力 3.3 水平剪力傳遞 第三章 複合樑 3.1 複合樑之型式 3.2 載重階段、斷面性質及彈性撓曲應力 3.3 水平剪力傳遞

3.1 複合樑之型式 預力混凝土的複合構造乃指在預鑄構件上另外加一場鑄混凝土構件 預鑄構件： 場鑄混凝土構件（通常為厚度不大的版） 預力版 單T型樑 雙T型樑 場鑄混凝土構件（通常為厚度不大的版） 純混凝土版 配有鐵絲網之混凝土版 另外一種複合構造則由預鑄預力I型樑與場鑄RC版組合而成 複合構造之目的主要在提供一個平整且有用的表面，而附帶的可增加預鑄樑的勁度及強度

圖3-1 典型之複合樑斷面 (a)AASHTO橋之大樑 (b)單T型大樑 (c)雙T型樑 (d)中空版 複合樑形式 複合構造的形式甚多，常見者如圖3-1所示：(圖中PC為預鑄之簡寫，CIP為場鑄之縮寫) 圖3-1 典型之複合樑斷面 (a)AASHTO橋之大樑 (b)單T型大樑 (c)雙T型樑 (d)中空版

典型複合樑介紹 圖3-1(a)之橋樑用大樑斷面 圖3-1(b)之單T型大樑斷面 圖3-1(c)之雙T型樑及圖3-1(d)之中空預鑄版 經常使用於中跨度以下的公路橋樑 美國之公路及運輸協會(AASHTO)對此型複合構造之預鑄I型樑，訂有深71.1～182.9cm(28～72in)之六種斷面型式標準 圖3-1(b)之單T型大樑斷面 適用於中跨到長跨度之屋頂及樓版系統，如停車場等建築 配置常為平行並排，互相在翼版端接觸，翼版厚在房屋建築上為5.1～7.6cm(2～3in)，使用於橋樑上時則需厚些 為使整體構造結合成一體，常在橫向另施預力 圖3-1(c)之雙T型樑及圖3-1(d)之中空預鑄版 典型之工廠預鑄產品 廣泛使用於短跨及中跨度之房屋樓版及屋頂，其頂版(場鑄)為5cm(2in)厚

複合構造基本要求 複合構造的基本要求為預鑄與場鑄構造間具有足夠的握裹力，以防止受撓時產生層間滑動 黏著及摩擦力為握裹力的主要來源。 圖3-1(a)之斷面則因接觸面小而須加綴縫構造以防止滑動 圖3-1(b)、(c)、(d)等斷面因具有夠大的接觸面，可不虞握裹失敗 預鑄混凝土強度常高於場鑄者 預鑄：280～420 kgf/cm2(4000～6000psi) 場鑄：210～280 kgf/cm2(3000～4000psi)

3.2 載重階段、斷面性質及彈性撓曲應力 複合構件由製造開始至使用為止，整個過程中可能承受的載重相當複雜，其中應考慮的載重階段有： 預力轉移段之初預力Pi 初預力Pi加上預鑄構件之自重 有效預力Pe加上構件自重 有效預力Pe加上非複合構造之靜重，包括新澆置的場鑄混凝土版重 有效預力Pe加上非複合構造靜重及複合構造靜重和工作活重 最大超載重

載重階段之計算原則 在場鑄混凝土硬化之前施加載重時，其斷面應力計算以預鑄斷面之形心為準 在硬化後施加載重時，則以複合斷面之形心為準 一般規則中由階段1到5，所有載重引起的應力推算可假設為彈性行為 由試驗證明得知，複合構造承受超載荷重時，若有效剪力在介面層間的應力傳遞功能可維持，則複合斷面之充分強度即可形成

設計載重之考量 複合樑設計載重的控制有下述幾種可能性： 在考慮複合樑斷面性質以計算應力時，需依載重階段決定斷面重心 當預鑄構件的頂、底纖維拉應力及壓應力限制必須滿足時，以載重階段2為控制 當複合斷面的頂壓應力及底拉應力（由工作載重引起）限制不得超越時，以載重階段5為控制 當構件必須具有合宜強度以抵抗超載時，以階段6為控制 在考慮複合樑斷面性質以計算應力時，需依載重階段決定斷面重心

圖3-2 預鑄及複合斷面之性質 (a)預鑄預力樑斷面 (b)複合斷面

斷面應力分佈之推算說明 典型複合樑各個載重階段之應力分佈如圖3-3 圖3-3(a)為斷面形狀及重心軸位置 預力轉移後(初預力Pi作用於預鑄構件上)應力如圖3-3(b) 由於自重也必然同時作用，設以彎矩M0表之，則此階段之頂、底纖維應力各為： 圖3-3(b) 應力線乃指預力損失結束只存在有效預力Pe情形 圖3-3 未開裂複合樑之彈性應力分佈

斷面應力分佈之推算說明 圖3-3(c)之應力分佈 圖3-3(d) 之應力分佈 為場鑄混凝土版初澆製而尚未硬化產生強度前之階段 版重以非複合靜重方式作用於預鑄預力樑上 圖3-3(d) 之應力分佈 上述應力與既有應力線相加可得應力線 此時預鑄構件頂、底纖維應力之推算式為： ＝場鑄新拌混凝土產生之彎矩

斷面應力分佈之推算說明 圖3-3(e)之應力分佈 圖3-3(f)中之應力分佈 在場鑄版硬化後將與預鑄構件結合成一複合構造，此時斷面重心軸將上移 然後版上將增加路面、路肩、粉刷層等靜重，即活重也隨後開始作用 圖3-3(f)中之應力分佈 上述應力與應力線相加即得應力線 此時預鑄構造之頂、底纖維應力為： 另外在場鑄版頂、底纖維的應力為：

複合樑應變分析 場鑄混凝土強度比預鑄混凝土低，其彈性模數E亦不同，因而會影響複合樑中之彈性應力 在計算上可利用轉換斷面觀念，將場鑄混凝土斷面轉換成較小當量之預鑄混凝土 理論上兩種斷面上同一高度位置有相同應變，若設實際及當量斷面上距重心軸y處之混凝土應力各為fc及fcp，兩種混凝土彈性模數各為Ec及Ecp，則因應變相同，即： 式中：n＝兩種混凝土之模數比，通常小於1.0

圖3-4 轉換複合斷面。(a)實際斷面 (b)轉換斷面 對兩種斷面考慮壓力抵抗（如圖3-4）： 將式(3-9)代上入式則得： 圖3-4 轉換複合斷面。(a)實際斷面 (b)轉換斷面

範例3-1 一預鑄之91.4cm深AASHTO Type II預力樑，將與一14.6cm×243.8cm場鑄版組合成跨度16.76m簡支承複合樑，斷面性質如圖3-5(a)，並已知條件如下： 預鑄樑：f’c=350 kgf/cm2，Ec=2.850×105 kgf/cm2 場鑄版：f’c=210 kgf/cm2，Ec=2.205×105 kgf/cm2 初預力Pi=-211.3tons作用於預鑄樑重心軸下29.4cm處 有效預力Pe=108.5tons 。 假設該複合樑承擔之載重及對應之彎矩為： 試依下列載重組合條件推求樑之撓曲應力： a)初預力加上預鑄樑自重 b)有效預力加上所有非複合構造之靜重 c)有效預力加上總工作荷重。

複合樑橫斷面之性質 圖3-5 (a) AASHTO大樑之橫斷面

範例3-1解 預鑄樑受初預力及其自重後，其頂、底纖維應力為： 其應力分佈如右圖（圖3-5(b)）

範例3-1解 場鑄新拌混凝土版未硬化前，其靜重彎矩對預鑄斷面作用，則連同有效預力作用，預鑄斷面之頂、底纖維應力為： 其應力分佈如右圖（圖3-5(c)）

範例3-1解 承受有效預力及工作載重下之複合樑斷面應力計算，須先決定其轉換斷面性質： 同理可推算出： 模數比 版轉換寬度 版轉換面積 對版頂取面積力矩以定複合斷面重心： 同理可推算出：

範例3-1解 版轉換斷面對本身重心軸之慣矩為： 則複合斷面對其重心軸之慣矩為： 各斷面模數可據之推算出： 所有複合樑斷面性質亦綜合列於表3-1中

範例3-1解 由總工作載重，即靜重及活重，對複合斷面之預鑄樑頂、底纖維形成的應力為： 上列應力與圖3-5(c)上既有應力相加後即得此載重階段之總應力為：

範例3-1解 計算場鑄版頂、底纖維應力時，可利用轉換斷面計算，然後乘以模數比，以得實際版之混凝土應力： 複合斷面上的最後應力分佈如圖3-5(d)

3.3 水平剪力傳遞 當撓曲載重作用於複合樑時，場鑄版在水平方向可能由界面向外滑移，而預鑄樑在界面上則有向內移的傾向，如圖3-6(a)所示 若滑移行為未予阻止，兩構件在受力下將各對其重心軸，按承擔載重大小產生彎曲，如圖3-6(b) 為防止上述滑移現象，必須於受撓曲載重後產生得以傳遞界面之剪力 在場鑄版上剪力方向為向內，預鑄樑上則向外，如圖3-6(c)所示

圖3-5 T型樑中之複合構造行為 (a)橫斷面 (b)未複合構造行為(c)界面之剪應力

預力構件之剪力措施 界面剪力抵抗可由兩構件間的黏著及摩擦作用提供 接觸面愈粗糙，面積愈大效果愈佳 故如圖3-1(b)、(c)及(d)等之複合構造因界面夠大，可不虞滑移，無須作輔助措施 對於載重大之樑，若只具有較小的界面，如圖3-1(a)，則須將預鑄樑中的箍筋伸入場鑄樑內，以產生綴縫作用，並增加摩擦力 對於特殊情形則考慮另加剪力榫。

剪應力 未開裂彈性樑由於撓曲作用引發的水平剪應力，可用下式求之： 實際上混凝土樑並非彈性且易開裂，上式不甚適用 目前在分析或設計上都改用與真實情況相近卻 較簡單的剪應力公式： 式中：d為壓力面到預力鋼腱重心軸的距離

ACI Code剪力規定 式中： ＝剪力計算強度 ACI Code規定若下列四個條件能滿足，即可假設水平剪力可充分傳遞： 接觸面清潔、無缺口、且不平糙面間隔約60mm 具有最少束箍(間距小於支撐構件最小邊之4倍或小於 600mm) 樑腰構件之設計足以抵抗總垂直剪力 所有剪力筋伸入相連構件內可得充分錨錠 若上述條件無法滿足，則構件對水平剪力之傳遞須以下式校核之： 式中： ＝剪力計算強度

ACI Code剪力設計強度規定 依ACI Code規定 之最大值為： 合於上述剪力充分傳遞條件(1)，但無束箍時 採用束箍，界面清潔，但未加粗糙處理時 採用束箍且有理想界面條件（清潔、粗糙）時

4.1 簡支樑與連續樑－優劣點比較 4.2 連續樑之架構法 4.3 直線型鋼腱預力樑之彈性分析 4.4 具有曲線型鋼腱預力樑之彈性分析 第四章 預力混凝土撓曲構件之連續性 4.1 簡支樑與連續樑－優劣點比較 4.2 連續樑之架構法 4.3 直線型鋼腱預力樑之彈性分析 4.4 具有曲線型鋼腱預力樑之彈性分析

4.1 簡支樑與連續樑－優劣點比較 連續樑之優點： 提高承重能力 可具有較小之撓度及較大之勁度 簡支樑情形： 連續樑情形： 得連續樑可承擔之外載重，在極限狀態下可達相同條件之簡支樑的兩倍。 可具有較小之撓度及較大之勁度 此特性可減低樑高度或增加整個構造物的穩定性及承重能力 圖4-1 簡支樑 圖4-2 連續樑

連續樑之缺點 需要有高度施工技術及品質的配合，勞工量也常需增多 摩擦預力損失因鋼腱之彎曲變化次數多而增大 由於預力施拉或收縮、潛變、溫度變化及支點沈陷等作用，都可能引起二次應力，有利亦有弊，需巧為利用使其影響降到最低 極限狀態時，最大彎矩及最大剪力可能同時發生於支點附近，會降低構件承載能力 彎矩在整個跨度上變化甚大，將導致不經濟之設計，因主鋼腱為連續配置且斷面積不變

連續樑之架構法 通常架構方法分為三個大類，即： 場鑄構造物 由預鑄構件組成之構造物 採用懸臂樑建構法 適用於長跨連續樑 可能具有場鑄接點 所需之輔助元件及構件可為預鑄或場鑄式

場鑄預力樑之典型構架 角柱形、斷面深度不變，採用曲線型鋼腱如圖(a) 斷面深度變化，採用直線型鋼腱如圖(b) ： 構造簡單、分析容易，但因鋼腱彎曲度大，使預力之摩擦損失亦大 斷面深度變化，採用直線型鋼腱如圖(b) ： 斷面之I值變化，分析較難，因採用直線型鋼腱，可降低預力之摩擦損失 樑體之建造較困難，且鋼腱之偏心距易因施工不良而產生偏差

場鑄預力樑之典型構架 斷面深度變化，採用曲線型鋼腱，圖 (c)： 斷面深度不變，但I值變化，採用曲線型鋼腱，圖(d) ： 分析雖較複雜，但因斷面深度與鋼腱在跨間同時變化，反可作有利或方便之調整以得理想架構，應具有前兩種構造方式優點 斷面深度不變，但I值變化，採用曲線型鋼腱，圖(d) ： 此類斷面之設計，可由變化箱形斷面之內側上下翼厚度而得，其I值可隨實際應力情形變化為此類斷面之優點。

場鑄預力樑之典型構架 含有特殊次結構之樑，圖(e)： 該特殊次結構用以形成控制性端彎矩。此型樑的設計、築造和維護較受混凝土塑性性質的影響，其依時性變形(收縮、潛變)對端點彎矩和端點反力有重大影響。

預鑄構造連續樑 重疊樑（圖(a)）： 施加預力以構成預鑄樑之連續性（圖 (b)）： 重疊位置常安排在大彎矩範圍內，此法優點為，接頭的混凝土強度可以不高，因該處混凝土已由隔版、剪力榫及橋面版等加固。 施加預力以構成預鑄樑之連續性（圖 (b)）： 此法理論上簡便，實行上困難，因在曲度大而短的冠狀接頭，鋼腱不易排置及施拉，錨錠之安排。另外，因曲度大，摩擦預力損失也大。

預鑄構造連續樑 重疊樑（圖(a)）： 施加預力以構成預鑄樑之連續性（圖 (b)）： 重疊位置常安排在大彎矩範圍內，此法優點為，接頭的混凝土強度可以不高，因該處混凝土已由隔版、剪力榫及橋面版等加固。 施加預力以構成預鑄樑之連續性（圖 (b)）： 此法理論上簡便，實行上困難，因在曲度大而短的冠狀接頭，鋼腱不易排置及施拉，錨錠之安排。另外，因曲度大，摩擦預力損失也大。

預鑄構造連續樑 以普通鋼筋發展連續性（圖 (c)） 由延伸重疊鋼腱形成連續性（圖4(d)） 同時適用於深度不變及變化之樑，此法廣用於橋樑構造上，場鑄接頭必須使負彎矩斷面處之應力得以均勻轉移 由延伸重疊鋼腱形成連續性（圖4(d)） 此類連續接點在現場之施工繁雜、耗工大且不便，甚少被採用。再者，此連續性之構成只針對活重，在架設操作時用以抵抗預鑄元件等靜重作用部分，則須另加預力或普通鋼筋。

預鑄構造連續樑 由連結鋼腱產生連續性（圖4-4(e)） 在連續性構造物上反曲點連接預鑄構件 鋼腱施拉為每次拉一孔，完成鋼腱連結後再拉下一孔，故可大幅減少摩擦預力損失 在連續性構造物上反曲點連接預鑄構件 反曲點處彎矩小之構材可利用此法連接。圖 (f)為場鑄接頭，採用直線型鋼腱。若為減少場鑄接頭可利用如圖 (g)之重疊斷面，以曲線型鋼腱連接

懸臂式橋樑建構 其分段構件可為場鑄或預鑄 在歐洲廣泛被採用於長跨度橋樑施工上 施工法為由橋墩向跨徑中央分段推進 每段都向完成部分施預力，一直以懸臂樑方式向外建造 兩邊懸臂構造到中央會合後，可用額外鋼腱或鉸接形成連續性

4.3 直線型鋼腱預力樑之彈性分析 連續樑 預力構造中二次彎矩(secondary moment)之形成必因構造物變形而來，可用一般靜不定分析法解之。 二次彎矩對預力結構可能有利也可能不利，主要依設計者之運用而定，不像它之絕對不利於其他如鋼筋混凝土構造。因此在PC中應接受二次彎矩存在之事實，並妥善運用之

PC連續樑設計及分析之假設 設計應力範圍內之混凝土視為彈性材料處理 平面斷面維持平面 每個彎矩作用可個別計算，由代數和求得總彎矩 預力之摩擦作用甚小可以忽略之 預力之偏心與跨徑相較甚小，故水平分力可視為在 整個構件上均一致 構件之軸向變形假設不受抑制

兩跨徑連續樑二次彎矩之說明 設圖 (a)之PC樑有偏心e之預力P作用，則整個樑承受預力彎矩P‧e作用如圖 (b)所示 由於支點B實際上與樑固接，上述作用將使B點產生向下作用力Rb 由Rb作用於跨距上造成之向下撓度亦為δ： 可得：

兩跨徑連續樑二次彎矩之說明 如此則平衡狀態之樑上作用力可分析如圖 (d)，而其對應之彎矩如圖 (e)（(e)圖亦可直接由圖(b)及(c)相加得之！） 次將各斷面彎矩除以預力P即得壓力線之偏心距e，連接各點後得圖 (f)之壓力線。在支點B之壓力線偏心為向上e/2，表示由於Rb引起之二次彎矩，使壓力線偏心由向下e轉變成向上e/2（因無其他外力作用，故可如此分析！）

兩跨徑連續樑二次彎矩之說明 由於二次彎矩為線性變化，則它使壓力線移開鋼腱 重心的距離恰與離開支點A與C的距離成比例增加 連續樑中由預力引起之應力即可由下列基本關係式 計算之： 式中e*表示壓力線之偏心距而非鋼腱之偏心距，此 意味著在連續樑中鋼腱重心不一定與壓力線一致

二跨連續樑配置同位鋼腱之彎矩分析 將鋼腱配置成與上例中所得壓力線一致如圖 (a)。先移開支點B，繪出由鋼腱預力引起之彎矩圖並考慮成彈性載重，如圖 (b)。 由預力產生對樑之作用如圖 (c)所示，則B點處之撓度δ為： 由於B點撓度等於零，在B點將無二次反力產生而無彎矩存在。 如此表示壓力線與鋼腱重心一致（有如靜定之簡支情形），此類鋼腱配置模式稱為〝同位〞（concordant）鋼腱 上例之兩者不一致情形則稱之為〝不同位〞鋼腱

二跨連續樑配置不同位鋼腱之彎矩分析 若將鋼腱配置如下圖 (a)，預力彎矩及彈性載重則如圖 (b) 支點B之反力及二次彎矩如圖 (c)，由預力引起之彎矩如圖 (d)，最後可得壓力線如圖 (e) 從本例中可發現，由於預力引起之彎矩及壓力線（圖 (d)及(e)）與上兩例所得結果一致，表示本例仍屬”不同位”鋼腱

前述三個例子之比較 三例中唯一改變的只有中間支點B上的鋼腱偏心距不同 P及兩外端支點A、C的鋼腱偏心距離保持定值 雖然三種情形中二次反力及二次彎矩不同，但是由不同鋼腱軌跡引起之預力彎矩及壓力線都一致 換言之，只有在兩外端之鋼腱偏心距產生變化時其預力彎矩及壓力線才會移動 由於最後之預力彎矩相同，則三種情形之自由體上外力作用大小將一致，如圖4-9所示。

圖4-9 三種鋼腱偏心之樑自由體作用力分析

線性移位之觀念 (Linear Transformation) 定義： 任何連續PC樑中，預力軌跡可視為是線性移位，若只在內支點上下移動其軌跡而不變化外端點之軌跡位置，但軌跡之基本形狀不得改變。對鋼腱作任何線性移位，將不會改變其壓力線。 移位之功用： 在連續樑中可移動鋼腱位置以獲得較大之保護層 藉鋼腱移位得到最理想之斷面深度。 同位鋼腱之特性： 不產生二次彎矩 支點上無二次反力，即不產生撓度 分析容易

兩端固定樑 PC樑為兩端固定情形時也會產生二次彎矩 如圖 (a) 設鋼腱預力P有偏心距e，自重不計時，若將兩端之固定暫時解除，則會產生如圖 (b)之拱起或扭轉現象 實際上不會發生上述狀況，即於兩端會有反作用之二次彎矩存在，它可平衡該扭轉作用，故與預力彎矩Pe綜合考量時，該二次彎矩為一大小相等方向相反之彎矩作用，即等於Pe

圖4-11 具有直線型鋼腱之拱腰式預力樑之彈性中心 拱腰式PC樑 對於拱腰式PC樑，如圖4-11 若使預力作用於構材之”彈性中心”（Elastic center），該預力將造成負彎矩於兩端，正彎矩於中央，且無二次彎矩之存在 圖4-11 具有直線型鋼腱之拱腰式預力樑之彈性中心

彈性中心（Elastic center） 彈性中心定義為一位置，自該位置加力後不至於在樑端引起扭轉作用（即無二次彎矩）考慮如下圖之拱腰樑，其彈性中心可由下式求得： 圖中滿足式(4-7)之y值即為彈性中心位置

4.4 具有曲線型鋼腱預力樑之彈性分析 直線型鋼腱預力樑所用的分析與理論方法，基本上 也可引用於曲線型鋼腱上，只是在推導過程中須另 考慮進去，因鋼腱彎曲、偏心距變化，所引起的附 帶影響 對於二次反力或二次彎矩的推算可利用彈性載重原 理，三力矩公式或其他傳統解析法（對超靜定構 造），如彎矩分配法等推求之 方法選定後即依已知條件及設計者本身喜好，以簡 易迅速為原則進行分析

一、曲線型鋼腱之附加作用力： 以下介紹利用彎矩分配法之解析方法： 首先將 分別轉化成當量端矩(均佈作用荷重及集中載重) 樑外端之鋼腱偏心 曲率(Curvature) 斜度之突然變化等處 分別轉化成當量端矩(均佈作用荷重及集中載重) 至於後續彎矩分配(針對當量荷重引起之定端彎 矩Fixed-end moment之分配)則依一般方法為之

二、當量載重處理法 拋物線型鋼腱 樑外端鋼腱之偏心及曲率轉化成當量載重之處理法，以下圖之預力樑說明之 該兩跨度樑之鋼腱在三個支點都有e1之偏心，拋物線型鋼腱在跨度間下垂的偏心距為et。

當量載重處理法 由圖4-14對拋物線軌跡之分析可得在支點時拋物線型鋼腱之正切值tanθ為： 由於拋物線之曲率不大，可設tanθ=sin θ = θ ，而鋼腱在各跨度內每個端點之垂直分力為： 圖4-14 拋物線軌跡之基本分析

當量載重處理法 如此則對各個跨度應有2Vp之作用力，其當量均佈載重將可如下求得： 作用於支點之預力垂直分力不產生彎矩，將由支點承擔，故忽略之；但其水平分力則會造成彎矩Pe1於分析上應予考慮。 最後作用於樑上之當量載重如圖 (b)所示。

特殊形狀鋼腱曲線 對於鋼腱曲線之形狀特殊，如圖4-15之情形，即端點高度不在同一水平線上時，可引用式(4-8)以計算當量載重w，其et及值應如圖上所示定之。 另外，若鋼腱形狀為複拋物線形，如圖4-16，則其當量載重可依下式計算之： 圖4-15 拋物線軌跡之et決定法 圖4-16 複合形鋼腱軌跡

折線型鋼腱 斜率突然變化所引起的當量垂直載重，可如下式求得： 式(4-10)中值θt之推算可參考圖4-17所示 圖4-17 折線型鋼腱之當量載重

範例4-1 一預力樑之曲線型鋼腱如圖 (a)所示 試利用彎矩分配法及三力矩公式計算由預力引起之彎矩並繪其壓力線 預力P＝226.8tons 各點之偏心距如圖所列 試利用彎矩分配法及三力矩公式計算由預力引起之彎矩並繪其壓力線

範例4-1解 當量均佈載重 定端彎矩 外端偏心彎矩

範例4-1解 彎矩分配法： 如圖 (c)進行彎矩分配，得各點彎矩並繪成圖4-18(d) 支點B之彎矩為96.95t-m，該點之壓力線偏心距為 則壓力線在鋼腱上方42.7−36.6=6.1cm處 壓力線在跨度中點偏離鋼腱之距離，可依線性移位原理計算如下： 最後之壓力線將如圖4-18(e)所示

範例4-1解 三力矩公式法： 又已知： 代入已知值可得 為對稱斷面

範例4-2 一預力樑之曲線型鋼腱如圖 (a)所示 試利用彎矩分配法及三力矩公式計算由預力引起之彎矩並繪其壓力線 預力P＝-226.8tons 各點之偏心距如圖所列 試利用彎矩分配法及三力矩公式計算由預力引起之彎矩並繪其壓力線

範例4-2解 當量均佈載重 跨度AB間集中當量載重 跨度BC間集中當量載重 當量載重如圖(b) 定端彎矩

範例4-2解 彎矩分配法： 計算過程如圖 (c)，分析得MB＝85.96t-m

範例4-2解 三力矩公式法： 代入公式可得 由預力引起之彎矩如右圖所示

範例4-2解 則壓力線在鋼腱上方7.9−24.4=13.5cm處 支點B之壓力線偏心距為： 壓力線在D、E兩點偏離鋼腱之距離，可依線性移位原理計算如下： D點 E點 依上述之推算即可繪得壓力曲線如圖 (e)所示

第五章 極限強度之分析與設計 5.1 開裂載重 5.2 握裹構件之極限強度

5.1 開裂載重 內部應力的演變過程可分成三個階段(如圖5-1)： 彈性範圍（未開裂或開裂） M=Pa 若P不變則M的變化由內力臂a值的變化平衡之(即壓力線之移動)。 過渡階段（彈性消失至塑性之前） 壓力線上升減緩、鋼腱及混凝土之應力漸增。 塑性範圍 內力臂不再增大，載重之增加完全由鋼腱或混凝土應力增大承擔，其應力應變特性類似於鋼筋混凝土(RC)樑之行為。

圖5-1 預力樑受撓曲載重之內部應力演變

圖5-2 開裂彎矩下之混凝土應力變化

圖5-3 先拉預力樑在載重作用下之鋼腱應力變化 圖5-3 先拉預力樑在載重作用下之鋼腱應力變化

開裂彎矩之計算 預力混凝土樑的開裂彎矩可基於均質斷面，使其拉力線的張力等於混凝土破裂模數，如下式得之： (5-1a)式表示開裂彎矩作用下的應力平衡式 (5-1b)式則為彎矩平衡式

開裂安全因子之考量 關於PC樑開裂之安全因子（Fcr）的考慮，通常從活重彎矩上處理之： 式中：Fcr可小於、等於或大於1.0。

範例5-1 已知一簡支矩形預力樑性質如下： 試求： 斷面為：寬b=25cm、高h=30cm、跨度ℓ=7.6m 鋼腱預力：Pe=-54.4tons、偏心距e =6.3cm 混凝土強度f’c=350 kgf/cm2 破裂模數 試求： 引起該樑開裂之均佈載重Wcr。 對活重彎矩之安全因子Fcr，但WD=200kg/m及WL=500kg/m。

範例5-1解 a) 開裂均佈載重之計算：

範例5-1解 b) 載重安全因子之計算：

5.2 握裹構件之極限強度 5.2.1 極限強度理論與分析 PC樑的剪力及握裹強度一般大於其撓曲強度，由載重彎矩引起的撓曲失敗模式有： 達開裂彎矩時即形成失敗—屬微量預力補強情形 開裂彎矩可能大於開裂後所能承擔的彎矩，則開裂彎矩即等於極限彎矩。箱型或矩形斷面中，鋼腱位置偏低者（e值較大）較可能形成此類失敗。此型失敗模式之判定可由比較開裂彎矩與極限彎矩定之。 由鋼材之斷裂導致失敗—屬少量預力補強情形 在極限載重時，鋼材先達極限強度，而混凝土尚未達高塑性狀態。此型失敗之構件，如複合樑等，其壓力緣面積與鋼腱面積比甚大者，極限彎矩可相當準確地預估出。

撓曲失敗模式 由大變形引起失敗—屬不足補強之構件 達極限載重時，構件產生大撓度，鋼材進入塑性狀態，但構件的失敗是因混凝土達到最大應變（≥0.003）而發生 自開裂後，斷面中性軸的變化如圖 (a) 由於極限彎矩是受應變而非受應力控制，故其彎矩值為混凝土與鋼腱彈性模數之函數 其極限彎矩可預測，將為鋼腱彈性質及有效預力之函數

撓曲失敗模式 由混凝土被壓壞而失敗—屬過量補強情形 由混凝土壓碎而引起構件失敗，此時鋼材應力尚未達降伏強度 自開裂起的中性軸變化如圖 (b) 極限彎矩之推算常以試誤法進行。

不足補強樑之極限強度分析 不足補強樑在極限強度分析上，可由作用力平衡及彎矩平衡解析之： 混凝土之等值矩形應力塊 壓力面混凝土的拋物線型應力分佈可簡化成矩形，合力之大小及位置由下式推求之：

β1值之計算與參考表 β1可由下表查得或利用下式推算之：

不足補強樑之極限強度分析 應變調和之撓曲強度分析 應變分佈： 中間階段： 只由有效預力Pe作用，該階段的鋼材應力和相關應變分別為： 鋼腱位置之混凝土在解壓狀態(應力等於0)。設握裹作用仍存在，而由進入時，鋼腱應變增加量等於鋼腱位置混凝土受預力作用下之應變，可如下表示之：

不足補強樑之極限強度分析 應變調和之撓曲強度分析 當構件超越至破壞階段時，中性軸在頂緣下x處，而應變增加量為： 準此，失敗時鋼腱的總應變等於上述三階段應變之和： 其對應的應力為：

不足補強樑之極限強度分析 應變調和之撓曲強度分析 則由作用力平衡 C = T 參閱圖(b)，構件的標稱撓曲強度即為： 圖(b)

總應力之計算 應注意者，式(5-11)，(5-12)中fps的值在樑失敗時為未知數，使無法直接推算出，但可利用下述反覆法解之： 假設一個合理的fps值，由鋼材的應力－應變曲線(如圖5-7)查得εps 由fps利用式(5-11)推算x 由x利用式(5-8)計算ε3 ，再代入式(5-9)計算εps 若由(3)求得之εps不等於步驟(1)所得εps ，則重複步驟(1)到(3)，直到兩個εps吻合或達接受之偏差為止 以既定之a=β1x及fps利用式(5-12)計算Mn

圖5-7 預力鋼腱之典型應力－應變曲線

fps計算精度要求 前述對fps的反覆求法較為精確，但較複雜 若要求得簡易的近似值，可利用下式推算之，但須符合fps≧ 0.5fpu之條件： ACI 318： 但此值不得大於fpy或(fps+4200kgf/cm2) 式中： 鋼材比(Steel Ratio)： 鋼材指數(Steel Index)：

補強條件與鋼材指數之關係 基於多數試驗結果可綜合出，各種補強條件相對於鋼材指數ρpi有下列關係： 少量補強構件者(0≦ρpi≦0.08)，其標稱彎矩 (彎矩計算強度) Mn可由下式估算之： 不足補強構件者(0.1≦ρpi≦0.4)，Mn之估算式為： 過量補強構件者，ρpi＞0.4 。

5.2.2 極限強度之規範要求 依ACI 318，對不足補強之PC樑(補強指數WP<0.30)：

翼版預力樑的極限彎矩計算 對具有翼版的預力樑即a>hf之T型樑（此時hf<1.4dWP），如圖所示，可分成突出樑腰之翼版及樑腰兩部分，如下分析其標稱彎矩：

極限強度之規範要求 式(5-16)及式(5-20)在補強指數小於0.30以下時，屬於不足補強，利用上式推算所得值與試驗值較吻合 當WP＞0.30時則結果不理想，對於這種情形ACI Code另外建議了推求方程式： 時（含矩形斷面） 時 為防止開裂後由預力鋼腱形成突然的撓曲失效， ACI Code要求構件的極限抵抗彎矩至少須為開裂 彎矩之1.2倍

範例5-2 一簡支預力I形樑斷面如圖所示，已知條件包括： 試利用應變調合法推求其極限彎矩 、極限應變 預力施加為先拉式，有效預力 採用7根Grade 250直徑1/2 inches(1.27cm)之七股鋼腱 鋼腱之應力應變關係如圖5-7 鋼腱性質可參閱表5-2： 試利用應變調合法推求其極限彎矩

表5-2 七股鋼腱之基本性質（ASTM A416）

範例5-2解 由表5-2查得1根鋼腱的斷面積為92.9mm2=0.929cm2 由有效預力引起的應力應變為： 鋼腱位置混凝土在解壓狀態時，鋼腱的應變增量， 可由式(5-7)得出為：

範例5-2解 中性軸位置為： 先初步假設破壞時鋼腱應力為 ，由圖5-7查得對應之應變為： 先初步假設破壞時鋼腱應力為 ，由圖5-7查得對應之應變為： 假設矩形應力塊深度小於上翼版平均厚度12.7cm，則 中性軸位置為：

範例5-2解 鋼腱由解壓階段到破壞之間的應變增量為： 破壞時之鋼腱應變為： 此值與初步假設的 有頗大出入，應修正假設再計算之。

範例5-2解 第二次假設破壞時鋼腱應力為 ，由圖5-7查得對應之應變為： 重複上列計算過程，再推求 如下： 第二次假設破壞時鋼腱應力為 ，由圖5-7查得對應之應變為： 重複上列計算過程，再推求 如下： 樑斷面之應變及作用力圖如圖5-10。 此值與雖有差距，但若觀察圖5-7將可發現，應變的差異在該曲線段附近所能引起的應力變化很有限，即重算已不具意義

圖5-10 I形樑之撓曲強度分析

範例5-2解 標稱彎矩強度可根據上述數據推算出： 註： ，因差距不大改以I型樑分析時變化不大

範例5-3 試利用ACI建議的近似公式，估計例5-2預力樑的極限彎矩。 [解] 因 則由式(5-13)及 可得鋼腱的破壞應力為：

範例5-3解 由於 不得大於上列二值，故取 計算補強指數： 因 ，表示此樑為不足補強，可據以析算之。

範例5-3解 由 可知屬於 情形，計算如下：

6.1 預力構材之剪力特性 6.2 未開裂樑之剪力及斜拉力 6.3 剪力破壞及剪力筋 第六章 剪力之分析與設計 6.1 預力構材之剪力特性 6.2 未開裂樑之剪力及斜拉力 6.3 剪力破壞及剪力筋

6.1 預力構材之剪力特性 預力混凝土(PC)樑對剪力之抵抗能力比鋼筋混凝土(RC)樑優越，主要原因係前者可防止收縮裂縫之出現。 圖 (a)之直線型鋼腱對剪力不生作用，即 。 圖 (b)之折線型鋼腱可由垂直分力承擔部分剪力，即

6.2 未開裂樑之剪力及斜拉力 預力樑承受的載重相當小時將無裂縫發生，而混凝土之反應接近彈性 此情形下之剪應力及撓曲應力可由下式求之： 混凝土剪應力 式中：Vnet＝由載重及預力引起之斷面淨剪力 混凝土撓曲應力

主應力之分析 考慮RC樑中性軸上小單元體a，如圖6-2(a)，及PC樑上相當位置單元體b，如圖6-2(e) 藉Mohr氏圖分別求得其主應力σ1及σ2 ， 如圖6-2(d)及(h) RC樑中性軸位置之主拉應力與水平交成45˚角，則其裂縫走向如圖6-2(a)亦與水平交成45˚ PC樑在相當位置之主拉應力與水平交成大於45˚角，則其裂縫走向如圖6-2(e)與水平交角小於45˚，即較為平緩 比較圖6-2(c)及(g)可看出，由於有預壓力σ之作用使σ1值減低，表示預力作用可有利於防止開裂

圖6-2 RC與PC樑之應力分析 RC樑分析 PC樑分析

預力對斜拉應力及開裂之影響 預力能減低主拉應力σ1之事實，使PC樑中最大斜拉力或可能產生斜裂縫之位置異於RC樑者，例如： I形樑中最大主拉應力不發生於中性軸附近（此處剪力最大），而是在樑腰下端與下翼相交處，因該處剪應力仍大，但其縱向預壓力已被外載重抵消殆盡 簡支I形樑之斜拉裂縫（受均佈載重），通常發生在跨距ℓ/4點上而不在支承附近，因ℓ/4點之剪力仍大，但外載重彎矩亦大，已抵消部分預力；而支點附近之外載重彎矩小，幾乎不能削減預力作用，使得支點之σ1小而不至於造成開裂

6.3 剪力破壞及剪力筋 預力樑之斜裂有兩種型式，一為撓曲剪開裂，另一為腹剪開裂。 撓曲剪開裂（Type I） 腹剪開裂（Type II） 在撓曲裂縫發生後才延伸而形成。它常由拉力面垂直深入樑中。在撓曲裂縫頂端產生撓曲與剪力之複合應力時，裂縫即以相當平緩的傾斜方式延伸，如圖6-3中所示。若樑上未配置腹筋，上述裂縫將產生熟知之剪壓式破壞。 腹剪開裂（Type II） 此式開裂較不常見，只出現在非撓曲裂縫區內，為主拉應力大於混凝土抗拉強度時發生。其開裂為突然發生於樑重心軸附近之傾斜裂縫，如圖6-3，通常可能出現在高預力樑之支點附近

腹剪開裂破壞模式 若樑中未配置腹筋，則腹剪開裂破壞可能導致下列幾種破壞模式： 剪力設計觀念主要分成兩大類： 斜裂縫水平延伸向支點方向時，拉力翼緣與樑腰裂開 當樑中形成壓力拱時，由於高壓力作用於斜裂方向造成樑腰被壓碎 接近支點附近之二次斜拉開裂，使壓力翼緣與樑腰裂開，一般而言，此方式之破壞過程較為劇烈 剪力設計觀念主要分成兩大類： 世界上大部分國家習慣上都假設，一旦裂縫形成後，所有剪力都由剪力筋承擔（RC、PC均如是） 傳統上北美國家則假設一部分剪力由混凝土承擔，剪力筋只提供對其餘剪力的抵抗

ACI剪力設計規範 美國設計規範建議，剪力分成兩部分計算首先建立只由混凝土承擔之剪力，其次決定承受剩餘剪力所需剪力筋 上式只適用於有效預力大或等於0.4fpu之構件。 式中：Vu＝任一斷面採用之總設計剪力 Mu＝任一斷面採用之總設計彎矩。 由式(6-3)求得之τc值 可大於 但不得大於 且 不得大於1.0

剪力強度計算式對均佈載重簡支預力樑之應用 對簡支樑只承受均佈載重者，式(6-3)可轉變成： 式中：ℓ=跨距 x=考慮斷面至支點之距離

ACI剪力之精確分析 以上之設計分析屬簡略方式，若要詳細精確分析時，可依ACI 318-05之條件，分別決定防止Type I及Type II開裂失敗所需之剪力筋 由於Type I開裂為彎矩及剪力之函數，而Type II開 裂不為彎矩之函數，故分析上應予分開討論

撓曲剪力設計（Type I） ACI 318-05規定混凝土能承擔之剪應力可估計如下式： 式中：Vd=由自重引起之剪力 Vi=Vu−Vd Mmax=Mu−Md Md =由自重引起之彎矩 Mcr=開裂彎矩 式(6-5)計算值與試驗數據間之關係如右圖所示

開裂彎矩之計算 開裂彎矩之計算如下式： 式中：fpc＝由預力作用引起之混凝土有效壓應力（預力損失已發生），係存在於外端纖維（該處之拉應力乃由外載重引起）（kgf/cm2） fd＝自重引起之應力（kgf/cm2）

腹剪開裂（Type II） τci之最小值為，但無上限值，不過上限可由τcw提供 ACI 318-05規定混凝土所能承擔之剪力若依Type II開裂控制時可由下式計算： 式中：fpc=混凝土之有效應力(預力損失發生後)，在斷面重心或樑翼與樑腹交接處(若重心位於樑翼內)（kgf/cm2） Vp=斷面上有效預力之垂直分力

腹剪開裂（Type II） 構件中只在一方向施預力時，採用 為極限主拉應力，而τcw關係式變成： 式中： =在 之90°方向作用之預力 以上所討論的為撓曲剪開裂（Type I）或腹剪開裂 （Type II）可於混凝土中形成時，混凝土得以承擔的 剪應力，因此斜裂縫發生時之剪應力τc應以τci及τcw中較 小者為準（式6-5及6-6）

標稱剪應力計算 任一斷面之標稱剪應力（剪力計算強度）可由下式計算之： 式中：Vu=斷面上採用之總設計剪力。 對Vc及Vcw而言，Vu取最大值 對Vci而言，Vu為相對於產生最大彎矩之剪力，故不一定是最大值。 ψ=遞減因子=0.85

剪力補強分析 若τn>τc 、 τci或τcw時需加剪力筋以承擔超過部分，剪力筋為直立式者，其需要量為： 式中：τc可為τc 、τci、τcw中任一採用值 S=剪力筋間距 剪力筋為上彎或傾斜式者，設傾斜角=α，則需筋 量為：

樑深變化之剪力分析 遇有樑深變化情形，其剪力分析將有所不同 下圖為連續樑中支點附近之自由體，考慮近支點處，則剪力及負彎矩均大 設樑下緣有α角之斜面，其壓力合力為C，則C之垂直分力C*sinα向上，可減低或抵消一部分剪力作用，使有利於樑身之剪力抵抗

剪力筋用量規定 ACI對最大剪力筋間距S之規定為： 最少剪力筋含量（min.Aτ），依ACI 318-05規定，除版、基版等之外均為： 上式適用於RC或PC構件，對PC構件若有效預力 大於0.4fpu，可另由下式推求： ACI對最大剪力筋間距S之規定為： or 24 inches （60cm） 若 ，S減為0.375h 但 ，以防壓力破壞

範例6-1 一簡支雙T形版如圖6-7，已知： 試求： 自重Wg=300 kg/m，活重WL=970kg/m 設計跨距ℓ=9.1m 混凝土抗壓強度 預力為先拉式直線型鋼腱： 設取bw=20cm 試求： 依簡化法決定需要之剪力筋 用詳細分析法推求需要之剪力筋

圖6-7 雙T型樑斷面示意圖

範例6-1解 設斷面性質已知為： 由自重Wg=300 kg/m，活重WL=970kg/m A=1220cm2，I=177140cm4，yt=13.1cm 由自重Wg=300 kg/m，活重WL=970kg/m

範例6-1解 1)簡化法： 由於是對稱情形，可用半跨徑，如圖6-8考慮之。τu由支點之35.56 kgf/cm2減至中央點之0，成線性變化。 利用式(6-4) : 可求得 所相對之τc值，並繪於圖6-8上 依規定， 部分不需加剪力筋，則繪出2τn曲線後即可看出： 全部版身均不必加剪力筋 部分需加最少剪力筋，

圖6-8 剪力分析(簡化法)

範例6-1解 2)精確法 由式(6-5)、(6-6)、(6-9)及(6-10)或式(6-11)，分別求得由支點起至4.55m點之τci、τcw、τc、τu及Aτ值，列成表6-1並繪成圖6-9 由圖可看出，結果與簡化法類似，即只需於 範圍內配置min.Aτ

表6-1 樑之τci、τcw、τc、τu及Aτ計算值一覽表 點 距離 (cm) τci (kgf/cm2) τcw τc τu Aτ (cm2) 0.00 ∞ 17.32 15.56 1.51 0.05 45 39.74 26.89 14.02 0.10 90 20.84 27.29 12.48 0.15 135 10.89 0.20 180 10.52 9.33 0.25 225 8.34 8.43 9.78 0.30 270 6.81 6.22 0.35 315 5.64 4.66 0.40 360 3.11 0.45 405 3.80 1.55 0.50 455 2.99

圖6-9 剪力分析(精確法)

THE END