第2章 插值 2.1 拉格朗日插值 2.2 插值余项 2.3 分段插值 2.4 牛顿插值 2.5 等距结点插值 第2章 插值 2.1 拉格朗日插值 2.2 插值余项 2.3 分段插值 2.4 牛顿插值 2.5 等距结点插值 在数学分析中我们用y=f(x)描述一条平面曲线，但在实际问题中，函数y=f(x)往往是通过实验观测得到的一组数据来给出的，即在某个区间[a,b]上给出一系列点的函数值yi=f(xi)，或者给出一个函数表，如何通过这些对应关系去找函数f(x)的近似表达式呢？就可以利用插值。 简单的说，插值的目的就是根据给定的数据表，寻找一个解析形式的函数p(x)，近似代替f(x) Confidential, for review onlyBorland

插值法的基本原理 (1) 设函数y=f(x)定义在区间[a, b]上, 是[a, b]上取定的n+1个互异节点,且在这些点处的函数值为已知 ,即 。若存在一个f(x)的近似函数 ,满足 则称 为f(x)的一个插值函数, f(x)为被插函数, 点xi为插值节点, 称(1)式为插值条件, 而误差函数 R(x)= 称为插值余项, 区间[a, b]称为插值 区间, 插值点在插值区间内的称为内插, 否则称外插。 (1)

若 满足 则称Pn(x)为f(x)的n次插值多项式。这种插值法通常称为代数插值法。其几何意义如下图所示

是次数不超过n次的多项式 , 称形如上式的插值多项式为 称 为关于基点 (i=0,1,…,n)的 n次插值基函数。

2.2 插值余项 在插值区间a, b上用插值多项式Pn(x)近似代替f(x), 除了在插值节点xi上没有误差外，在其它点上一般是存在误差的。 y=f(x) y=Pn(x) a b x0x1 xixi+1 xn-1 xn 若记 Rn(x) = f(x) -Pn(x) 则 Rn(x) 就是用 Pn(x) 近似代替 f(x) 时的截断误差, 或称 插值余项，我们可根据后面的定理来估计它的大小。

2.2.1 拉格朗日插值余项定理 设f(x)在a, b区间有n+1阶连续导数， x0, x1,…, xn 为 a, b上n+1个互异的节点，Pn(x)为满足 Pn(xi) = f(xi) (i=1,2, …, n) 的n 次插值多项式，那么对于任何x  a, b有插值余项 a<<b 且依赖于x 　　　　（2-8） 其中

对于线性插值，其误差为 对于抛物插值（二次插值），其误差为

例2.8 已知 =100, =121, 用线性插值估计 在x=115时的截断误差 解: 由插值余项公式知 因为 所以

例2.9 已知x0=100, x1=121, x2=144,当用抛物插值求 在x=115时的近似值，估计其截断误差 解 = ∵

例2.10 设f(x)=x4, 用余项定理写出节点 -1, 0, 1, 2的三次插值多项式 解: 根据余项定理

插值多项式余项公式说明插值节点越多，一般说 2.3 分段插值 2.3.1 高次插值的龙格现象 插值多项式余项公式说明插值节点越多，一般说 来误差越小，函数逼近越好，但这也不是绝对的， 因为余项的大小既与插值节点的个数有关，也与函 数f(x)的高阶导数有关。换句话说，适当地提高插 值多项式的次数，有可能提高计算结果的准确程度 ，但并非插值多项式的次数越高越好。当插值节点 增多时，不能保证非节点处的插值精度得到改善， 有时反而误差更大。

考察函数 右图给出了 和 的图像,当n 增大时, 在两端 会发出激烈的振荡 ,这就是所谓龙格现 象。该现象表明,在 大范围内使用高次 插值,逼近的效果往 往是不理想的

另外，从舍入误差来看，高次插值误差的传播 也较为严重，在一个节点上产生的舍入误差会在计 算中不断扩大，并传播到其它节点上。因此，次数 太高的高次插值多项式并不实用，因为节点数增加 时，计算量增大了，但插值函数的精度并未提高。 为克服在区间上进行高次插值所造成的龙格现象， 采用分段插值的方法，将插值区间分成若干个小的 区间，在每个小区间进行线性插值，然后相互连接 ，用连接相邻节点的折线逼近被插函数，这种把插 值区间分段的方法就是分段线性插值法。

2.3.3 分段线性插值 分段线性插值就是通过插值节点用折线段连接起来逼近f(x)。 设f(x)在n+1个节点 上的函数值为 ,在每个小区间 (k=0,1,…，n）上作线性插值，得:

在几何上就是用折线 替代曲线,如右图所示 若用插值基函数表示, 则在a,b上 其中

显然， 是分段线性连续函数，且 称S(x)为f(x)的分段线性插值函数。 由线性插值的余项估计式知,f(x)在每个子段 上有误差估计式 其中

解 将插值区间 30,90 分成连续的三个小区间 30,45, 45,60, 60,90 例5.19 已知f(x)在四个节点上的函数值如下表所示 30 45 60 90 1 求f(x)在区间30,90上的分段连续线性插值函数S(x) 解 将插值区间 30,90 分成连续的三个小区间 30,45, 45,60, 60,90 则S(x)在区间 30,45 上的线性插值为

S(x)在区间 45,60 上的线性插值为 S(x)在区间 60,90 上的线性插值为

将各小区间的线性插值函数连接在一起，得

5.4 牛顿插值多项式 拉格朗日插值多项式结构对称，使用方便。但由于是用基函数构成的插值，这样要增加一个节点时，所有的基函数必须全部重新计算，不具备承袭性，还造成计算量的浪费。这就启发我们去构造一种具有承袭性的插值多项式来克服这个缺点，也就是说，每增加一个节点时，只需增加相应的一项即可。这就是牛顿插值多项式。

由线性代数,任何一个不高于n次的多项式, 都可以表示成函数 的线性组合, 也就是说, 可以把满足插值条件 p(xi)=yi (i=0,1,…,n) 的n次插值多项式, 写成如下形式 其中ak (k=0,1,2,…,n)为待定系数,这种形式的插值多项式称为Newton插值多项式。我们把它记为Nn(x)即

它满足 其中ak (k=0,1,2,…,n)为待定系数， 插值多项式Nn(x)称为牛顿(Newton)插值多项式。 可见，牛顿插值多项式Nn(x)是插值多项式Pn(x)的另一种表示形式, 与Lagrange多项式相比它不仅克服了“增加一个节点时整个计算工作重新开始”的缺点, 且可以节省乘除法运算次数, 同时在Newton插值多项式中用到差分与差商等概念，又与数值计算的其他方面有密切的关系。

2.4 .1 差商 自变量之差和因变量之差之比叫差商 定义 函数y= f(x)在区间[x0 ,x1]上的平均变化率 2.4 .1 差商 自变量之差和因变量之差之比叫差商 定义 函数y= f(x)在区间[x0 ,x1]上的平均变化率 称为f (x)关于x0 , x1 的一阶差商,并记为f [x0 ,x1] 二阶差商 n阶差商

f [x0 , x1]- f [x1 , x2 ] f [x0 , x1 , x2] = x0- x2 一般的,可定义区间[xi, xi+1 ,…, xi+n]上的n阶差商为

差商表 f[x0,x1]- f[x1,x2] x0 – x2 xi f[xi] f[xi,xi+1] f[xi,xi+1,xi+2] x0 … f[x0,x1]- f[x1,x2] x0 – x2

xi f[xi] f[xi,xi+1] f[xi,xi+1,xi+2] 2 8 3 27 5 125 6 216 例5.11 求 f(xi)= x3在节点 x=0, 2, 3, 5, 6上的各阶差商值 xi f[xi] f[xi,xi+1] f[xi,xi+1,xi+2] f[xi,xi+1,xi+2 ,xi+2] 2 8 3 27 5 125 6 216

在n+1个节点处各阶差商的计算方法