數學本質概念報告 整數計算 李芳甄 林哲宇製作

綱要結構─基本理念 數學是人類最重要的資產之一 數學是一種語言 數學是人類天賦本能的延伸

認知結構─皮亞傑的認知發展 感覺動作期 (0 ~ 2歲) 前運思期 (2 ~ 7歲 ) 具體運思期 (7 ~ 11歲) 形式運思期 (11歲以上 )

認知結構─感覺動作期 嬰兒賴以吸收外界知識的基模，主要是視覺、聽覺、觸覺等感覺與手的動作。 六個月以後，隨之出現目的性的動作。 末期，嬰兒的基模將發展到物體恆存性(或客體恆存性)的地步。

認知結構─前運思期(1) 知覺集中傾向，例如： 範例 A B C 南一版 一年級上學期 第八單元 比長短 (截自階梯線上教學教材)

認知結構─前運思期(2) 不可逆性，例如：由已知 9+6=15 即可推知 15-9=6 範例 不可逆性，例如：由已知 9+6=15 即可推知 15-9=6 範例 康軒版 一年級下學期 第二單元 加和減(一) (截自階梯線上教學教材)

認知結構─前運思期(3) 自我中心主義 範例 翰林版 一年級下學期 第六單元 圖形的排列(截自階梯線上教學教材)

認知結構─具體運思期(1) 邏輯法 例如：先畫長短不等的兩條直線1與2 1 ---------- 2 --------------------- 然後將2擦掉換成1與3 1 ---------- 3 ------- 問兒童：原來的2比現在的3長或短？ 多半四年級的兒童都能回答出 原來的2比現在的3長。

認知結構─具體運思期(2) 去集中化：不再只憑知覺所見的片面事實去做判斷 範例 南一版 二年級上學期 第六單元 容量和重量 (截自階梯線上教學教材)

認知結構─具體運思期(3) 分類：將具有相同或相似特徵的事物放置在一起。 範例 南一版 三年級上學期 第四單元 三角形和長方形 (截自階梯線上教學教材)

認知結構─形式運思期 假設演繹推理 命題推理 組合推理

數學結構─加法的概念 將兩個數合起來，產生一個新的數值結果，也就是加總的概念。 例如：3+2=5

數學結構─加法的類型 併加型 添加型 追溯型 媽媽拿走 + + ，桌上還剩下 ，請問桌上 原本有幾塊 ？

數學結構─減法的概念 一個數可以拆成兩個數，也就是分解的概念。 例如：7=2+5

數學結構─減法的類型(1) 拿走型 比較型 姊姊有15元，妹妹有10元，請問誰 的錢多？多多少？ -

數學結構─減法的類型(2) 追加型 阿志今年8歲，再過幾年他就會變成13歲？ 未知型 講桌上有12支粉筆，已知有5支為白色粉 筆，其餘為黃色粉筆，請問黃色粉筆 一共有幾支？

教學策略－加法 數數問題，先用嘴巴唸住大的數，再用手比出小數計算。 例如：9+5=? 先教小朋友嘴巴唸著9，再伸出5根手指頭 接著數10、11、12、13、14， 即可求出正解。

教學策略－減法 例：婷婷有8朵花，童童有12朵花，誰的花多？多多少？ 如果請小朋友列算式的話，很容易列成：８－１２＝（）因為小朋友會先寫看到的第一個數。所以需要畫圖表示： 　婷：○○○○○○○○ 　　　││││││││ 　童：○○○○○○○○○○○○ 可得知：童童比較多， 所以算式列為→１２－８＝４（朵） 答：童童的花多，多４朵。

數學結構─乘法的概念(1) 乘法與連加的關係： 學生藉著等量連加、幾個一數，取得“倍”的概念。 例：一隻青蛙四條腿，三隻青蛙幾條腿？ 例：一隻青蛙四條腿，三隻青蛙幾條腿？ 　　 所以四隻青蛙有４×３＝１２隻腿。 而４為單位量（被乘數）， ３為單位數（乘數），１２為積。

數學結構─乘法的概念(2) 在「幾的幾倍」中認識乘法的交換律 例：一排學生五個人，四排學生有幾個人？ ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● 例：一排學生五個人，四排學生有幾個人？　 ●　●　●　●　● 　　　　●　●　●　●　● 　將五個人視為一單位，使學生可以 發現「５個人的４倍」跟「４個人 的５倍」一樣多。

教學策略－乘法 十十乘法表 ╳ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 14 16 18 20 15 21 24 27 30 28 32 36 40 25 35 45 50 42 48 54 60 49 56 63 70 64 72 80 81 90 100

教學策略－乘法直式計算(1) 將十十乘法用直式來表示 十位　個位 9 × 6 5 4 9乘以6得到54

教學策略－乘法直式計算(2) 二位數×一位數

教學策略－乘法直式計算(3) 直式記錄後，再引導為直式算則；讓學童理解算則中「位值」上的意義。 8 7 × 3 2 1 2 4 0 × 3 2 1 2 4 0 2 6 1 8 7 × 3 2 1 2 4 2 6 1 8 7 × 3 2 6 1 2

數學結構─除法的概念 除法與連減的關係： 例：有10個麵包，一天吃2塊，可吃幾天？ →以「÷」表示和計算「連減」問題， 　 答：可吃 10 ÷ 2 = 5 (天) 「分裝」_包含除： 「４８顆蘋果，８顆裝一盒，可以裝多少 盒？」的問題。 「平裝」_等分除： 「４８顆蘋果平分給８人， 每人分得多少顆？」的問題。

教學策略－除法(十十乘法表範圍) 在「分裝」與「平分」的情境中，理解除法的意義，並引入「÷」符號 分裝問題：箱子裡有48顆蘋果，8顆裝成一盒，箱子裡的蘋果總共可以裝成幾盒? 平分問題：48顆巧克力，要平分給8個人，每人可以分幾顆？ 察覺乘除互逆，利用十十乘法表解題 8×（ ）＝48 一盒有8顆蘋果，6盒共有 8×6=48 (顆) 算式同樣是 48÷8=（ ） 討論算式與問題情境中的關係

教學策略－除法（非十十乘法表範圍） 在「平分」的情境中，理解「先處理大數，再處理小數」的方式，如： 36÷3＝（ ） 36÷3＝（ ） 36個平分為3份時，可先將30個平分成3 份得10個，再將6個平分成3份得2個， 所以總共平分得12個。 →這是理解除法直式計算 的前置經驗。

教學策略─熟悉除法直式紀錄方式 2 9 24 18 6 理解「被除數」、「除數」、「商」的位置與其意義。 商 被除數 除數 餘數

教學策略─十十乘法表範圍外的除法 6 60 24 4 14 84÷6＝（ ） 6×10＝60 84－60＝24 6×4＝24 6×14＝84

教學策略─四則運算 有括號時，括號內的運算先進行。 當式子中只有乘除或只有加減的運算時， 由左向右逐步進行。 先乘除後加減。 在整數四則混合運算時， 除法應能整除。

評量範例－四則運算 對象：國小四年級生 題目：請你仔細觀察每組算式中的幾個算式有什麼相同和不同的地方，並寫下。 (1)5×8＋6＝46 (2)117－36÷9＝113 5×(8＋6)＝70 (117－36)÷9＝81 觀察的結果─

評量範例－加法與減法 對象：國小二年級生 題目：一副撲克牌抽出3張，再抽一張＋卡和－卡，加上一張 ＝卡，排成下列算式，小朋友算算看答案是多少呢？

參考資料 http://teach.eje.edu.tw/9CC/index.php 國教專業社群網 教育心理學 -三化取向的理論與實踐- 張春興著 東華書局出版 http://new.ladder100.com/ 階梯數位線上教材 http://www.msps.tp.edu.tw/math/民生數學天地 http://content.edu.tw/primary/math/jm_jh/math/s2middle/s221.htm 國民小學數學除法設計

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