統計實例 寶鹼公司是一家全球性的日用 品製造商，該公司的產品包括 清潔劑、嬰兒尿布、成藥、牙 膏、肥皂、漱口藥水和衛生紙 等。 寶鹼的工業化學部門是油脂性 酒精的主要供應商，這種酒精 是從天然植物油(如椰子油)或石油裂解物抽取而成。 該部門想要瞭解擴充此種酒精的生產設備之經濟風險及機會，因此他們請求寶鹼分析專家們的協助。經由問題的建構與分析，這些專家認為主要影響獲利的因素為石油和椰子原料成本的差價。

連續機率分配 均勻機率分配 常態機率分配 指數機率分配 f (x) x 均勻 x f (x) 指數 x f (x) 常態

連續機率分配 對離散隨機變數而言，機率函數 f(x)提供一特定隨機變數x所對應的機率值。 對連續隨機變數而言，也有一種函數類似機率函數，稱為機率密度函數(probability density function)，亦以 f(x)表示 計算連續隨機變數的機率可說是計算區間之內任何隨機變數值的機率。

連續機率分配 連續隨機變數的機率定義的另一個涵義是任何特定隨機變數值的機率值為0，因為 f(x)圖形上任何一點所佔的面積為0，6.1節將介紹均勻機率分配以說明連續隨機變數的相關概念。 x1 x2 指數 x f (x) f (x) x 均勻 x1 x2 x f (x) 常態 x1 x2

連續機率分配 對連續隨機變數而言，變數為任何特定值時的機率皆為零，因此P(a ≤ x ≤ b)＝P(a < x < b)，這說明了無論這個區間是否包含端點的隨機變數值，此區間的機率皆相同。

常態機率分配 常態機率分配(normal probability distribution)可以說是最重要的連續機率分配。 常態機率分配的運用範圍很廣，諸如身高、體重、測驗的分數、科學測量、降雨量等等的隨機變數，都適合以常態分配來描述。

常態機率分配 常態機率密度函數 其中:  = 平均數  = 標準差  = 3.14159 e = 2.71828

常態機率分配

常態機率分配 特性 曲線是對稱的，以平均數 μ為對稱中心，覆蓋面積 等於1 x 平均數 m

常態機率分配 特性 不同的平均數 μ 和標準差 σ 可以形成不同的 常態分配。 標準差 s x 平均數 m

常態機率分配 特性 常態曲線的最高點落在平均數，平均數同時也是分配 的中位數和眾數。 x

常態機率分配 特性 常態分配的平均數可以是任意數值：負、零或正的 值，下圖是三個有不同平均數(−10, 0, 20)的常態曲線。 x -10 20

常態機率分配 特性 標準差可以決定曲線的寬度，標準差較大則曲線看起 來較寬較扁平，這表示資料比較分散。 s = 15 s = 25 x

常態機率分配 特性 常態隨機變數的機率可以由曲線下方的面積求得。常 態機率分配曲線下所涵蓋的總面積為 1 。由於分配是 態機率分配曲線下所涵蓋的總面積為 1 。由於分配是 對稱的，平均數以左的曲線下方的總面積是0.5，平均 數以右的曲線下方的總面積也是0.5。 0.5 0.5 x

常態機率分配 特性 常態隨機變數落在離平均數 ± 1個標準差內的機率 為68.3%。 常態隨機變數落在離平均數 ± 2個標準差內的機率 為95.4%。 常態隨機變數落在離平均數 ± 3個標準差內的機率 為99.7%。

常態機率分配 特性 x 99.72% 95.44% 68.26% m m – 3s m – 1s m + 1s m + 3s m – 2s

標準常態機率分配 當一個隨機變數具有常態分配且其平均數為 0，標準 差為 1 時，則稱此變數具有標準常態機率分配 (standard normal probability distribution)

標準常態機率分配 字母 z 常被用來代表這個特殊的常態隨機變數 s = 1 z

標準常態機率分配 給定一z值，我們可以利用標準常態表求得機率(曲線下的區域)。

標準常態機率分配

標準常態機率分配

標準常態機率分配實例 標準常態隨機變數的z值如果從0到1，則其相對應的機率將是多少？也就是P(0.00 ≤ z ≤ 1.00)是多少？下圖中的陰影部分即為此面積或機率。

標準常態機率分配實例 利用同樣方法，也可計算P(0.00 ≤ z ≤ 1.25)的值，首先找出左欄z值為1.2的橫列，然後向右移到0.05那一行，我們可以發現P(0.00 ≤ z ≤ 1.25)＝0.3944。

標準常態機率分配實例

標準常態機率分配實例 從0.3997所對應出的z之行列值顯示 z＝1.28 *，因此在平均數與 z＝1.28間的面積接近0.4000(實際為0.3997)，根據題目的要求，z值大於1.28的機率約為0.10。

常態分配的機率計算方法 轉換成標準常態分配(Z分數) 一個有平均數μ，標準差σ的常態分配 隨機變數 x 轉換為標準常態z值的公式

賣檳榔 阿明和阿珍合夥經營檳榔攤，阿珍常常為了要準備幾盒檳榔傷腦筋，阿珍學過統計學，於是記錄每天銷售量，ㄧ年下來，平均每天可以賣出100盒，標準差是20盒，假設銷售量呈常態分配請問 1.銷售量在100盒以上的機率是多少 2.銷售量在100-120盒的機率是多少 3.銷售量在80-120盒的機率是多少 4.銷售量在80盒以上的機率是多少 5.銷售量在80盒以下的機率是多少

賣檳榔 銷售量在100盒以上的機率是多少(0.5) Z分數= 銷售量在100盒以上的機率 =Z分數大於零的機率 =P(Z>0) = 右半邊面積 =0.5

賣檳榔 銷售量在100-120盒的機率是多少(0.3413) Z分數在0到1之間的機率 P(0<Z<1)=0.3413=圖形在0到1之間面積 ㄧ年大約有0.3413*365=124.6天可以賣 100-120盒

賣檳榔 銷售量在80-120盒的機率是多少(0.6826) Z分數在-1到1之間的機率 P(-1<Z<1)=圖形在-1和1之間面積=0.3413+0.3413=0.6826

賣檳榔 銷售量在80盒以上的機率是多少(0.8413) Z分數在-1以上 P(Z>-1)=圖形在-1右邊面積=0.5+0.3413=0.8413

賣檳榔 銷售量在80盒以下的機率是多少(0.1587) Z分數在-1以下 P(Z< -1)=圖形在-1左邊面積=0.5-0.3413=0.1587

賣檳榔 阿明負責出資，阿珍負責銷售、管理以及會計，阿明某日隨機抽檢銷售量，發現當日銷售量為150盒，阿明認為阿珍說平均100盒太少，顯有欺騙之嫌，請問阿明是否錯怪阿珍?學過統計學後，你怎麼看這件事情？

加油站減價策略是否有效? XX加油站開幕ㄧ個月，平均每天有300輛車進來加油，標準差為60輛 1.請問有350輛以上來加油的機率 2.請問有270-350輛加油的機率 3.超過270輛的機率 4.不超過350輛的機率 5.某日以減價2元促銷，當日有450輛來加油，請問降價促銷是否有效?

B&Q特力屋是否改變購物習慣 XX五金行經營數十年，為花蓮市五金行老店，近5年平均每日銷售額為30000元，標準差為6000元，假設銷售額為常態分配請問 1.銷售金額在20000-40000的機率 2.銷售額在40000以下的機率 3.銷售額超過36000的機率 4.銷售額不到20000的機率 5.若特力屋營業首日當天，五金行營業額為15000元，請問部分客戶是否改往特立屋採購物品？

Grear輪胎公司的問題 現在來看一個常態機率分配的應用範例。Grear輪胎公司最近發展出一種新的輻射鋼圈輪胎，預計將透過全國性的連鎖商店進行銷售。由於該輪胎是新產品，Grear的經理們相信哩程保證將是顧客接受與否的重要因素之一。在還未訂定其哩程保證策略時，他們想先知道有關該輪胎的哩程測試資料。 實際的道路測試中，Grear的工程師們估計平均的哩程數可達 μ ＝36,500哩，而標準差為 σ ＝5,000哩，而且資料也顯示哩程數呈常態分配，那麼輪胎能跑超過40,000哩的機率是多少？此問題可以利用圖6.6來解釋。

Grear輪胎公司的問題 當x＝40,000，我們得到 參考圖6.6的下方， x＝40,000時所對應的標準常態分配 z 值等於0.70。查表6.1，從平均數到z＝0.70的面積為0.2580。再看圖6.6，x 介於36,500到40,000的Grear輪胎常態分配圖中的面積也是0.2580，因此0.5000－0.2580＝0.2420就是x超過40,000哩的機率，我們可以判定大約有24.2%的輪胎可以跑超過40,000哩。

Grear輪胎公司的問題 假設Grear公司想要提出一個哩程保證，若新輪胎未能達到此保證哩程，該公司就免費更換新的輪胎給顧客，那麼要訂定多少哩程數，才可使獲得優惠者不超過總數的10%？此問題可以用圖6.7表示。

Grear輪胎公司的問題

Grear輪胎公司的問題 根據圖6.7，有40% 的面積必須介於平均數和保證哩程數之間，由表6.1，機率值為0.4000的地方，我們可以看出此區域為小於平均數1.28個標準差，也就是z＝−1.28，此為其哩程保證的標準常態分配值，而相對於z＝ −1.28的實際哩程數x為： 又 μ ＝36,500且 σ ＝5,000 x＝36500－1.28(5000)＝30100

Grear輪胎公司的問題 因此，哩程標準訂在30,100哩，約有10% 的輪胎未達到此保固哩程數，或許Grear公司會根據此項資訊而將哩程標準訂在30,000哩。